基于隨機性動態(tài)規(guī)劃的教育裝備更新策略*

◆胡雪嬌 王艷萍 劉繼升 馬國棟 李慧

教育裝備是現(xiàn)代教育教學的重要手段，是改善學校的辦學水平、提高教學質(zhì)量和效率的重要途徑[1]。先進的教育裝備為學校提供了豐富的教學資源和良好的教學環(huán)境，在培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力方面起到重要作用。

近年來，學校在教育裝備方面的投資逐漸增大，增添和更新了許多教學設施。因此，在當前的教育教學中，教育裝備已經(jīng)成為教學過程中不可缺少的重要條件。由于教育裝備的理論研究還不成熟，學校對教育裝備的管理還處于初級階段，使得教育裝備不能發(fā)揮應有的使用效能[2-3]。

為保障教學質(zhì)量，滿足教育需求，學校需要及時對教育裝備進行更新和維護。由于教育裝備經(jīng)費有限，因此在決定是否對裝備進行更新時，要考慮裝備更新的成本以及舊裝備維修費用等問題。教育裝備更新問題屬于教育裝備資源分配的一種，而教育裝備資源分配中的許多決策優(yōu)化問題屬于多階段決策問題，動態(tài)規(guī)劃是求解多階段決策問題的有效工具[4]。本文將隨機性動態(tài)規(guī)劃應用于教育裝備更新問題，以確定一種裝備在使用多少年后更新，使得某段時間內(nèi)總費用達到最小，為教育裝備的更新提供最優(yōu)化策略。

1 教育裝備更新的隨機性動態(tài)規(guī)劃模型

1.1 動態(tài)規(guī)劃的基本思想

動態(tài)規(guī)劃（Dynamic Programming）是運籌學的一個重要分支，它是1951年由美國數(shù)學家R.Bellman等人創(chuàng)立的用來解決多階段決策過程優(yōu)化問題的一種方法[5]。所謂多階段決策問題，就是將問題劃分為若干個相互聯(lián)系的階段，每個階段都有一組可供選取的決策，當決策確定后，下階段的初始狀態(tài)也隨之確定。動態(tài)規(guī)劃的特點是將多階段決策問題變換為一系列相互聯(lián)系的單階段問題，然后逐個加以解決[6]。其基本概念如下：

1）階段：根據(jù)時間順序或空間特征將問題劃分為若干個相互聯(lián)系的子問題，這些子問題即為階段。描述階段的變量稱為階段變量，通常用k表示，n表示階段的個數(shù)，當某個問題被劃分為n個階段時，其階段變量為k=1,2，…，n。

2）狀態(tài)：每個階段在開始時所處的狀況。通常用Sk表示每個狀態(tài)的變量。

3）決策：當問題處于某個階段的某個狀態(tài)時，決策者做出的決定使該狀態(tài)演變到下一個狀態(tài)，這種決定就稱為決策。通常用Uk(Sk)表示決策變量，即為階段k的狀態(tài)為Sk時的決策變量。

4）狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：描述過程由一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)變過程。反映這種演變過程的公式記為：

5）策略：是由各個階段的決策按順序排列組成的。由k階段開始到終止狀態(tài)的決策按順序排列組成的序列稱為k子過程策略，記為：

6）指標函數(shù)：指標函數(shù)包括階段指標函數(shù)和過程指標函數(shù)[7-8]。階段指標函數(shù)記為gk(Sk,Uk)，它表示在第k階段處于Sk狀態(tài)下，使用決策Uk后產(chǎn)生的效應。過程指標函數(shù)是用來描述實現(xiàn)過程效果優(yōu)劣的數(shù)量指標，記為Vk(Sk,Uk)，是各個階段的指標函數(shù)的累積。

7）最優(yōu)指標函數(shù)：指從某一階段開始到終止階段選取最優(yōu)策略得到的指標函數(shù)值，記為：

opt即最優(yōu)化optimization，根據(jù)具體問題可取max或min[9]。

根據(jù)決策過程所面臨的方案是否確定，可以將動態(tài)規(guī)劃分為確定性動態(tài)規(guī)劃和隨機性動態(tài)規(guī)劃[10]。由于教育裝備在使用過程每年受到的磨損程度不同，需要的維修費也不同，根據(jù)每個階段裝備的受損程度來判斷是否進行更新，因此，采用隨機性動態(tài)規(guī)劃制定更新策略。

1.2 隨機性動態(tài)規(guī)劃模型

假設某一種裝備的使用規(guī)劃是n年，隨著使用年數(shù)的增加，需要的維修費用和更換新設備使用的費用也隨之增加。以年為單位，將裝備更新問題看作多階段發(fā)展的問題，則在每年年初都有兩種決策可以選擇：維修后繼續(xù)使用或進行更新。則設：

