多項式響應面代理模型在直升機飛行性能計算中的應用

劉 明，李文輝，黃福貴

(海軍駐景德鎮地區航空軍事代表室，江西景德鎮 333001)

0 引言

在直升機飛行性能計算中，為了提高飛行性能的計算可信度，越來越多地采用了高精度的飛行力學模型。但是如果直接將這些高精度模型用于飛行性能計算的大量迭代中，會導致計算量過大而難于實施。在飛行性能的優化計算中，這個問題也會非常突出，常常使得優化計算無法進行。另外，無論是采用Flightlab等商業軟件還是自研程序，對于直升機飛行力學模型這樣的需要求解各種復雜配平的數學模型，希望在整個飛行包線范圍內都能自動穩定收斂，得到正確的配平結果是十分困難的，少數幾個計算數據點的不收斂結果很有可能導致錯誤的性能計算結果和優化結果的失真。解決這個問題，一個可行的方法就是采用代理模型。

目前常用的代理模型主要有多項式響應面模型、徑向基函數模型、Kriging模型等，其中多項式響應面模型是優化領域應用比較廣泛的代理模型，相比其它兩種常用代理模型，它最大的優勢是能夠有效過濾計算中的數值噪聲［1］，剔除由于飛行力學模型迭代殘差和收斂不穩定帶來的計算結果數值抖動，保證代理模型擬合結果的光順平滑，從而提高整個代理模型擬合過程的自動化程度、可靠性和適用性，有利于后續的飛行性能計算和優化。

本文提出一種將多項式響應面代理模型應用于直升機飛行性能計算的方法。首先闡述了多項式響應面代理模型的求解方法，然后給出代理模型的構造流程，最后對算例直升機進行原始模型計算結果、代理模型計算結果和試飛結果的對比，還有算例直升機氣動參數可行域求解，驗證本方法在工程實踐中的可行性和優越性。

1 多項式響應面代理模型的求解方法

設代理模型共有m個設計變量，則Y為m維向量，對第i個設計向量的擬合階數是orderi，共有p個采樣點，對第j個樣本點響應值fj(x)的多項式響應面模型的基本形式如下:

由于樣本點數量可能會超過未知數的數量，上式可能為超靜定的線性矩陣方程，可以通過Gram-Schimdt正交化方法QR分解來求解。采用傳統Gram-Schimdt正交化方法求解列正交矩陣Q時，舍入誤差較大，導致求解最小二乘法時會出現不穩定，需要采用修正的 Gram-Schimdt正交化方法［2］。對于A矩陣可以拆分為n個列向量a1，a2，…，an，構造標準正交基q1，q2，…，qn:

矩陣Q=［q1q2…qn］

通過修正Gram-schmidt方法可以求得矩陣A的QR分解A=QR，其中QQT=I，且矩陣R為上三角矩陣，于是上式可以變形為:

通過上三角追趕法就可以求得系數向量X。

進行多變量的高階多項式響應面擬合時，矩陣A常常是病態矩陣，而且階數越高、變量數量越多，病態越嚴重。當病態嚴重到一定程度后，計算中就會出現不可用的擬合結果。因此還需要對樣本點設計變量的分布區間進行平移和壓縮，映射到區間［－100，100］。設第j個設計變量的分布區間上下限為［ymax，ymin］，則對某個樣本點的設計變量平移公式為:

得到平移后的設計變量。通過實踐證明，使用映射后的設計變量進行最小二乘法擬合可以有效降低矩陣A的病態程度，保證直升機飛行性能代理模型構造的數值穩定。

得到代理模型的系數后就可以按多項式響應面模型的基本形式得到樣本點區間內任意變量組合的響應值了。

2 建立直升機需用功率的代理模型

下面介紹計算用于直升機飛行性能分析的多項式響應面代理模型的構建流程:

1)確定設計空間的擬合階數和樣本點

對于給定的直升機，對需用功率影響較大的飛行參數有:飛行重量、壓力高度、大氣溫度、平飛速度、爬升速度、重心位置、旋翼轉速等。如果要進行氣動參數優化，還可以加入平尾面積、平尾位置、平尾安裝角等氣動參數。根據直升機的一般飛行包線和統計設計參數范圍，可以確定設計空間的上下限。

然后是確定對每個飛行參數的擬合階數，飛行重量、壓力高度、大氣溫度、爬升速度對需用功率的影響比較接近線性關系，可以使用一階線性或者二階多項式擬合。平飛速度對需用功率的影響相對復雜，使用5階或者6階多項式就可以較好地擬合。對于氣動參數則需要結合其自身特點進行分析，確定所需擬合階數。

