旋轉矢量法在簡諧振動和簡諧波問題求解中的應用

樊麗娟，馮云光

（ 銅仁學院 物理與應用工程系，貴州 銅仁 554300 ）

在大學物理課程中，求解簡諧振動和簡諧波的問題一直是學生學習的難點，究其原因，關鍵是求初相位時遇到困難。教學中，常用兩種方法即解析分析法（由位置坐標和速度的初始條件求初相位）和旋轉矢量圖示法求初相位，但解析法需要較麻煩的推理過程，學生在求解時常常出現錯誤，而旋轉矢量法充分利用了大家熟悉的幾何、三角知識，利用它對簡諧振動過程的形象、直觀的分析，使求解簡諧振動問題變得十分簡潔、方便。

1．簡諧振動

可以用單一頻率的諧函數來描述的振動稱為簡諧振動。它是周期振動的一種簡單形式。典型的簡諧振動有彈簧振子、單擺、復擺和扭擺等。在忽略阻尼的理想情況下，它們有共同的運動規律。例如，彈簧振子和扭擺在彈簧的線性范圍內的運動；單擺和復擺在小振幅時的運動。描述它們的振動的動力學方程為：

2．簡諧振動的旋轉矢量表示法

圖1 簡諧振動的旋轉矢量表示示意圖

如圖 1所示，簡諧振動 x = Acos(ω t+ φ )可以用一個質點M在以圓心為O，半徑為A的圓周上作勻角速度運動來描述。該圓的半徑等于簡諧振動的振幅A，M點的角速度ω為振動的圓頻率。在 t = 0 時刻，與x軸夾角φ為簡諧振動的初相，在時刻 t時，■與x軸的夾角為該時刻的相位角ωt+φ ，在x軸上的投影即為該時刻的振動位移。根據上述分析，顯然可以用矢量來代表質點 M 在 x方向的簡諧振動[1]，矢量稱為旋轉矢量。需要注意的是，作簡諧振動的并非旋轉矢量本身，而是它的矢端在x軸上的投影點在x軸上做簡諧振動，并且描述簡諧振動的特征量Aωφ、、不真正具有旋轉矢量圖中所賦予它們的幾何意義，這些幾何關系只是為了形象、直觀地描述簡諧振動而引入的。

3．旋轉矢量法應用例析

旋轉矢量法可以十分直觀地描述簡諧振動表達式中的A,ω和φ,尤其求初相位和相位差，并為討論簡諧振動的合成提供簡便的方法。下面僅以幾例說明旋轉矢量法在簡諧振動中的運用。

3．1． 用旋轉矢量法求初相位和比較相位差[2]

例1 一放置在水平桌面上的彈簧振子，當 0t=時，（1）物體在正方向的端點；（2）物體在平衡位置，向負方向運動；（3）物體在正二分之一振幅處，向負方向運動；（4）物體在負二分之一振幅處，向正方向運動。求以上各種情況的初相位。

解：用旋轉矢量法分別畫出四個不同初始狀態的旋轉矢量圖，如圖 2所示。它們所對應的初相位分別為

圖2 不同初始狀態的旋轉矢量圖

例 2 一平面簡諧波沿x軸負方向傳播，角頻率為ω，設 /4tT= 時刻的波形圖如圖3（a）所示，則該波的初相位為多少？

分析與解：用旋轉矢量法求出波動方程的初相位。由圖3（a）可知 t = T /4時原點處質點的位移為0，且向y軸正方向運動，則此時刻旋轉矢量圖如圖3（b）所示。要求初相位，只要將該時刻的旋轉矢量反轉（順時針轉） Δ φ=ω· T /4 = π/2，即得φ0=π。

圖3 平面簡諧波的波形圖與旋轉矢量圖

例3 兩個同周期的簡諧運動曲線如圖4（a）所示，分析1x的相位與2x的相位之差。

分析與解：由振動曲線圖作出相應的旋轉矢量圖，如圖4（b）所示，即可得到答案：1x的相位比2x的相位超前/2π。

圖4 同周期的簡諧運動振動曲線圖和旋轉矢量圖

3．2． 用旋轉矢量法求簡諧振動物體任意兩個狀態間所用的時間

例 4 作簡諧運動的物體由平衡位置向x軸正向運動，試問經過下列路程所需的最短時間各為周期的幾分之幾？（1）由平衡位置到最大位移處；（2）由平衡位置到 /2A 處；（3）由 /2A 處到最大位移處。

