初等函數讀圖教學突破策略

劉菊芬，田朗華，吳 芳

（ 銅仁學院 教育科學系，貴州 銅仁 554300 ）

前蘇聯數學家A.A斯托利亞爾在他著的《數學教育學》一書中指出：“閱讀函數圖像的技能是專門教學的結果”，他還指出“函數圖像實質是一種特殊的語言，為了明白它的意義，必須象對待所有語言一樣，專門地進行學習”[1]。閱讀函數圖像是指通過對函數圖像的觀察研究，認識、理解函數的單調性、極值、零值、正值、負值、對稱性、定義域、值域等函數性質，并能用正確簡潔的語言把性質表達出來，能用函數性質、圖像解決有關問題。函數圖像是數學中一種特定的符號語言，要理解這種符號語言——函數圖像所承載的數學信息，需要一定的數學技能。國內專家認為，數學技能是通過實際操作獲得經驗而逐漸形成的能完成數學活動的一種動作方式，它需要通過練習才能掌握。國內學者專家對地理教學的讀圖問題研究較多，研究數學教學中的讀圖問題多數以小學的數學教學中的讀圖問題為研究對象，對中學函數讀圖問題的研究較少，本文在分析中學基本初等函數教學中讀圖教學存在的問題的基礎上，提出了函數教學中培養學生讀圖能力的對策。

1．基本初等函數教學中讀圖教學現狀

函數是中學數學教學的重點和難點，是學生進入高一級學校學習數學時的主要內容之一，也是高考考查的重要內容。基本初等函數是函數中最基礎也是最重要的內容，因此學好基本初等函數是學好函數其它內容的前提和基礎。然而很多老師對基本初等函數常常按概念、作圖、性質的順序進行教學；引入概念時一字一句地解釋其意義，然后畫出函數圖像，再根據圖像歸納出函數性質。教學中我們發現有不少學生認為基本初等函數概念抽象、難理解、學不懂。函數是量與量之間的對應關系，這種對應關系可用數學式子、表格或圖像表示，這三種表達方式在表示函數關系及運用時各有優勢，其中用圖像表示函數的優勢是“能直觀形象地表示函數的變化情況”。函數圖像是以自變量取值為橫坐標，相應函數值為縱坐標的點的集合，因此這些點的集合即函數圖像可以反映出函數的許多信息，是函數性質的直觀表示，用函數圖像來研究函數可以把復雜、抽象的問題轉化為簡單、直觀形象的問題，是降低抽象性以促進對函數理解的重要途徑。懷特海指出：“術語和符號的引入，往往是為了理論的易于表述和解決問題。特別是在數學中，只要細加分析，即可發現符號化給數學理論的表述和論證帶來極大的方便，甚至是必不可少的。”但從學生在學習中的表現卻很難看到函數圖像對函數學習帶來的方便和幫助，究其原因是部分教師教學中重視作圖，但對讀圖的意義、價值認識不足，忽視對函數圖像的解讀；認為函數圖像一目了然、顯而易見，對讀圖采取一帶而過的方式，導致學生讀圖意識弱、讀圖能力不強，不能較好地掌握從函數圖像得出其性質，用圖像解決問題的意識淡薄，使函數圖像存在的意義、價值大打折扣，圖像功能不能最大化利用。其實，函數讀圖看似淺顯但道理并不簡單，要正確理解圖意需要專門的知識與訓練，讀圖是直觀理解函數的基礎，是學習函數的基本功，一種基本能力。可見，讀圖問題不僅影響基本初等函數的學習，還影響函數其他內容的學習。

