一類聲子晶體角梁的振動帶隙研究

舒海生，高恩武，張 法，李世丹，董立強

(哈爾濱工程大學 機電工程學院702所，哈爾濱 150001)

聲子晶體通過周期性地改變材料參數(shù)和(或)結(jié)構(gòu)型式，能夠產(chǎn)生不同中心頻率和帶寬的彈性波帶隙(stop band)，在新型聲學器械、精密機械手、高精度穩(wěn)定平臺等減振降噪領(lǐng)域具有潛在的工程應(yīng)用價值。現(xiàn)有的聲子晶體研究主要集中在帶隙形成機理分析和帶隙計算方法探索等［1-7］領(lǐng)域，而實際應(yīng)用研究［8-9］則較為少見。所針對的研究對象基本上是單一構(gòu)型的聲子晶體，例如一維聲子晶體桿、梁、軸［7，9-12］，以及二維聲子晶體格柵和板等［5-6］，而對實際應(yīng)用中常見的各種組合形式的結(jié)構(gòu)件卻鮮見分析。一般而言，彎曲振動帶隙中心頻率較低，縱向振動帶隙中心頻率較高，二者往往不在同一頻段，使用任何一種單一構(gòu)型的結(jié)構(gòu)(例如一維聲子晶體直梁)一般只利用了其彎曲帶隙或縱向帶隙，振動衰減頻帶較窄，不僅如此，由于彎曲(縱向)帶隙一般只能對彎曲(縱向)激勵才能發(fā)揮抑制作用，對于擾頻位于縱向(彎曲)帶隙內(nèi)的彎曲(縱向)激勵這類簡單構(gòu)型的聲子晶體則無能為力了，因而存在減振維度低的局限性。實際振源情況往往是多維的，縱向激擾和彎曲激擾經(jīng)常同時存在，因而直梁結(jié)構(gòu)便不能很好地滿足多維減振需求。為此，本文給出了一類聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由兩根聲子晶體梁以某一角度通過扭簧聯(lián)接而成。一方面這種結(jié)構(gòu)能夠在組成梁之間實現(xiàn)彎曲振動和縱向振動的轉(zhuǎn)化，使得彎曲帶隙可以被用于控制縱向激擾，縱向帶隙也可以被用于抑制彎曲激擾，從而獲得了寬頻多維減振性能。另一方面，通過引入扭簧有效地加強了組成梁之間的“彈簧-振子”效應(yīng)，在增加了總體振動帶隙的寬度和衰減量的同時，還提高了低頻減振能力，從而使得聲子晶體角梁的減振頻帶得到進一步拓寬。

1 聲子晶體角梁振動理論分析

圖1給出了聲子晶體角梁的結(jié)構(gòu)示意圖，下梁(梁Ⅰ)和上梁(梁Ⅱ)通過扭簧連接，兩梁之間的初始夾角可以變動，設(shè)為θ(0＜θ＜180°)，梁Ⅰ末端的加載角為α(0≤α≤90°)。上下兩梁材料分布和周期結(jié)構(gòu)尺寸完全相同。聲子晶體角梁是一種特殊類型的曲梁，其振動可解耦為角梁平面內(nèi)振動和垂直于角梁平面的面外振動。本文主要研究面內(nèi)振動，重點考察聲子晶體角梁的面內(nèi)二維寬頻減振性能。

圖1 聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Angle-type beam of PCs

面內(nèi)振動又可以分為彎曲振動和縱向振動兩部分，對于每一段梁來說，如梁Ⅰ或者梁Ⅱ，面內(nèi)彎曲振動和面內(nèi)縱向振動是解耦的，而對于整個角梁來說，由于在梁Ⅰ，梁Ⅱ結(jié)合處存在彎曲振動和縱向振動之間的相互轉(zhuǎn)化，從而將使得聲子晶體角梁的總振動表現(xiàn)出耦合特性。

當彎曲波或縱波在單獨的梁Ⅰ或梁Ⅱ中傳播時，不同周期間的傳遞關(guān)系可寫為:

