環面自映射ω-極限集軌道的漸近性

劉喜玲，霍振宏，陳留強

(1.中原工學院 a.信息商務學院;b.理學院，鄭州 450007;2.鄭州交通職業學院，鄭州 450062)

環面自映射ω-極限集軌道的漸近性

劉喜玲1a，霍振宏1b，陳留強2

(1.中原工學院 a.信息商務學院;b.理學院，鄭州 450007;2.鄭州交通職業學院，鄭州 450062)

迭代;周期點;軌道;ω-極限集

0 引言

ω-極限點是由周期點的概念推廣而得到的概念，是動力系統中的重要概念，而軌道則是動力系統研究的基本對象。早在60年代，對于線段上的連續自映射，A.N.Sarkovskii給出了f的非游蕩點的任意聚點，都是f的ω-極限點;80年代，A.Blockh給出了ω(f)=Ω(f)∩f(Ω(f))∩f2(Ω(f))∩…;熊金城則證明了ω-極限集是非空閉子集，且相對于f而言是強不變的。本文則在此基礎上介紹了環面上連續自映射的ω-極限集軌道的漸近性質。

1 相關概念

設X為環面上的緊致度量空間，記X上的全體連續自映射的集合為C0(X)。

設f∈C0(X)，用f0表示恒等映射，對任何自然數n，歸納地定義:

設 f∈ C0(X)，?(x，y)∈ X。如果存在整數 n ＞ 0，使得 fn(x，y)=(x，y)，則稱(x，y)為 f的周期點，并把使fn(x，y)=(x，y)成立的最小正整數n稱作它的周期。f的全體周期點的集合，記作P(f)。

設 f∈ C0(X)，?(x，y)∈ X。如果存在整數 n ＞ 0，使得 fn(x，y)=(x，y)，則稱(x，y)為 f的周期點，并把使fn(x，y)=(x，y)成立的最小正整數n稱作它的周期。f的全體周期點的集合，記作P(f)。

設f∈C0(X)，集合A?X稱為f的不變集，如果f(A)?A;如果f(A)=A，則稱A為f的強不變集。

設 f∈C0(X)，(x，y)∈X。若存在整數n ＞ 0和p∈P(f)，以及p的鄰域P(x，y)，使得fn(x，y)∈U(p)，則稱(x，y)為f的漸近周期點，記f的漸近周期點集為AP(f)。當存在k＞0，使得fn(x，y)∈P(f)時，則稱(x，y)為f的終于周期點，記f的終于周期點集為EP(f)。

2 相關命題

命題 1 設f∈C0(X)。若(x，y)∈P(f)，則ωf(x，y)={x，f(x)，…，fn-1(x)}，其中n≥1 是(x，y)的周期。

此命題的證明是顯然的。

命題2 設f∈C0(X)，若(x，y)∈X，則ωf(x，y)是X的非空閉子集，且相對于f而言ωf(x，y)是強不變的。

證明 Orbf(x，y)是緊致度量空間X上的一個序列，因此它有子序列收斂到X上某一點，這個點包含在ωf(x，y)內，故ωf(x，y)不空。ωf(x，y)的閉性可由定義直接得到。

而由f是連續自映射知，f和 f-1的連續性，顯然 f(ωf(x，y))?ωf(x，y)，而且有

命題3 設f∈C0(X)。若(x，y)∈X，則對任意整數n ＞0，有

推論1 設 f∈C0(X)，若(x，y)∈ X，則對任意整數 n ＞ 0，ωf(x，y)= ωfn(x，y)。

換言之，映射f的ω-極限集可迭代。

證明 設(x，y)∈X，顯然有 ωfn(x，y)? ωf(x，y)。另一方面，根據命題3，知

從而

命題4 設f∈C0(X)。若(x，y)∈X，則(x，y)?AP(f)蘊涵ωf(x，y)不可數。

證明 設(x，y)?AP(f)。先設ωf(x，y)有限而導致矛盾。這時ωf(x，y)中的每一點都是f的終于周期點，因而ωf(x，y)有f的周期點。

不妨設(x0，y0)∈ωf(x，y)是f的周期點，其周期為n≥1。取(x，y)的任一鄰域U(x，y)，顯然存在足夠大的 k ＞ 0，使得當 l ＞ k時，有 fl(x，y)∈ U(x，y)。不妨設 fl(x，y)∈ U(x0，y0)? U(x，y)。于是

易見有，

這蘊涵

即(x，y)為f的漸近周期點，與假設矛盾。上面證明了ωf(x，y)不可能是有限的。

下設ωf(x，y)無限但可數。易見ωf(x，y)無孤立點。令

取(x1，y1)的鄰域 U(x1，y1)，則存在 n1＞ 0，使得(xn1，yn1)∈ U(x1，y1)且

這就證明了ωf(x，y)是不可數的。

推論2 設f∈C0(X)。若(x，y)∈X，則ωf(x，y)或是由f的一條周期軌道組成，或不可數。

［1］熊金城.線段映射的動力體系:非游蕩集，拓撲熵以及混亂［J］.數學進展，1988，17(1):1-11.

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Asymptotic Property of ω-Limit Set Orbit in Self-mapping for Torus

LIU Xi-ling1a，HUO Zhen-hong1b，CHEN Liu-qing2
(1a.College of Information and Business;b.College of Science，Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China;2.Zhengzhou Jiaotong Vocational College，Zhengzhou 450062，China)

iteration;periodic point;orbit;ω-limit set

O189.1

A

1009-3907(2013)12-1588-02

2013-10-18

劉喜玲(1981-)，女，河南許昌人，講師，碩士，主要從事拓撲動力系統研究。

責任編輯:

程艷艷