太陽能小屋的設計模型

張永紅，馮淑娟

(渭南師范學院數學與信息科學學院，陜西渭南714000)

1 問題的提出

在設計太陽能小屋時，需在建筑物外表面(屋頂及外墻)鋪設光伏電池，光伏電池組件所產生的直流電需要經過逆變器轉換成220 V交流電才能供家庭使用，并將剩余電量輸入電網．不同種類的光伏電池每峰瓦的價格差別很大，且每峰瓦的實際發電效率或發電量還受諸多因素的影響，如太陽輻射強度、光線入射角、環境、建筑物所處的地理緯度、地區的氣候與氣象條件、安裝部位及方式(貼附或架空)等．因此，在太陽能小屋的設計中，研究光伏電池在小屋外表面的優化鋪設是很重要的問題．

2012高教社杯全國大學生數學建模競賽題目(B題)附件1～7［1］提供了相關信息．請參考附件提供的數據，對下列3個問題分別給出小屋外表面光伏電池的鋪設方案，使小屋的全年太陽能光伏發電總量盡可能大，而單位發電量的費用盡可能小，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內的發電總量、經濟效益(當前民用電價按0．5元/kWh計算)及投資的回收年限．

問題1:請根據山西省大同市的氣象數據，僅考慮貼附安裝方式，選定光伏電池組件，對小屋(見附件2［1］)的部分外表面進行鋪設，并根據電池組件分組數量和容量，選配相應的逆變器的容量和數量．

問題2:電池板的朝向與傾角均會影響到光伏電池的工作效率，請選擇架空方式安裝光伏電池，重新考慮問題1．

問題3:根據附件7［1］給出的小屋建筑要求，請為大同市重新設計一個小屋，要求畫出小屋的外形圖，并對所設計小屋的外表面優化鋪設光伏電池，給出鋪設及分組連接方式，選配逆變器，計算相應結果．

在求解每個問題時，都要求配有圖示，給出小屋各外表面電池組件鋪設分組陣列圖形及組件連接方式(串、并聯)示意圖，也要給出電池組件分組陣列容量及選配逆變器規格列表．

在同一表面采用兩種或兩種以上類型的光伏電池組件時，同一型號的電池板可串聯，而不同型號的電池板不可串聯．在不同表面上，即使是相同型號的電池也不能進行串、并聯連接．應注意分組連接方式及逆變器的選配．

2 問題分析

問題1:要求給出一個優化的模型，解決一個全年太陽能光伏發電總量盡可能大而單位發電量的費用盡可能小的問題．依據題目給出的條件，首先利用Excel、Matlab工具對附件4［1］中所給的山西省大同市的氣象數據及小屋各表面的有效面積等進行分析處理．僅考慮貼附安裝方式，選定光伏電池組件，對小屋(見附件2［1］)的部分外表面進行鋪設，并根據電池組件分組數量和容量，選配相應的逆變器的容量和數量．進而需要分別給出小屋外表面光伏電池的鋪設方案，使小屋的全年太陽能光伏發電總量盡可能大，而單位發電量的費用盡可能小，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內的發電總量、經濟效益(當前民用電價按0．5元/kWh計算)及投資的回收年限．

問題2:在問題1的基礎上，各個表面的光伏電池組件的選擇和鋪設不變的條件下，進一步考慮電池板的朝向與傾角對光伏電池的工作效率的影響，選擇架空方式安裝光伏電池．利用附件6［1］所給的角度函數建立總發電量與傾角的函數關系，進而求解其最值，并求解同問題1相同的問題．

問題3:通過對問題1、問題2兩種方式結果進行對比，根據附件7［1］中的小屋尺寸，選擇架空方式定光伏電池組件，對小屋(見附件7［1］)的部分外表面進行鋪設，并根據電池組件分組數量和容量，選配相應的逆變器的容量和數量．只需要對問題2中建立的模型進行改進．就能求出小屋外表面光伏電池的鋪設方案，使小屋的全年太陽能光伏發電總量盡可能大，而單位發電量的費用盡可能小，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內的發電總量、經濟效益(當前民用電價按0．5元/kWh計算)及投資的回收年限．

