基于逆高斯分布的復(fù)合高斯海雜波建模研究

閆 亮 孫培林 易 磊 韓 寧 湯 俊

①(北京林業(yè)大學(xué)工學(xué)院 北京 100083)

②(清華大學(xué)電子工程系 北京 100084)

③(北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院 北京 100083)

1 引言

隨著雷達(dá)分辨率的提高，雜波的統(tǒng)計(jì)特性偏離了高斯分布，為此人們提出了諸如對(duì)數(shù)正態(tài)分布，Weibull分布，K分布，t分布等非高斯分布模型[1,2]。然而，復(fù)合高斯分布模型可以作為一種更為廣義的非高斯分布模型，其合理性已通過(guò)實(shí)測(cè)雜波數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析得到驗(yàn)證。在復(fù)合高斯分布模型中，其紋理分量決定了雜波的非高斯特性，其中K分布假定其服從Gamma分布而得到了廣泛的應(yīng)用。然而，K分布模型存在以下兩個(gè)缺點(diǎn)：(1)其概率密度函數(shù)曲線在峰值后段不能與海雜波幅度的統(tǒng)計(jì)直方圖精確地吻合；(2)服從Gamma分布隨機(jī)序列的生成過(guò)程涉及非線性變換，不能保證其具有任意功率譜密度。在文獻(xiàn)[3]中，Ollila采用服從逆高斯分布的紋理分量建立了一種僅含形狀參數(shù)的復(fù)合高斯(IG-CG)分布模型，相對(duì)于K分布模型具有較好的擬合精度。但對(duì)于偏態(tài)系數(shù)較大的非高斯雜波，K分布模型更能準(zhǔn)確地與實(shí)際雜波數(shù)據(jù)相吻合。因此，K分布模型和單參數(shù)的IG-CG分布模型都具有一定的局限性。

本文主要在以下兩方面進(jìn)行了研究：(1)采用包含形狀參數(shù)和均值參數(shù)的逆高斯分布調(diào)制復(fù)高斯過(guò)程建立了一種雙參數(shù)IG-CG分布模型，并推導(dǎo)了其統(tǒng)計(jì)特性；(2)利用IPIX雷達(dá)雜波數(shù)據(jù)研究了雙參數(shù)IG-CG分布模型、單參數(shù)IG-CG分布模型和K分布模型在不同非高斯程度下的擬合效果，結(jié)果表明本文提出的雙參數(shù) IG-CG分布模型相對(duì)于其它兩種分布模型不僅具有更高的擬合精度而且具有更廣泛的適用范圍。

2 IG-CG分布海雜波模型

2.1 復(fù)合高斯分布模型

復(fù)合高斯分布模型是由復(fù)高斯隨機(jī)矢量與非負(fù)尺度隨機(jī)變量混合形成[3－5]，其表達(dá)形式為：

其中，X稱為散斑分量，服從復(fù)高斯分布，即X～CNn(0,S),S為復(fù)高斯隨機(jī)矢量的協(xié)方差矩陣；τ為紋理分量，假定其概率密度函數(shù)為fτ(τ)，其典型分布有Gamma分布，逆Gamma分布等[4]。

記Z=[z1z2… zn]T為n維復(fù)合高斯隨機(jī)矢量，即Z～ CGn(0,S,fτ(τ))，則其聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為：

其中，Cn為歸一化常數(shù)。

由復(fù)合高斯分布模型可知，對(duì)任意隨機(jī)變量zi,i=1,2,…,n都對(duì)應(yīng)于同一分布的紋理分量。假設(shè)，令R=，則R的概率密度函數(shù)為：

由式(5)得，海雜波幅度的概率密度函數(shù)為：

根據(jù)復(fù)合高斯分布模型，相關(guān)學(xué)者提出了Weibull分布，t分布，K分布等模型，其中K分布模型在海雜波建模過(guò)程中得到廣泛的應(yīng)用[2,6]。在K分布模型中，其紋理分量服從 Gamma分布，即，則：

將式(3)，式(4)及式(7)代入式(6)，得K分布的概率密度函數(shù)為：

其中，Γ(·)為 Gamma函數(shù)；Kv(·)為第 2類修正Bessel函數(shù)；a為尺度參數(shù)，v為形狀參數(shù)。

2.2 IG-CG分布模型建立

由于復(fù)合高斯分布模型中的紋理分量決定了雜波的非高斯特性，而逆高斯分布相對(duì)于Gamma分布具有更好的“高尖峰，長(zhǎng)拖尾”特征，因此本文采用服從逆高斯分布的紋理分量建立復(fù)合高斯分布模型，即 τ ～ IG(μ,λ)，其概率密度函數(shù)為：

