基于廣義MUSIC算法的低仰角估計(jì)新方法

蔣柏峰 呂曉德 向茂生

①(中國科學(xué)院電子學(xué)研究所微波成像技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

②(中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

1 引言

由于工作在 VHF頻段的雷達(dá)具有良好的反隱身、反輻射導(dǎo)彈性能，近年來重新受到業(yè)界的重視。對于低仰角目標(biāo)，當(dāng)雷達(dá)俯仰向波束較寬時(shí)，目標(biāo)的直達(dá)波信號和經(jīng)反射面反射產(chǎn)生的多徑信號都將位于接收天線的主瓣范圍之內(nèi)。由于直達(dá)波與多徑信號的波程差較小，二者之間只存在復(fù)反射系數(shù)及微小的時(shí)延差異，因此二者具有較強(qiáng)的相關(guān)性。這造成俯仰向波瓣分裂，對低仰角目標(biāo)的 DOA估計(jì)與跟蹤產(chǎn)生嚴(yán)重影響[1－12]。針對這一問題，文獻(xiàn)[2,3]提出一種利用波瓣分裂的仰角測量方法，該方法利用多徑反射模型，分析波瓣分裂情況，進(jìn)而利用單脈沖測角方法實(shí)現(xiàn)角度測量。這種方法雖然結(jié)構(gòu)簡單，計(jì)算量較小，但是嚴(yán)重依賴反射系數(shù)，在反射模型不準(zhǔn)確時(shí)，性能嚴(yán)重下降。多徑情況下的DOA估計(jì)問題，本質(zhì)上是相干信源情況下的 DOA估計(jì)問題。在空間譜估計(jì)領(lǐng)域，利用空間平滑、最大似然等方法可以實(shí)現(xiàn)相干信源角度估計(jì)，但存在陣列自由度損失、計(jì)算量大等問題[4－6]。文獻(xiàn)[7]提出了廣義 MUSIC算法，該算法可直接應(yīng)用于相干信源DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[8]在廣義MUSIC算法基礎(chǔ)上，提出了一種新的譜峰搜索方法，該文利用目標(biāo)距離信息將2維角度搜索轉(zhuǎn)化為1維搜索，降低了運(yùn)算量。文獻(xiàn)[9]在文獻(xiàn)[8]基礎(chǔ)上提出一種多徑衰減系數(shù)和仰角聯(lián)合估計(jì)的算法。

針對多徑情況下的低仰角目標(biāo)DOA估計(jì)問題，本文首先介紹了廣義MUSIC算法及兩種改進(jìn)算法，理論分析指出這些算法有效性的實(shí)質(zhì)是對基本譜峰搜索公式的加權(quán)。權(quán)值的不同導(dǎo)致了角度估計(jì)性能的差異。在此基礎(chǔ)上，本文分析了權(quán)值及目標(biāo)角度位置對 DOA估計(jì)結(jié)果的影響，提出了基于廣義MUSIC算法的低仰角估計(jì)方法模型。通過仿真試驗(yàn)，本文確定了一個(gè)性能較為優(yōu)異的權(quán)值。仿真試驗(yàn)表明，基于該權(quán)值的算法相比已有算法具有更高的估計(jì)成功概率，更優(yōu)的估計(jì)性能。

2 廣義MUSIC算法及其改進(jìn)算法

多徑信號由鏡面反射分量和漫反射分量組成，當(dāng)反射面較為平坦時(shí)，可以忽略漫反射分量，只考慮鏡面反射分量的影響[12]。此時(shí)陣列接收信號可表示為[9]：

陣列接收信號的協(xié)方差矩陣可表示為[13]：

式中σ2為噪聲功率，US為M×1維信號子空間，UN為 M×(M?1)維噪聲子空間，“H”表示共軛轉(zhuǎn)置。

由陣列流型與噪聲子空間的正交性可得：

利用式(3)進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，涉及θd,θs,3 個(gè)變量的搜索，運(yùn)算量非常大。針對這一問題，文獻(xiàn)[7]提出的廣義 MUSIC 算法，去除了對譜峰搜索的影響，其譜峰搜索公式為：