3 模型假設

(1)假設表面總輻射量小于80 W/m2時，光伏電池組件無法啟動發電．

(2)假設在計算太陽能小屋投資費用時，僅考慮電池組塊和逆變器的費用．

(3)符號說明如表1．

表1 相關符號說明

4 模型建立與求解

4．1 問題1

4．1．1 模型1:貼附安裝下發電量最大優化模型

為簡化計算，在此可通過電池表面太陽光輻照閾值(光伏電池組件啟動發電時其表面所應接受到的最低輻射量限值，單晶硅和多晶硅電池啟動發電的表面總輻射量超過80W/m2、薄膜電池表面總輻射量≥30 W/m2)進行判斷，因此可建立如下整數規劃模型:

相應地代入5個面上各個已知量的數據，用lingo編程求解出西立面、東立面、南立面、北立面上具體安排的組件個數的最優分布及最大發電量:

西立面:光伏電池選擇x3=21，x20=1，最大發電量z1=3989500 W;

東立面:光伏電池選擇 x2=1，x3=16，x4=1，x20=2，最大發電量 z2=2309282 W;

南立面:光伏電池選擇x1=2，x2=1，x3=21，最大發電量z3=5810293 W;

北立面:光伏電池選擇x1=11，x2=1，x3=21，最大發電量z4=1016506 W;

屋 頂:光伏電池選擇x1=21，x2=2，x3=21，x4=2，最大發電量z5=2085471 W;

4．1．2 模型2:費用最小模型

根據太陽能小屋各個面上光伏電池的選擇，設計出每個面上鋪設光伏電池的具體排布及選擇逆變器的數量、光伏電池的連接，此時考慮費用最小．

根據山西省大同市的氣象數據［1］，得到表2．

表2 經濟收益表

通過所有光伏組件在0～10年效率按100%計算，10～25年按照90%折算，25年后按80%折算出小屋的光伏電池35年壽命期內的總發電量為:

根據不同類型電池價格不同，通過對小屋西立面、東立面、南立面、北立面、頂面35年發電總量和民用電價算出小屋光伏電池在整個壽命期內產生的價值:經濟效益862342060．64元．

4．2 問題2

4．2．1 模型 3

電池板的朝向與傾角均會影響到光伏電池的工作效率，選擇架空方式安裝光伏電池，重新考慮問題1．確定輸出量最大的情況下建立關于角度函數的公式建立方程模型:用Matlab對方程很容易求解出角度的最優值．然后用問題1的結果和角度之間的關系，問題可以簡化為只考慮頂面的光輻射量．由光電板不同傾斜面上輻射量的計算公式［2］為:

其中:HT為太陽輻射至電池板，電池板所接收的太陽能;H，Hd為水平面的總輻射量和散射量;α為光電板傾角;ρ為地物表面的反射率，在工程計算中ρ一般取0．2，有雪覆蓋的地面取0．7;Rb為傾角面與水平面的直射之比:

其中:φ為當地緯度;ωs，ω0是傾斜面和水平面的日落時角;δ為太陽赤角［3］．

n為日期序號．例如，1月1日為n=1，3月22日為 n=81．［4］

由以上各式可以建立HT關于α的函數關系式，通過微分思想，找到HT關于α的穩定點:

通過Matlab計算得到其穩定點程序，令HT

'(α)=0解得當°時，HT取得最大值．此時，max H(T)(α)=3．6606e+008 w ．

假設其他幾個面光照輻射不發生變化，只考慮頂面的光照輻射．建立一年內在架空方式安裝下電池主件發電量最優化模型(只對屋頂):

對于法向輻射強度IDN=I0Pm．

其中:I0表示垂直與大氣層外邊界出的太陽輻射強度;P表示大氣透明度;m表示光線透過大氣層的質量，忽略地球曲率的影響，大氣質量

4．2．2 模型3的求解

圖1 傾斜面光照示意圖

水平面直射太陽輻射強度［5］:IDH在Rt△OAB中，有IDN×AB=IPH×OH;則

任意傾角面上的太陽輻射強度計算如下:

其中:IDH表示傾斜面上太陽直射輻射強度;Idh表示傾斜面上太陽散射強度;IRA表示斜面上獲得地面反射輻射強度．

計算時角的計算公式為

其中:ts為太陽時(單位:小時)．

太陽高度角是太陽相對于地平線的高度角，這是以太陽視盤面的幾何中心和理想地平線所夾的角度．太陽高度角可以使用下面的算式，經由計算得到很好的近似值:其中:α為太陽高度角，ω為時角，δ為當時的太陽赤緯，φ為當地的緯度(大同的緯度為40．1°)．太陽方位角(A)是太陽在方位上的角度，它通常被定義為從北方沿著地平線順時針量度的角．它可以利用下面的公式，經由計算得到良好的近似值．

下面的兩個公式也可以用來計算近似的太陽方位角，不過因為公式使用余弦函數，所以方位角永遠是正值，因此，角度永遠被解釋為小于180°，而必須依據時角來修正．當時角為負值時 (上午)，方位角小于180°;時角為正值時 (下午)，方位角應該大于180°，即要取補角的值．

其中:A為太陽的方位角，α為太陽高度角，ω為時角，δ為當時的太陽赤緯，φ為當地的地理緯度．則在約束條件下解得最優解:kA1=21，kA2=2，kA3=21，kA4=2．其中:kAi表示 Ai的個數，i=1，2，3，4，進而計算可得最大發電量z=22342990 W．此時，小屋屋頂接受的太陽能用來轉化電能，所需花費為電池組件花費+逆變器花費．電池組件花費為722．73×14．9=10768．677元;逆變器所花費用為35000×2+4500×2+22000+15300=116300元．

表3 電池組件及逆變器選擇列表

4．3 問題3

利用附件7中給出的小屋建筑要求，建立關于小屋各個表面面積最大的最優化模型(模型4):

目標函數:Smax=log×wid+2×wid×hig+2log×hig－w log×wwid，

其中:log為長，hig為高，wid為寬，wwid為窗寬，w log為窗長．

運用 lingo 編程，可求出小屋的長、寬、高分別為:9．45 m、7．83 m、5．4 m;窗戶的長、寬分別為:8．35 m、1．77 m．

從而可以得到各個表面的有效面積，進而可以利用模型3得到各個表面的鋪設方案．又因為題目所給的條件小屋允許偏離正南朝向，因此對整個小屋進行旋轉45°得到太陽能小屋的最優設計［5］．

5 模型的推廣

光伏系統在整個壽命周期(目前為35年)內所產生的能量，遠大于其制造、運輸、安裝、運行等階段全部輸入的能量，而且隨著技術的進步，光伏系統的制造、安裝過程中消耗的能量還將不斷下降，能量償還時間將進一步縮短，光伏發電確實是值得大力推廣的綠色清潔能源．模型主要對太陽能小屋的發電量、經濟效益進行了最優化研究，對今后在太陽能資源的利用方面提供了理論參考．

［1］湖南數學網絡學院．2012高教社杯全國大學生數學建模競賽題目［DB/OL］．(2012－09－07)［2012－11－25］．http://www．worlduc．com/e/blog．aspx?bid=10750389．

［2］吳建國．數學建模案例精編［M］．北京:中國水利水電出版社，2005．

［3］陳俊．光伏系統發電量計算的分析［J］．農村牧區機械化，2006，(2):27－28．

［4］楊金煥，毛家俊，陳中華．不同方位傾斜面上太陽輻射量及最佳傾角的計算［J］．上海交通大學學報，2002，36(7):1032－1036．

［5］楊衛國，夏紅衛，魏生賢，等．豎直墻面不同方位上太陽輻射量的計算分析［J］．西南師范大學學報，2008，33(2):22－25．

［6］劉振寧，馮華，楊仁剛．山西不同地區太陽輻射量及最佳傾角分析［J］．山西農業大學學報(自然科學版)，2011，31(3):272－276．

［7］孫韻琳，杜曉榮，王小楊，等．固定式并網光伏陣列的輻射量計算與傾角優化［J］．太陽能學報，2009，30(12):1597－1601．