2．提高學生讀圖能力的對策措施

2．1．明確讀圖在函數教學中的地位和作用

《數學課程標準（實驗稿）》指出：“要培養學生直接從圖中搜集、分析和處理信息的能力”。心理學研究顯示，人的一切行為都是有目的的。教學中清楚為什么教比明白教什么、如何教更有意義；從為什么教的角度去考慮教什么、如何教，使教學更具針對性和目的性。雖然基本初等函數的描點作圖法、從圖像得出性質的做法都有失嚴謹，但人的認知特點就是從初級到高級、從不嚴謹到嚴謹，因此在函數學習初期即學基本初等函數時，描點作圖及從圖像得出性質的做法是符合認知規律的，也是科學合理的，是學習中不可缺少的過程。基本初等函數的讀圖教學是教學生如何根據基本初等函數圖像發現函數性質，養成用圖像解決問題的習慣與能力，使更多學生能通過圖像直觀地理解函數的概念與性質，提高學習函數的興趣，改善函數教學的效果。

如今，信息技術在教學中廣泛運用，使許多在過去的教學中靠想象實現的東西變得可視。從而使一些問題的處理方法，從分析法轉化為分析與直觀相結合的方法，無疑這種改變使教學內容更容易被學生接受，但是伴隨這種轉變的是對學生從圖像中讀出相關信息的能力要求更高了，這也是在函數教學中加強讀圖能力培養的原因之一，因為這不僅能促進學生對函數的學習理解，也是培養學生在現代社會學習能力的一種措施。

2．2．教學中提供讀圖示范

美國數學家波利亞認為：“學習的途徑就是模仿和實踐，而模仿需要有榜樣，教學中教師要為學生提供可供模仿的例子與榜樣，模仿的目的是為了實踐。”[2]函數讀圖是一種數學技能。要培養這種技能，教師就要在基本初等函數教學中有意識、有計劃地設計教學活動，引導學生體會函數圖像所包含的數學信息。還要讓學生明白，函數圖像不同于生活中的其它圖像（如比例圖中的圖形，代表某種實物，沒有數學意義），讀懂圖形語言需要一些數學常識，如函數定義域為(a,b)時，在區間兩端點沒有圖像； x1﹤x2時f(x1) ﹤ f(x2)在圖像上意味著什么等等。了解函數圖像的產生過程：函數圖像是滿足函數關系的點的集合。對于沒有意義的點附近（如 y = t anx在x=π2附近）及無窮遠處（如 y = 2x在時）的圖像，根據函數表達式及已經畫出的圖像，用想象力在大腦中完成。為了讓學生了解如何讀圖，設計教學環節，讓學生參與教學活動，在操作中體會讀圖的方法、步驟。如學習指數函數時，給出指數函數的定義，然后請學生畫出指數函數 y =2x、 y = 3x的圖像，觀察研究兩個圖像的相同點和不同點，回答下列問題：（1）圖像在橫軸上方或是下方? 圖像都過哪一點？（2）x ﹥ 0 時，對應的函數圖像有何特征？當x取正值且不斷變大時對應的函數值變化趨勢如何？（3）x﹤ 0 時，對應的函數圖像有何特征？當x取負值但絕對值不斷變大時對應的函數值變化趨勢如何？（4）當 x → 0 時，對應的函數值變化趨勢如何？通過這些問題有序地、全面地引導學生觀察圖像，不僅觀察已經畫出來的圖像還觀察沒有畫出來的部分，使得對函數情況有一個較全面的認識。對上述問題進行歸納總結，得出底數大于1的指數函數的性質：定義域是R；值域為(0,+ ∞ )；圖像過點(0,1)；是增函數即自變量越大時相應的函數值越大。這樣的讀圖不僅對函數有一個較全面的了解，也為學習函數極限打下了基礎。

又給出問題比較 34/5, 35/6的大小，有的學生思考后提出用根式的性質來做，在用根式性質作出解答后，老師再提出能否把這兩個數看成函數 y = 3x在x = 4 /5,x = 5 /6時的函數值，于是把問題轉化為用指數函數的性質來解決。根據指數函數與對數函數的關系作出 y = l og3x的圖像，列出問題要求學生根據圖像回答，歸納出底數大于1時對數函數的性質。這些都是在教師主導下、學生參與的教學活動，這樣的活動有助于培養學生重視函數讀圖、用圖像解決問題的習慣與能力；拓寬學生解決問題的思路、提高解題能力，還將體會到函數圖像貌似簡潔直觀，其實隱藏著眾多的信息，需要用專業的眼光，刻意去體會、挖掘。遺憾的是有的教師以為從圖像得出函數性質是顯然的，沒有必要就圖像多作解釋，于是圖像一出來，三言兩語后函數性質便一一羅列出來，這樣的處理是導致部分學生在基本初等函數學習中出現問題的最主要原因。