由廣義Rayleigh商的性質(zhì)，式(4)可以等效為：

θd和θs之間的關(guān)系可表示為：

式中h表示天線的高度，Rd表示目標(biāo)到天線的距離。

文獻(xiàn)[9]在文獻(xiàn)[8]基礎(chǔ)上提出了多徑衰減系數(shù)與角度的聯(lián)合估計(jì)方法，可表示為：

式中ω=[1 0]T。

3 算法的理論分析

3.1 已有算法的理論分析

常規(guī)MUSIC算法的譜峰搜索公式可表示為[13]：

對于常規(guī) MUSIC算法來說，式(9)與式(10)沒有本質(zhì)區(qū)別，利用二者得到的DOA估計(jì)結(jié)果也是相同的。對于廣義 MUSIC算法及改進(jìn)算法來說，也存在類似的兩種形式的譜峰搜索公式，前文介紹的 3種算法使用了式(10)形式的譜峰搜索公式。這兩種形式對于廣義MUSIC算法及改進(jìn)算法來說，差異是巨大的。下面將通過理論分析說明這一問題。

令

3種算法式(10)形式的譜峰搜索公式可表示為：

其中，“*”表示復(fù)數(shù)共軛。3種算法式(9)形式的譜峰搜索公式可表示為：

由上述公式可知，3種算法的譜峰搜索公式分母都為 A11A22?A12A21，只是分子有所不同。理想情況下，當(dāng)角度取 θd,θs時(shí)，A11A22?A12A21=0，此時(shí)將形成尖銳的譜峰，因此可利用上述公式進(jìn)行譜峰搜索。需要注意的是，當(dāng)角度取值接近 0°，即θd≈θs≈0°時(shí)，A22A11?A21A12≈0。此時(shí)3種算法式(9)形式的譜峰搜索將得到很大的譜值。在實(shí)際情況下，目標(biāo)角度處的譜值是有限的，0°附近的大譜值將淹沒目標(biāo)角度處的譜值，此時(shí)將嚴(yán)重影響目標(biāo)的 DOA估計(jì)。3種算法式(9)形式的譜峰搜索公式在實(shí)際應(yīng)用中性能很差。

考察3種算法式(10)形式的譜峰搜索公式可知，當(dāng)角度取接近0°值時(shí)，譜峰搜索公式的分子也接近0，這相當(dāng)于對式(9)形式的譜峰搜索公式進(jìn)行了加權(quán)，抑制了小角度產(chǎn)生的大譜值。可以預(yù)見，相比式(9)形式的譜峰搜索公式，式(10)形式的譜峰搜索公式在低信噪比時(shí)將更為有效。而這種有效性的本質(zhì)是通過加權(quán)，抑制了小角度產(chǎn)生的大譜值。已有的3種算法正是使用了式(10)形式的譜峰搜索公式。

3.2 基于廣義MUSIC算法的仰角估計(jì)方法模型

由前文的分析可知，廣義 MUSIC算法及改進(jìn)算法有效性的實(shí)質(zhì)是對基本譜峰搜索公式(A11A22?A12A21)?1的加權(quán)。這就是基于廣義MUSIC算法的仰角估計(jì)方法模型。權(quán)值不同，仰角估計(jì)性能也不盡相同。因此權(quán)值是影響算法估計(jì)性能的關(guān)鍵。

加權(quán)的目的是抑制小角度產(chǎn)生的大譜值。從已有3種算法的權(quán)值來看，可以認(rèn)為權(quán)值是以A11,A12,A21,A22,a12,a21為變量的函數(shù)。該函數(shù)要求角度取值接近0°時(shí)函數(shù)值接近0。變量 A11,A12,A21,A22不僅與角度有關(guān)，還與噪聲子空間有關(guān)，利用這些變量構(gòu)造的權(quán)值具有一定的隨機(jī)性，加權(quán)效果難于控制和分析。因此本文主要分析以 a12,a21為變量的權(quán)值。具體來說是要構(gòu)建權(quán)值函數(shù) f(a12,a21)，使得該函數(shù)在角度取值接近 0°時(shí)函數(shù)值接近 0。比較直觀的兩種構(gòu)造方式為：

式(17)，式(18)中m為可變的加權(quán)系數(shù)。

角度取值接近 0°時(shí)，式(17)，式(18)的取值接近0。加權(quán)系數(shù)m影響權(quán)值接近0的速度，進(jìn)而影響加權(quán)效果，最終對 DOA估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響。合理的m取值可以通過仿真試驗(yàn)得到。由前文分析可知，式(9)形式的譜峰搜索公式DOA估計(jì)效果較差，主要是受小角度產(chǎn)生的大譜值影響。因此可以預(yù)見，目標(biāo)角度越接近0°，這種影響越大，DOA估計(jì)性能越差。信噪比是影響DOA估計(jì)的另一個(gè)重要因素，信噪比越低，DOA估計(jì)性能越差。因此在分析不同權(quán)值對 DOA估計(jì)的影響時(shí)，要綜合考慮目標(biāo)角度及信噪比兩方面因素的影響。