不妨設(shè)在結(jié)合處梁Ⅰ為第n周期，梁Ⅱ為第1周期。根據(jù)結(jié)合處梁Ⅰ和梁Ⅱ的位移、應(yīng)力、轉(zhuǎn)角和彎矩等協(xié)調(diào)條件，有:

其中:K為扭轉(zhuǎn)彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度，θ為梁Ⅰ與梁Ⅱ的夾角;為梁Ⅰ在X=na處Y向位移，為梁Ⅱ在X=0處Y向位移;為梁Ⅰ在X=na處X向位移，為梁Ⅱ在X=0處X向位移;為梁Ⅰ在X=na處的彎矩為梁Ⅱ在X=0處的彎矩;為梁Ⅰ在X=na處的彎角為梁Ⅱ在X=0處的彎角;為梁Ⅰ在X=na處的法向力，為梁Ⅱ在X=0處的法向力;為梁Ⅰ在X=na處的剪力，為梁Ⅱ在X=0處的剪力，即:

式(9)～(14)可進一步寫成矩陣形式:

限于篇幅，此處不再列出K0和H0。

由式(1)、(2)、(15)可推得:

其中:

式(17)即為由梁Ⅰ遠端傳入的彎曲波和縱波在角梁中向梁Ⅱ遠端傳播的傳遞矩陣，可以看出，總傳遞特性不僅取決于周期結(jié)構(gòu)單梁本身的傳遞矩陣Ta1、Tb1的共同作用，從而使得彎曲帶隙和縱向帶隙的作用同時發(fā)揮成為可能，同時還要受到角梁結(jié)合處耦合作用的影響，例如夾角θ和扭簧剛度K等參數(shù)的作用，進而使得整個角梁又將呈現(xiàn)出一些新的特征。

2 聲子晶體角梁的數(shù)值分析

根據(jù)傳遞矩陣法分析結(jié)果，采用MATLAB7.1軟件進行了數(shù)值求解。各參數(shù)設(shè)置如下:取梁Ⅰ、梁Ⅱ均為三周期，截面直徑D=0.015 m，a1=0.15 m，a=0.3 m，K=1 N·m/(°)。鋁的材料參數(shù)為:密度 2 799 kgm-3，彈性模量 7.21e10 Pa，泊松比 0.345 1;有機玻璃參數(shù)為:密度1 062 kgm-3，彈性模量 0.32e10 Pa，泊松比0.333 3。加載的位移幅值u0=0.001 m，加載角分別取 α =0°，α =90°，角梁夾角分別取 45°，90°，135°。六種情況的數(shù)值分析結(jié)果如圖2，圖3，圖4所示。

圖2 夾角90°扭轉(zhuǎn)剛度1N·m/(°)的聲子晶體角梁振動傳遞率曲線Fig.2 Vibration transmissibility of right-angle type beam with 1 N·m/(°)the torsional rigidity

如圖2所示，對于夾角為90°的聲子晶體角梁，當加載角為0°，在0～8 000 Hz范圍內(nèi)形成了420～1 020 Hz，1 220 ～1 620 Hz，2 020 ～5 620 Hz，6 420 ～8 000 Hz四個帶隙，在低頻范圍內(nèi)衰減幅值也能達到-20 dB;當加載角為90°時，在0～8 000范圍內(nèi)形成220～620 Hz，3 220 ～5 620 Hz，6 000 ～8 000 Hz四個較大的帶隙。類似地，對于45°夾角角梁，當加載角為0°，形成了2 000～5 500 Hz，6 200～8 000 Hz的帶隙，當加載角為90°時形500 ～1 000 Hz，1 200～1 800 Hz，4 000 ～5 200 Hz，6 000～7 000 Hz四個帶隙，如圖3所示。對于135°夾角角梁，當加載角為0°，形成了2 000～5200 Hz，6 500～8 000 Hz兩個帶隙，當外在激擾的加載角為90°時形成500～1 000 Hz，1 200～2 200 Hz，4 000～5 300 Hz，6 000～6 800 Hz四個帶隙，如圖4所示。圖2～4均表明了聲子晶體角梁能夠有效地抑制面內(nèi)各種不同方向的外部激擾，因而具有良好的寬頻多維減振能力。比較而言，90°夾角的聲子晶體角梁的總體減振性能要優(yōu)于其他兩種角梁形式。