教學中有的知識是顯性的，它容易引起關注重視；而有的知識是隱性的，常被忽略，只有遇到問題時才會想到它的存在和重要。“顯”與“隱”是相對的，在一定條件下可以互相轉化；函數教學中圖像是“顯”的，而圖像蘊含的性質是“隱”的，從圖像發掘函數性質就成了把“隱”化“顯”。研究顯示，學生的數學學習是在已掌握的知識、技能的基礎上遷移或建構的過程，任何知識、技能的缺失都會影響遷移和建構，進而影響學習效果。學生由于認知方式、認知能力的差異對同一問題的看法難免不同，對某些學生顯然的東西對其它學生可能不顯然，學生學習能力、學習興趣的差異是客觀存在的。教學中不能把一切基礎的東西視為顯然，細節決定成敗，應根據教學內容設計問題并以此為學生作示范，讓學生了解、學習如何解讀函數圖像。宋乃慶等指出：“教師不再只是一個課程知識的被動傳遞者，而是一個主動的調適者、研究者和創造者”[3]。

2．3．加強讀圖練習

物理學家李希坦伯格指出：“那些曾使你不得不親自動手發現了的東西，會在你腦海中留下一條途徑，一旦有所需要，你就可以重新運用它。”波利亞對此有類似的論述：“只要經過了你自己的體驗，那么它對你來講就可以成為一種楷模，當你在碰見別的類似的問題時，它就是可供你仿照的模型。”[2]大師們的忠告提醒我們，學生只聽課而不動手做一做，對課堂上看到的聽到的東西是很難理解掌握的，不去實踐體驗是不能真正掌握知識的。讀圖技能僅僅靠看是掌握不了的，需要在實際操作中學習；不同背景下的操作可以促進技能的掌握，教學中設計一些練習讓學生通過實踐操作去學習、感受、體會不同函數類型圖像的解讀。例如：作 y =0.5x、y=0.3x的圖像，根據圖像歸納出底數大于0小于1時，指數函數的性質；比較大小： 0 .53/4、 0 .54/5；若(3/5)x= 2 ，其中的x取正值還是負值；作y = l og0.3x,y = l og0.5x 的圖像，歸納出底數大于0小于 1時對數函數的性質；比較下列各組數的大小：log35,log37；cos57°,cos58°；arcsin0.6,arcsin0.61；用 函 數 圖 像 解 不 等 式等等，旨在讓學生通過練習熟悉讀圖的方法、步驟；熟悉基本初等函數的圖像、性質，能用圖像與性質解決一些基本問題；了解圖像語言與其它語言的互譯，可以把一些數學問題轉化為函數或函數圖像問題來解決；初步掌握讀圖技能。把一個問題的求解轉化為用函數圖像來求解，是一種重要的數學思想方法，是函數圖像的重要應用，是讀圖的高級境界。心理學家馬丁.塞利格曼認為人容易成為思維和習慣的囚徒，要培養學生的讀圖思維和讀圖習慣，需要在教學活動中不斷地通過示范和練習來實現。

函數讀圖是函數學習中重要而基礎的技能，需要師生共同重視，需要教師的示范與學生自身的練習，學生才能掌握。

[1]A. A 斯托利亞爾．數學教育學[M]．.北京：人民教育出版社，1985．

[2]喬治·波利亞．數學的發現[M]．.北京：科學出版社，2007．

[3]宋乃慶，等．中國基礎教育新課程的理念與創新[M]．北京：中國人事出版社，2003．