4 算法仿真及性能分析

本節(jié)將首先通過仿真試驗(yàn)說明權(quán)值對廣義MUSIC算法及改進(jìn)算法的影響；進(jìn)一步通過仿真分析信噪比、目標(biāo)角度以及加權(quán)系數(shù)對兩種加權(quán)方式性能的影響，明確兩種加權(quán)方式的適用性；最后將本文提出的加權(quán)方法與已有算法進(jìn)行對比分析。

4.1 兩種形式的譜峰搜索公式性能對比

設(shè)天線高度100 m，目標(biāo)距離100 km，地面反射系數(shù)為0.9ejπ，陣元數(shù)量為8，快拍數(shù)為64，直達(dá)波入射角 θs=2°，多徑角度 θs≈?2.11°，信噪比取-20～20 dB，間隔 5 dB。使用式(7)的角度對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)用3種算法兩種形式的譜峰搜索公式在每個(gè)信噪比情況下分別進(jìn)行1000次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)估計(jì)成功概率和均方根誤差，結(jié)果如圖1所示。

圖1中，虛線表示式(9)形式的譜峰搜索方式，實(shí)線表示式(10)形式的譜峰搜索方式。由圖 1可以看出，隨著信噪比的增加，各種譜峰搜索方式的成功概率逐漸增加，估計(jì)均方根誤差逐漸減小。由圖1(a)可以看出，相比式(10)形式的譜峰搜索方式，式(9)形式的譜峰搜索方式估計(jì)成功概率較低，在信噪比小于10 dB時(shí)，成功概率接近為0。在低信噪比時(shí)，文獻(xiàn)[9]算法的成功概率比廣義 MUSIC算法和文獻(xiàn)[8]方法要高。這說明了權(quán)值對廣義 MUSIC算法的估計(jì)性能有較大影響。由圖1(b)可以看出，式(10)形式下 3種算法的估計(jì)均方根誤差相差不大。值得注意的是，廣義 MUSIC算法的估計(jì)成功概率曲線和均方根誤差曲線與文獻(xiàn)[8]方法對應(yīng)的曲線幾乎重合，說明二者的估計(jì)性能是相似的。

4.2 加權(quán)系數(shù)的分析

保持 4.1節(jié)的基本參數(shù)不變，當(dāng)直達(dá)波入射角分別取 θd= 1°,3°,5°,7°，加權(quán)系數(shù)m在0.1～5.9之間變化，變化間隔為0.1，信噪比取?10 dB,?5 dB,5 dB時(shí)，利用式(17)，式(18)的權(quán)值，分別進(jìn)行1000次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)估計(jì)結(jié)果的成功概率和均方根誤差，結(jié)果如圖2，圖3所示。

圖2中藍(lán)色曲線為式(17)加權(quán)方式對應(yīng)的仿真結(jié)果，紅色曲線為式(18)加權(quán)方式對應(yīng)的仿真結(jié)果。由圖 2可以看出，式(17)加權(quán)方式的估計(jì)成功概率在加權(quán)系數(shù)小于1時(shí)較高，在加權(quán)系數(shù)大于1時(shí)，受目標(biāo)角度、信噪比的影響較大。式(18)加權(quán)方式的估計(jì)成功概率在加權(quán)系數(shù)大于 1.1時(shí)較高，幾乎不受目標(biāo)角度的影響；在加權(quán)系數(shù)小于1時(shí)，估計(jì)成功概率較低。因此，在分析兩種加權(quán)方式的估計(jì)性能時(shí)，對于式(17)的加權(quán)方式，可主要關(guān)注加權(quán)系數(shù)小于 1的部分；而對于式(18)的加權(quán)方式，則要關(guān)注加權(quán)系數(shù)大于1的部分。