圖3 夾角45°扭轉(zhuǎn)剛度1 N·m/(°)的聲子晶體角梁振動傳遞率曲線Fig.3 Vibration transmissibility of 45-angle type beam with 1 N·m/(°)the torsional rigidity

圖4 夾角135°扭轉(zhuǎn)剛度1 N·m/(°)的聲子晶體角梁振動傳遞率曲線Fig.4 Vibration transmissibility of 135-angle type beam with 1 N·m/(°)of the torsional rigidity

圖5 單梁彎曲振動和縱向振動傳遞率曲線對比Fig.5 Comparison of transverse longitudinal vibration transmissibility of straight beam of phononic crystals

3 聲子晶體角梁有限元仿真驗證

3.1 聲子晶體直梁的有限元振動分析

為了便于理解聲子晶體角梁的振動帶隙特性，首先對3周期的聲子晶體直梁進行了有限元仿真計算。參數(shù)設(shè)置如下:

(1)材料及結(jié)構(gòu)參數(shù):與前同。

(2)網(wǎng)格劃分:自由網(wǎng)格，單元類型solid186，節(jié)點數(shù)6 375，單元數(shù)1 340。

(3)加載:對于縱向振動，施加縱向位移簡諧激勵;對于彎曲振動，施加橫向位移簡諧激勵。位移幅值均為0.001 m，激振頻率為0～10 kHz。

(4)分析設(shè)置:諧響應(yīng)分析，F(xiàn)ull算法。

直梁彎曲振動和縱向振動的傳遞率曲線如圖5所示。彎曲振動有5個帶隙，分別為:420～920 Hz，1 320～1 920 Hz，3 700 ～4 520 Hz，5 320 ～6 220 Hz，8 920 ～10 000 Hz;縱向振動有2個帶隙，分別為2 020～5 620 Hz，6 420～10 000 Hz。彎曲振動在縱向帶隙頻帶內(nèi)存在13 個傳輸共振峰:2 200 Hz，2 560 Hz，2 940 Hz，3 300 Hz，3 620 Hz，4 620 Hz，4 940 Hz，5 280 Hz，6 780 Hz，7 320 Hz，7 840 Hz，8 400 Hz，8 880 Hz，而縱向振動在彎曲帶隙內(nèi)也存在2個傳輸峰:5 660 Hz，6 000 Hz。顯然，除了在二者有限的重合頻帶，聲子晶體直梁并不能實現(xiàn)面內(nèi)二維寬頻減振。

3.2 聲子晶體角梁的振動有限元分析

為便于對比分析，首先針對不帶扭簧(直接固聯(lián))的單質(zhì)鋁和單質(zhì)有機玻璃角梁進行了分析，結(jié)果如圖6(a)所示，顯然在0～8 000 Hz范圍內(nèi)基本上沒有振動帶隙，減振性能很差;其次考察了采用扭簧聯(lián)接的單質(zhì)角梁，圖6(b)表明在單質(zhì)鋁角梁，單質(zhì)有機玻璃角梁中引入扭簧后，表現(xiàn)出了一些有益的減振性能，這種減振性能主要來源于扭轉(zhuǎn)彈簧、梁Ⅰ和梁Ⅱ之間形成了類似于“彈簧～振子”效應(yīng)的減振結(jié)構(gòu)，這種效應(yīng)在低頻段效果尤為明顯，圖6(c)給出了500 Hz以下固聯(lián)和扭簧聯(lián)接的組合桿減振性能對比，不難看出后者的低頻減振效果有了明顯增強，這與數(shù)值計算結(jié)果也是基本吻合的，事實上，由于扭簧引入后降低了系統(tǒng)總剛度，根據(jù)眾所周知的“彈簧～振子”振動模型，低頻減振性能的提高也是顯然的。最后我們進一步分析了不帶扭簧和帶扭簧的兩種聲子晶體角梁情況，對比結(jié)果如圖6(d)所示，顯然，無論是帶隙寬度還是衰減量，采用扭簧聯(lián)接的聲子晶體角梁都要優(yōu)于直接固聯(lián)的聲子晶體角梁。為此，下面只重點考察扭簧聯(lián)接的聲子晶體角梁的振動帶隙。