確定擬合階數后就可以確定每個參數的采樣個數，采樣個數需要高于參數的擬合階數，樣本點的總數為所有變量的采樣個數乘積。

2)使用直升機飛行力學軟件計算樣本點需用功率

使用直升機飛行力學軟件對第一步確定的樣本點逐一進行計算得到對應的需用功率，并將沒有收斂的數據點剔除掉，以免對擬合結果造成誤差。

3)構造模型擬合方程，使用最小二乘法對樣本點進行擬合

對樣本點數據按前面的多項式響應面模型進行組織，得到矩陣方程，并依次進行QR分解和上三角追趕求解擬合系數。

4)使用得到的代理模型進行需用功率計算，檢查代理模型精度

使用得到的代理模型對樣本點和其它測試點的需用功率進行計算，對比樣本點的需用功率和代理模型的計算結果，判斷代理模型是否滿足所需的精度要求。如果代理模型精度不能滿足要求，則調整樣本點設置并提高多項式的擬合階數，直到滿足精度要求為止。

具體流程圖見圖1。

3 多項式響應面代理模型在直升機飛行性能計算中的應用

對算例直升機使用前面的方法構建多項式響應面代理模型，各樣本點和擬合參數選擇如表1，總共有1701個樣本點。

圖1 代理模型構建流程

表1 代理模型構建參數

代理模型構建完成后，分別使用代理模型與原始模型兩種方法計算算例直升機的平飛和垂直飛行需用功率曲線，再將計算結果與試飛結果比對，得到圖2、圖3和圖4。

圖2 不同平飛速度對應需用功率的代理模型和原始模型的計算結果對比

圖3 不同無地效懸停重量對應需用功率的代理模型和原始模型的計算結果對比

圖4 不同爬升速度對應需用功率的代理模型和原始模型的計算結果對比

可以看到代理模型對需用功率的計算結果和試飛結果基本一致，除小速度平飛狀態外，代理模型和原始模型計算結果的誤差基本在0.5%之內，滿足性能計算的精度要求。

采用多目標粒子群算法對直升機短翼參數進行優化，分別使用代理模型和原始模型兩種方法進行求解，得到的可行域邊界如圖5，可以看到兩者求得的可行域邊界基本一致，代理模型滿足優化計算的要求。同時需用計算時間從36min減小到2.5min，極大地提高了計算速度(見圖6)。

圖5 短翼參數多目標優化的代理模型和原始模型的計算結果對比

圖6 多目標優化的代理模型和原始模型計算需用時間對比

4 多項式響應面代理模型在直升機飛行性能計算中應用的優點

通過在實際工程的直升機飛行性能計算中運用多項式響應面代理模型，相比傳統直接對直升機需用功率進行計算，多項式響應面代理模型主要有以下優點:

1)方便多人協同工作和前后工作銜接

實際工作中，一個型號的性能計算工作往往是有多人參與的，不同人對性能分析的輸入參數和使用軟件不同可能導致不同的計算結果。同一個型號性能計算工作的時間跨度也可能很大，工作途中對參數和軟件的修改可能造成前后的計算結果不一致。采用代理模型后，就減小了對軟件和參數的意外調整的可能，能夠方便統一每人的工作以及同一型號的前后結果。

2)極大地提高了計算速度，沒有收斂性問題

代理模型在完成構造后只需要遠小于直接計算的計算量就可以得到滿足精度要求的結果，能夠有效減小性能計算工作的計算量，完全避免了直接計算中的收斂性問題。

3)使得高精度模型應用于直升機飛行性能計算成為可能

由于代理模型構造所需的樣本點既可以從自研程序讀入，也可以使用商業軟件，且具有計算速度快的特點，在完成飛行性能的高精度模型構造后，就能將高精度模型用于直升機飛行性能計算與參數優化，避免了高精度模型所需計算量過大和程序之間接口的問題。

4)可推廣運用于電子飛行包和電子飛行手冊等其它需要飛行性能計算的領域

電子飛行包和電子飛行手冊等的應用，需要提供飛行性能計算功能，但是硬件平臺計算能力非常有限，不能滿足直接計算所需的計算速度要求，這就可以采用代理模型來提供飛行性能計算結果，在減小計算量的同時保證了結果精度。在某些不適合提供完整性能計算模型的場合也可以使用代理模型替代。

5 結論

由前面論述可以看出:

1)多項式響應面代理模型對直升機需用功率擬合精度較高，并且數值穩定，滿足工程運用的要求，可用于直升機性能計算、氣動參數優化選擇和電子飛行手冊等多個領域。

2)使用代理模型進行飛行性能計算，相比傳統原始模型，計算速度快，沒有收斂性問題，方便多人協同工作和前后工作銜接，具有很高的工程實用價值。

［1］穆雪峰.多目標設計優化中常用代理模型的研究［J］.計算力學學報.2005(10).

［2］宋葉志.Fortran95/2003科學計算與工程［M］.北京:清華大學出版社.2011.