R表示更新設備；

K表示繼續(xù)使用；

Sk表示狀態(tài)變量，k表示裝備使用的年數(shù)（k=1,2,…,n）；

R(Sk)表示第k年初裝備的維修費用；

Ck表示第k年初更新裝備的費用；

fk(Sk)表示裝備使用了k年后的最優(yōu)指標函數(shù)；

xk為決策變量，在每一階段每一狀態(tài)所需作出的決策只有兩個，繼續(xù)使用（Keep）或更新（Replacement），則裝備更新問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

當決策繼續(xù)使用時，函數(shù)指標值為R( Sk)+fk+1(Sk+1)；當決策更新時，函數(shù)指標值為Ck+R(0)+fk+1(1)。則最優(yōu)指標函數(shù)為：

2 實例應用

某學校的某種裝備已使用一年，為保障教學效率，學校需要考慮該裝備在5年內(nèi)的更新問題。因此，學校要在每年年初做出決策，是繼續(xù)使用還是更新。已知該種裝備在使用不同年限后，每年所需的維修費用和更新費用（單位：百元）分別如表1和表2所示。為確保使用經(jīng)費最少，學校需要做出5年內(nèi)每年的更新策略。

表1 裝備維修費用表

表2 裝備更新價格表

根據(jù)1.2節(jié)建立的隨機性動態(tài)規(guī)劃模型求解本例，首先將問題分為5個階段，每年為一階段。狀態(tài)變量Sk表示為第k年年初裝備使用的年限（k=1,2,3,4,5），如S1=1表示裝備已使用了一年；S2=1則表示上一年設備進行了更新，新裝備從第二年年初開始使用；S2=1則表示上一年設備繼續(xù)使用。

其次，根據(jù)表1和表2可以得到每個階段的維修費用和更新費用如表3所示。

表3 裝備維修費用和更新價格表

再次，根據(jù)公式（5）可以得到不同狀態(tài)下的最優(yōu)指標函數(shù)：

穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)是對動植物生命活動的調(diào)節(jié)，在植物生長過程中會通過生長素或其他相關(guān)激素來對其生命進行調(diào)節(jié)，而動物則會利用體液和神經(jīng)調(diào)節(jié)的方式進行有序的生命活動。在種植水果或蔬菜時，人們會利用催熟劑來促進植物快速生長，如乙烯具有催熟果實的重要作用。而人在調(diào)節(jié)身體平衡狀態(tài)時，都是通過自身免疫力的調(diào)節(jié)來預防疾病發(fā)生，如食用維生素。以上都是生活中常見的穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)。

用逆序遞推法求問題的最優(yōu)解。

當k=5時，S5=1,2,3,4,5。

根據(jù)公式（6）可得到f5( S5)在S5取不同值時的指標值，見表4。

表4 第五階段決策表

當k=4時，S4=1,2,3,4。

根據(jù)公式（6）可得到 f4(S4)在S4取不同值時的指標值，見表5。

?

當k=3時，S3=1,2,3。

表6 第三階段決策表

當k=2時，S2=1,2。

根據(jù)公式（6）可得到f2(S2)在S2取不同值時的指標值，見表7。

表7 第二階段決策表

當k=1時，S1=1。

根據(jù)公式（6）可得到 f1( S1)在S1取不同值時的指標值，見表8。

根據(jù)求解結(jié)果可以得到該種裝備更新的最優(yōu)決策為：第一年繼續(xù)使用，第二年繼續(xù)使用，第三年更新，第四年繼續(xù)使用，第五年繼續(xù)使用，使用的總費用為5100元。

表8 第一階段決策表

3 結(jié)論

教育裝備更新是學校在管理教育裝備過程中必然遇到的問題，裝備何時更新才能保證使用的教育經(jīng)費最低是學校考慮的最重要的問題。從經(jīng)濟角度考慮，舊裝備每年的維修費用不斷增加，新裝備雖然有較低的維修費用，但初始投資大。因此，本文利用動態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化原理，通過比較每年舊裝備的維修費用和更新裝備費用的大小，只有當更新裝備的費用小于舊裝備的維修費用時，才對舊裝備進行更新，使得教育經(jīng)費的消耗最低。

[1]許成果.教育裝備效能綜合評價研究[D].北京：首都師范大學,2007.

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[3]艾倫,姚玉琴,等.教育裝備從經(jīng)驗管理走向科學管理[J].中國教育技術(shù)裝備,2009(32)：17.

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