求解一階常微分方程的五階Adams格式

李 猛，陳慧文，張宗標

（亳州師范高等專科學校 理化系，安徽 亳州 236800）

在常微分方程的解的討論中，都是對一些典型方程求解析解的方法［1-6］，然而在生產實際和科學研究中所遇到的問題往往很復雜，在很多情況下都不可能給出解的解析表達式，有時即使有了一些已經有了基本方法的典型方程，由于數據量非常大，問題便不那么容易解決［7-9］.在實際問題中，對于求解微分方程，一般只要求得到解在若干個點上的近似解或者解的便于計算的近似表達式.

本文主要討論下述一階常微分方程初值問題的數值解：

1 五階Adams顯式公式

作f(x,y(x))以xi,xi-1,…,xi-r為插值節點的r次Lagrange插值多項式L(x)，滿足:

設此插值的局部階段誤差為R(x)，即f(x,y(x))=L(x)+R(x)，可以得到以下誤差估計式：

將(3)、(4)式代入(2)式可得：

代入(5)式，可以得到如下定理.

定理1 一階常微分方程具有五階Adams顯示格式：

且有局部截斷誤差：

2 五階Adams隱式公式

上述五階Adams顯示格式以xi,xi-1,xi-2,xi-3,xi-4為插值節點，這時，其實際上是個外推格式，效果不夠理想，為了改善逼近效果，可以變外推為內插，改用xi+1,xi，…,xi-r+1為插值節點的r次Lagrange插值多項式Lˉ(x)逼近f(x,y(x))，滿足：

重復上一節的推導過程，可得：

于是可以得到定理2.

定理2 一階常微分方程具有五階Adams隱式格式：

且有局部截斷誤差：

3 五階Adams預測-校正系統

顯示格式(6)和隱式格式(10)都具有五階格式，這兩種格式可匹配成下列Adams預測-校正系統.

4 結語

顯示格式又稱外插公式，隱式格式又稱內插公式，兩種格式各有各的優點，對于顯示格式，從計算角度看，隱式格式比顯示格式計算量要大，但是隱式格式相比顯示格式有兩個優點：第一，對于局部截斷誤差，隱式格式要比顯示格式小得多，這從本文中（7）式和（11）式可以看出；第二，隱式格式的系數絕對值之和也要比顯示格式小得多.但是由于計算中所產生的誤差，一般不直接利用隱式公式，而是把顯示和隱式結合起來使用，這正是本文的五階Adams預測-校正系統，這種預測-校正系統是五步法，用它計算時，不僅要用到前一步的信息，更是用到更前四步的信息，實際計算中，須借助某種但部分為它提供開始值，五階Tayloy格式等，該預測校正系統能得到和隱式格式相同的誤差估計.

［1］袁慰平，孫志忠，吳宏偉.計算方法與實習［M］.南京：東南大學出版社，2005.

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［3］Timothy Sauer.Numerical Analysis［M］.北京：人民郵電出版社，2010.

［4］李慶揚，王能超， 易大義.數值分析［M］.4 版.北京：清華大學出版社，2008.

［5］顏慶津.高等學校研究生教材:數值分析［M］.4版.北京航空航天大學出版社，2012.

［6］歐陽潔，聶玉峰，車剛明，等.數值分析［M］.高等教育出版社，2009.

［7］李岳生，黃友謙.數值逼近［M］.北京：人民教育出版社，1978.

［8］Szidarovszky,Yakowitz S.數值分析的原理及過程［M］.施明光，譯.上海：上海科學技術出版社，1982.