其中，λ為形狀參數(shù)；μ為均值參數(shù)。

逆高斯分布描述的是布朗運(yùn)動(dòng)中粒子首次到達(dá)固定距離所需的時(shí)間，其具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1 若 X ～ IG(μ,λ)，則 kX ～I(xiàn)G(k μ,kλ)。

性質(zhì)2 若 Xi～ IG(μ,λ)，則Xi～I(xiàn)G(n μ,n2λ)。

根據(jù)以上兩個(gè)性質(zhì)可知，服從逆高斯分布的隨機(jī)序列經(jīng)線性變換后仍服從逆高斯分布。該特性使得在生成相關(guān)逆高斯分布序列時(shí)，只需利用線性濾波器即可使其具有任意功率譜密度函數(shù)，進(jìn)而簡(jiǎn)化了相關(guān)IG-CG分布序列的生成過(guò)程。

將式(9)代入式(3)可得：

由式(5)，式(6)，式(10)得到 IG-CG 分布的概率密度函數(shù)為：

由于式(11)中包含有積分項(xiàng)，因此利用貝塞爾函數(shù)對(duì)其進(jìn)行整理后得到 IG-CG分布的概率密度函數(shù)為：

其中，K3/2(·)為第2類修正貝塞爾函數(shù)。

根據(jù)式(12)可得IG-CG分布的期望和方差分別為：

在雙參數(shù)IG-CG分布模型中，令μ=1，則可得到單參數(shù)IG-CG分布模型：

3 IG-CG分布海雜波模型的驗(yàn)證分析

本文選用了400組McMaster大學(xué)的IPIX型雷達(dá)于1998年在Grimsby采集的海雜波數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)都為一復(fù)數(shù)向量(向量大小約為60000)，代表雷達(dá)在同一距離單元不同時(shí)刻得到的回波數(shù)據(jù)[7]。針對(duì)每組雜波數(shù)據(jù)，分別利用K分布模型、單參數(shù)IG-CG分布模型和雙參數(shù)IG-CG分布模型進(jìn)行了擬合，其參數(shù)通過(guò)最小二乘法估計(jì)得到[8,9]。同時(shí)，利用殘差平方和(Residual Sum of Squares,RSS)衡量每個(gè)模型的擬合精度，其定義見式(16)。

其中，ys和分別為擬合模型和實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)在各點(diǎn)的取值。

在該文中給出了其中4組數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果，其相關(guān)參數(shù)及RSS見表1，對(duì)應(yīng)的擬合效果如圖1所示。

表1 仿真參數(shù)及擬合指標(biāo)Tab.1 Parameters of models and RSS

圖1結(jié)果初步表明雙參數(shù)IG-CG分布模型始終能夠更加準(zhǔn)確地與實(shí)測(cè)雜波數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)直方圖相吻合，而單參數(shù)IG-CG分布模型和K分布模型僅在一定的雜波特性下才具有較好的擬合效果。為了進(jìn)一步研究以上3種模型在不同雜波特性下的擬合精度，本文采用峰態(tài)系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)描述雜波數(shù)據(jù)的非高斯特性，其統(tǒng)計(jì)表達(dá)式見式(17)和式(18)。

其中，mn是n階樣本中心距，xi為第i個(gè)樣本值，為樣本平均值。

根據(jù)式(16)，式(17)可得到400組峰態(tài)系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)，按其取值大小等間隔地分為40組，并對(duì)間隔內(nèi)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的3種模型的RSS進(jìn)行均值處理。圖2，圖3分別為3種模型的RSS與峰態(tài)系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)的關(guān)系曲線。

圖2結(jié)果表明，相對(duì)于單參數(shù)IG-CG分布模型和K分布模型，雙參數(shù)IG-CG分布模型具有更小的RSS，其擬合效果最好。圖3結(jié)果表明，當(dāng)偏態(tài)系數(shù)小于5.2時(shí)，單參數(shù)IG-CG分布模型較K分布模型具有較好的擬合效果；而當(dāng)偏態(tài)系數(shù)大于 5.8時(shí)，K分布模型具有較高的擬合精度。然而，雙參數(shù) IG-CG分布模型在偏態(tài)系數(shù)范圍內(nèi)始終具有更高的擬合精度。因此，本文建立的雙參數(shù)IG-CG分布模型較其它兩種分布模型具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用逆高斯分布建立了一種雙參數(shù)IG-CG分布模型，經(jīng)IPIX雷達(dá)雜波數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析表明相對(duì)于單參數(shù)IG-CG分布模型和K分布模型，該模型對(duì)不同非高斯特性的雜波數(shù)據(jù)都能準(zhǔn)確地與其統(tǒng)計(jì)直方圖相吻合。然而，針對(duì)IG-CG分布海雜波模型，仍有部分研究?jī)?nèi)容需要開展，其中該模型的相關(guān)性研究對(duì)基于零記憶非線性變換法(ZMNL)的海雜波仿真實(shí)現(xiàn)有著重要的意義[10,11]。

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