仿真中分別針對三種不同夾角(θ)，四種不同扭轉(zhuǎn)剛度(K)的聲子晶體角梁做了計算，其中，θ分別為45°，90°，135°;K分別為 0.1，1，10，100 N·m/°。各參數(shù)設(shè)置如下:

(1)材料參數(shù):與前同。

(2)網(wǎng)格劃分:自由網(wǎng)格劃分，單元類型solid186，節(jié)點數(shù)10 241，單元數(shù)2 532。

(3)載荷施加:面內(nèi)簡諧位移激勵，幅值0.001 m，激振頻率 0 ～8 000 Hz，加載角度分別取0°、45°和90°。

(4)分析設(shè)置:諧響應(yīng)分析，F(xiàn)ull算法。

圖6 各種角梁的振動傳遞率曲線對比Fig.6 Comparison of vibration transmissibility of several kinds of type beam

圖7給出了90°夾角的聲子晶體角梁在不同扭轉(zhuǎn)剛度和加載角情況下的傳遞率曲線對比。圖7(a)表明，當扭簧剛度從0.1逐漸增加到100時，低頻區(qū)衰減量有所減小，中高頻區(qū)的帶隙衰減量明顯減弱，但中低頻區(qū)的帶隙衰減基本不變。圖7(b)表明，當加載角由0°增加到90°時，彎曲帶隙內(nèi)衰減量增大，而縱向帶隙內(nèi)衰減量減小，顯示出彎曲振動成分開始替代縱向振動在角梁中占據(jù)了主導地位;在彎曲帶隙和縱向帶隙重合的部分(3 620 Hz～4 530 Hz)情況比較復雜，規(guī)律不明顯;此外，當加載角從0°向90°增加時，由于兩種振動成分的此消彼長，使得在縱向帶隙中的彎曲波共振峰(2 200 Hz，2 560 Hz，2 940 Hz，3 300 Hz，3 620 Hz，4 620 Hz，4 940 Hz，5 280 Hz，6 780 Hz，7 320 Hz，7 840 Hz)的影響越來越顯著，進而導致當加載角度趨于90°時這些峰附近的減振效果被明顯削弱，反之，當加載角趨于0時，彎曲帶隙中的縱波共振峰(5 660 Hz，6 000 Hz)的影響也會得到加強。總體而言，無論是何種加載角度，聲子晶體角梁在彎曲帶隙和縱向帶隙兩種帶隙范圍內(nèi)均表現(xiàn)出了較好的減振能力，同時也表明了該結(jié)構(gòu)在面內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)二維減振，從而顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的聲子晶體直梁的一維、單帶隙的減振性能。不僅如此，由于梁Ⅰ，梁Ⅱ之間形成了類似于“懸臂梁-振子”的結(jié)構(gòu)，特別是引入扭簧后這種效應(yīng)更加明顯，進而使得低頻區(qū)也表現(xiàn)出了較好的減振效果，例如在220～900 Hz范圍內(nèi)形成可達-40 dB的振動衰減。

圖7 夾角為90°的聲子晶體角梁在不同扭轉(zhuǎn)剛度和不同加載角情況下的傳遞率曲線對比Fig.7 Vibration transmissibility of right-angle type beam with the different torsional rigidityand loading angle

圖8 夾角45°的聲子晶體角梁在不同扭轉(zhuǎn)剛度和不同加載角情況下的傳遞率曲線對比Fig.8 Comparison of vibration transmissibility of 45-angle type beam with the different torsional rigidity and loading angle