圖3中藍(lán)色曲線為式(17)加權(quán)方式對應(yīng)的仿真結(jié)果，紅色曲線為式(18)加權(quán)方式對應(yīng)的仿真結(jié)果。由圖3(a)，圖3(b)，圖3(c)可以看出，對于式(17)的加權(quán)方式，估計(jì)均方根誤差隨加權(quán)系數(shù)的增加總體呈下降趨勢(m<1)；隨著目標(biāo)角度、信噪比的增加，適當(dāng)減小加權(quán)系數(shù)可提升估計(jì)性能；由圖3(d)可以看出，當(dāng)目標(biāo)角度進(jìn)一步增加時(shí)，估計(jì)均方根誤差曲線呈現(xiàn)遞減趨勢。而對于式(18)的加權(quán)方式，隨著加權(quán)系數(shù)的增加，估計(jì)均方根誤差曲線存在一個(gè)駐點(diǎn)，位于m=1.1處。當(dāng)目標(biāo)角度由3°變到5°時(shí)，駐點(diǎn)位置大于1.1。當(dāng)信噪比進(jìn)一步增高、目標(biāo)角度增大時(shí)，估計(jì)均方根誤差曲線隨著加權(quán)系數(shù)的增加而下降。因此在目標(biāo)角度較大的情況下，應(yīng)用式(18)的加權(quán)方式時(shí)可適當(dāng)增加加權(quán)系數(shù)，估計(jì)性能會有所提升。綜合考慮估計(jì)成功概率和均方根誤差兩個(gè)指標(biāo)，在沒有目標(biāo)角度先驗(yàn)信息的情況下，取式(18)加權(quán)方式 m=1.1是比較合理的選擇。

圖2 不同加權(quán)系數(shù)時(shí)的估計(jì)成功概率對比Fig.2 Probability comparison of successful estimation of different weighted coefficient

4.3 不同方法的性能對比

保持 4.1節(jié)的基本參數(shù)不變，當(dāng)目標(biāo)角度分別取θd= 1°,3°,5°,7°時(shí)，信噪比取?10～20 dB，間隔5 dB，對比文獻(xiàn)[8]，文獻(xiàn)[9]和利用式(18)加權(quán)方式m=1.1時(shí)3種算法的估計(jì)成功概率及均方根誤差，結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出，隨著信噪比的增加，3種算法的估計(jì)性能逐漸變好。與已有方法相比，本文算法具有更高的估計(jì)成功概率。當(dāng)目標(biāo)角度值為1°時(shí)，3種算法的估計(jì)均方根誤差接近，但本文算法的成功概率更高，在信噪比為?10 dB時(shí)，本文算法仍能保證0.8的成功概率；當(dāng)目標(biāo)角度為3°時(shí)，本文算法在估計(jì)成功概率和均方根誤差兩方面都有優(yōu)勢；目標(biāo)角度為5°和7°時(shí)，本文算法在加權(quán)系數(shù)m=1.1時(shí)，估計(jì)均方根誤差并沒有明顯優(yōu)于已有算法。由4.2節(jié)的分析結(jié)果可知，當(dāng)目標(biāo)角度較大時(shí)，可適當(dāng)增大加權(quán)系數(shù)。圖4(g)，圖4(h)給出了 m=1.1,2.5,4.5,5.5時(shí)的估計(jì)成功概率和均方根誤差曲線，可以看出，當(dāng)目標(biāo)角度為 7°時(shí)，估計(jì)成功概率都為 1。而隨著加權(quán)系數(shù)的增大，本文算法的估計(jì)均方根誤差減小，明顯優(yōu)于已有算法。

圖4 不同算法的估計(jì)性能對比Fig.4 Estimation comparison of different algorithms

5 結(jié)束語

針對多徑環(huán)境下的目標(biāo)低仰角估計(jì)問題，本文首先介紹了廣義 MUSIC算法及兩種改進(jìn)算法，理論分析指出，這些算法有效性的實(shí)質(zhì)是對基本譜峰搜索公式的加權(quán)，3種算法可以統(tǒng)一在加權(quán)模型下。不同算法之間角度估計(jì)性能的差異正是由權(quán)值的差異造成的。在此基礎(chǔ)上，本文提出了兩種權(quán)值可調(diào)的加權(quán)方式，并通過仿真試驗(yàn)確定了一個(gè)性能較優(yōu)的權(quán)值。本文進(jìn)一步通過仿真對比分析了已有3種算法與基于該權(quán)值算法的角度估計(jì)性能，仿真結(jié)論指出，基于該權(quán)值的算法具有更高的估計(jì)成功概率，在多數(shù)情況下，估計(jì)均方根誤差優(yōu)于已有算法或與已有算法一致。利用目標(biāo)角度的先驗(yàn)信息，通過調(diào)整權(quán)值，可獲得更優(yōu)良的角度估計(jì)性能。權(quán)值是影響角度估計(jì)性能的重要因素，本文提出的加權(quán)方式模型較為簡單，因此下一步的工作重點(diǎn)將放在權(quán)值設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的探討與權(quán)值的優(yōu)化設(shè)計(jì)上。

[1]董枚,張守宏,吳向東.距離高分辨測高技術(shù)[J].火控雷達(dá)技術(shù),2006,34(1): 10-14.Dong Mei,Zhang Shou-hong,and Wu Xiang-dong.A technique of applying high-range-resolution to height finding[J].Fire Control Radar Technology,2006,34(1): 10-14.