解：采用旋轉矢量法求解較為方便。按題意作如圖5所示的旋轉矢量圖，平衡位置在O點。

圖5 簡諧運動物體不同狀態的旋轉矢量圖

（1）由平衡位置到最大位移處，對應于圖中的旋轉矢量從位置1到位置3，故 Δ φ1= π /2，則所需時間間隔： Δ t1=Δφ1/ω = T /4。

（2）由平衡位置到 A / 2處，對應于圖中旋轉矢量從位置1到位置2，有 Δ φ2= π /6，則所需時間：。

（3）由 A / 2處到最大位移處，對應于圖中旋轉矢量從位置2到位置3，有 Δ φ3= π /3，則所需時間：Δt3=Δφ3/ω = T /6。

3．3．由已知簡諧運動的x t-圖或旋轉矢量圖作出另一圖線

例5 如圖6所示，右方表示某簡諧運動的x t- 圖線，試用作圖方法畫出1t時刻和2t時刻的旋轉矢量的位置[3]。

圖6 簡諧運動的x-t圖（右）與旋轉矢量圖（左）

解：量出振幅并以此為半徑畫圓，如圖6左方，畫x軸通過圓心，且垂直于t軸，過 t1和 t2作與x軸平行的直線交曲線于 P1和 P2。過 P1畫■與t軸平行的直線交圓周于A、A′兩點， 、 ′在 x軸上的投影似乎均等于 t1時刻的位移，誰是所求的旋轉矢量？因 P1處曲線的斜率為負，即速度為負，表■■示■此時質點速度與x軸方向相反，故旋轉■■矢■量應在OA ，與此相似， t2時刻旋轉矢量運動至OB 。

同樣的方法，可由旋轉矢量圖畫出簡諧運動的x - t圖線。

例6 一簡諧振動的運動方程為 x = A cos(ω t+ φ )，設 φ =π/4，試利用旋轉矢量繪出它的x-t圖[4]。

圖7 簡諧運動的旋轉矢量圖（左）與x-t圖（右）

3．4．應用比較相位法求波動方程

當一列平面簡諧波沿x軸傳播時，波線上各處介質元除振動不同外，其它振動參量都相同。故掌握波線上任意兩處質元振動相位關系后，可由一處質元的振動方程寫出其它各處質元的振動方程，進而可寫出平面簡諧波的波方程。

例 7 如圖 8所示，一平面簡諧波以速度u = 2 0m·s-1沿直線傳播，已知在傳播路徑上某點A的簡諧運動方程為 y =3× 1 0-2cos(4π t+ φ )，在 t =0時，該處質點位于正最大位移處。

（1）以點A為坐標原點，寫出波動方程；

（2）以距點A為5m處的點B為坐標原點，寫出波動方程。

圖8 平面簡諧波沿直線傳播示意圖

解：由題意可知，在 t = 0 時，該處質點位于正最大位移處，由旋轉矢量法很快得知初相位φ=0。由A的簡諧運動方程可知

（1）以A為原點的波動方程為

（2）由于波由左向右行進，故點B的相位比點A超前，其簡諧運動方程為：

故以B為原點的波動方程為

旋轉矢量法還可用于分析簡諧振動的合成，例如求同方向同頻率簡諧振動的合成時，一般可代合振動振幅和初相公式，由初相公式求合振動初相φ時，會得到兩個解，為最終確定φ所在的象限，仍應借助旋轉矢量圖。如果兩分振動的相位差為特殊角（如0ππ、、/2等），則直接由旋轉矢量法求合振動的Aφ、會更方便些。

4．結論

任何形式的簡諧振動都可以用旋轉矢量法來方便的描述，以上幾個例子僅是教學中的實例。由于旋轉矢量法對簡諧運動過程的形象化分析，使簡諧運動問題的處理變得十分簡潔、方便，教學中學生易懂、易掌握，充分顯示了該方法化難為易、妙用無窮的優越性。因此，旋轉矢量法是解決簡諧運動問題的便捷有效的工具。

[1]徐龍道，等．物理學詞典[M]．北京：科學出版社，2004，5：116．

[2]馬文蔚，等．物理學（第5版）下冊[M]．北京：高等教育出版社，2006，3：39，88，39，53．

[3]漆安慎，杜嬋英．力學（第2版）[M]．北京：高等教育出版社，2005，6：295．

[4]祝之光．物理學（下冊）[M]．北京：高等教育出版社，2006，11：400．