夾角45°的聲子晶體角梁仿真結(jié)果如圖8所示。圖8(a)表明對于夾角45°聲子晶體角梁，隨著扭轉(zhuǎn)剛度從0.1～100 N·m/(°)的逐漸增大，在0～2 000 Hz范圍內(nèi)，減振性能基本相同，在2 000～8 000 Hz范圍內(nèi)隨著扭轉(zhuǎn)剛度的增加減振性能逐漸減小，這一規(guī)律與90°夾角情況是一致的。類似地，圖8(b)也表明，當加載角度不同時，在彎曲帶隙和縱向帶隙范圍內(nèi)仍然具有一定的減振能力，并且隨著加載角的增加，彎曲帶隙內(nèi)的減振性能也逐漸增強，而縱向帶隙內(nèi)則減弱。總體來說，45°的聲子晶體角梁也具有明顯的二維減振性能。

夾角為135°的聲子晶體角梁仿真結(jié)果如圖9所示，通過對比不難發(fā)現(xiàn)類似的規(guī)律，此處不再贅述。

圖 10 將45°，90°，135°三種夾角類型的聲子晶體角梁進行了對比。圖10(a)表明當加載角為0°時，在彎曲帶隙范圍內(nèi)，夾角為90°的聲子晶體角梁的減振性能明顯要優(yōu)于45°和135°的聲子晶體角梁，在縱向帶隙范圍內(nèi)，則稍弱一些，在彎曲帶隙和縱向帶隙的重合部分(3 620 Hz～4 530 Hz)差別不明顯。圖10(b)表明當加載角為90°時，在彎曲帶隙和縱向帶隙，夾角為90°的聲子晶體角梁減振性能均要明顯優(yōu)于45°和135°聲子晶體角梁。

將有限元仿真結(jié)果與前面的數(shù)值計算結(jié)果進行比較可以發(fā)現(xiàn)，盡管由于分析模型有一定差別(例如有限元模型在結(jié)合處引入了一根柱銷來模擬轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié))，進而導致存在一些偏離之處(例如一些共振峰的位置)，但二者所表現(xiàn)出的現(xiàn)象和規(guī)律是基本一致的，有限元結(jié)果能夠驗證理論分析結(jié)果。

圖9 夾角135°的聲子晶體角梁在不同扭轉(zhuǎn)剛度和不同加載角情況下的傳遞率曲線對比Fig.9 Comparison of vibration transmissibility of 135-angle type beam with the different torsional rigidity and loading angle

圖10 三種聲子晶體角梁在扭轉(zhuǎn)剛度為1 N.m/(°)的振動傳遞率曲線對比Fig.10 comparison of vibration transmissibility of three kinds of angle type beam with 1N.m/(°)of the torsional rigidity

4 結(jié)論

通過對聲子晶體角梁的理論分析，數(shù)值計算和有限元分析，得出了一些有益的結(jié)論:

(1)聲子晶體角梁可以通過彎曲振動和縱向振動的轉(zhuǎn)化，使得彎曲帶隙可以被用于控制縱向激擾，縱向帶隙也可以被用于抑制彎曲激擾，從而獲得了寬頻多維減振性能;

(2)通過引入扭簧聯(lián)接能夠有效地加強組成梁之間的“彈簧-振子”效應(yīng)，不僅可以增加總體振動帶隙的寬度和衰減量，而且提高了低頻減振能力，從而使得聲子晶體角梁的減振頻帶得到了進一步拓寬。隨著扭簧剛度的增加，低頻區(qū)和中高頻帶隙內(nèi)的衰減量逐漸減弱，但中低頻帶隙內(nèi)的衰減基本不變;

(3)聲子晶體角梁的構(gòu)造角度對其減振性能有明顯的影響，傳遞率對比結(jié)果表明90°角梁減振能力明顯優(yōu)于45°和135°情況，因此在實際的工程運用中應(yīng)盡量采用這種結(jié)構(gòu)來提高減振性能;

(4)加載角對聲子晶體角梁減振性能也有較大的影響。當外部激擾的加載角從0°向90°逐漸增加時，角梁內(nèi)的振動由縱向振動占主導地位逐漸過渡為彎曲振動占主導地位，彎曲帶隙內(nèi)的衰減也隨之更加顯著，反之亦然，因此應(yīng)根據(jù)實際振源特點(如頻段和主要方向)來選擇合適的安裝位置以獲得最佳的綜合減振效果，例如可以采用最優(yōu)化方法來進行優(yōu)化設(shè)計。

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