[2]陳伯孝,胡鐵軍,鄭自良,等.基于波瓣分裂的米波雷達(dá)低仰角測高方法及其應(yīng)用[J].電子學(xué)報(bào),2007,35(6): 1021-1025.Chen Bo-xiao,Hu Tie-jun,Zheng Zi-liang,et al..Method of altitude measurement based on beam split in VHF radar and its application[J].Acta Electronic Sinica,2007,35(6):1021-1025.

[3]Chen Bai-xiao,Zhao Guang-hui,and Zhang Shou-hong.Altitude measurement based on beam split and frequency diversity in VHF radar[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2010,46(1): 3-13.

[4]Shan T J,Wax M,and Kailath T.On spatial smoothing of estimation of coherent signals[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,1985,33(4):806-811.

[5]賈永康,保錚.利用多普勒信息的波達(dá)方向最大似然估計(jì)方法[J].電子學(xué)報(bào),1997,25(6): 71-76.Jia Yong-kang and Bao Zheng.Maximum likelihood DOA estimation by using doppler information[J].Acta Electronica Sinica,1997,25(6): 71-76.

[6]趙光輝,陳伯孝,董枚.基于交替投影的 DOA估計(jì)方法及其在米波雷達(dá)中的應(yīng)用[J].電子與信息學(xué)報(bào),2008,30(1):224-227.Zhao Guang-hui,Chen Bo-xiao,and Dong Mei.A new DOA estimator based on alternating projection and its application in VHF radar[J].Journal of Electronics & Information Technology,2008,30(1): 224-227.

[7]Zoltowski M and Haber F.A vector space approach to direction finding in a coherent multipath environment[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1986,34(9): 1069-1079.

[8]張文俊,趙永波,張守宏.廣義 MUSIC算法在米波雷達(dá)測高中的應(yīng)用及其改進(jìn)[J].電子與信息學(xué)報(bào),2007,29(2): 387-390.Zhang Wen-jun,Zhao Yong-bo,and Zhang Shou-hong.Altitude measurement of meter-wave radar using the general MUSIC algorithm and its improvement[J].Journal of Electronics & Information Technology,2007,29(2): 387-390.

[9]劉俊,劉錚,劉韻佛.米波雷達(dá)仰角和多徑衰減系數(shù)聯(lián)合估計(jì)算法[J].電子與信息學(xué)報(bào),2011,33(1): 33-37.Liu Jun,Liu Zheng,and Liu Yun-fo.Elevation angle and multipath fading coefficient joint estimation algorithm in VHF radar[J].Journal of Electronics & Information Technology,2011,33(1): 33-37.

[10]Zhang Yu-feng,Ye Zhong-fu,and Liu Chao.Estimation of fading coefficients in the present of multipath propagation[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2009,57(7): 2220-2224.

[11]劉俊,劉崢,謝榮,等.互耦條件下米波雷達(dá)角度估計(jì)的自校正算法[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào),2011,26(6): 1046-1051.Liu Jun,Liu Zheng,Xie Rong,et al..Auto-calibration angle estimation algorithm for VHF radar in the presence of mutual coupling[J].Chinese Journal of Radio Science,2011,26(6):1046-1051.

[12]胡曉琴,陳建文,王永良.米波雷達(dá)測高多徑模型研究[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào),2008,23(4): 651-657.Hu Xiao-qin,Chen Jian-wen,and Wang Yong-liang.Research on meter-wave radar height-finding multipath model[J].Chinese Journal of Radio Science,2008,23(4): 651-657.

[13]王永良,陳輝,彭應(yīng)寧,等.空間譜估計(jì)理論與算法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004: 19-30,83-88.Wang Yong-liang,Chen Hui,Peng Ying-ning,et al..Spatial Spectrum Estimation Theory and Algorithms[M].Beijing:Tsinghua University Press,2004: 19-30,83-88.