壓電層合纖維在動載荷作用下的應力和電勢的瞬態響應

沈俊新，王 熙

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

壓電材料在航空，航天，汽車等領域中的傳感器，驅動器和超聲換能器應用方面具有很大的實際應用價值和潛力［1－3］。壓電材料在工程中的廣泛應用使得對各類壓電材料和壓電結構的力、電性能的研究顯得迫切的需要［4－9］。文獻［4］給出了一個裝有可壓縮流體的功能梯度壓電圓筒的耦合振動分析。作者［5］研究了壓電圓筒的力、電耦和瞬態響應的規律。文獻［6］給出一種精確的分析方法來研究粘接在半無限均勻固體上功能梯度壓電材料的瑞利波特性。作者［7］利用能量方法研究了在電熱機械耦合載荷作用下，內部填充PE泡沫對DWBNNT增強PVDF壓電圓柱殼的扭轉屈曲行為的影響。文獻［8－9］提出了通過建立懸臂桿結構含金屬芯壓電纖維的不同的振動模型和動態測試模型，給出了具體方法計算出壓電纖維的主要參數。文獻［10］給出了實心壓電圓柱在徑向載荷沖擊作用下的應力和電勢瞬態響應。根據作者對已有文獻的了解，目前對于多層壓電纖維結構的力、電耦合瞬態響應的研究是較少的。

本文基于雙層壓電圓柱模型，研究了雙層壓電纖維在徑向動載荷作用下的應力與電勢的瞬態響應歷程和規律。將每一層壓電纖維動態方程的解設為準靜態解和動態解的疊加。其中，準靜態解可以直接利用積分的方式得到，然后由有限Hankel積分變換和Laplace變換得到相應的動態解;利用層間連續條件和外表面邊界條件，從而獲得用位移表示的雙層壓電纖維在徑向動載荷作用下電彈性耦合運動平衡方程的解析解表達式;利用物理關系可以得到相應的瞬態應力和電勢的響應歷程和規律以及雙層壓電纖維實心處的動應力和電勢的集中效應。

1 基本方程

考慮一個無限長的正交異性的雙層壓電實心纖維，內外層為不同壓電材料，雙層壓電實心纖維的外層表面受到徑向動載荷(圖1)。該問題屬于平面應變問題，其在柱坐標下的本構關系表示為:

圖1 沖擊載荷下的無限長雙層壓電圓柱Fig.1 A long laminated piezoelectric fiber subjected to dynamic load

其中:標記 l=1，2表示雙層壓電纖維的層數，σrl，σθl，和分別為第l層各點的動應力、位移、電位移、電勢、材料的彈性常數、壓電常數和介電常數。運動平衡方程為:

忽略自由電荷密度的電平衡方程為:

由雙層壓電纖維的圓心處的電位移為有限值及層間的連續條件可得:

利用式 (1a)、(1b)、(1c)、(4)和(5)可得位移表示的動態平衡方程:

邊界條件、連續性條件和初始條件可表示為:

2 問題的求解

2.1 雙層壓電纖維的內層求解過程

設動態方程(5)的位移由靜態解uq1(r，t)和動態解 ud1(r，t)的疊加:

其中uq1(r，t)滿足下列準靜態方程和相應的圓心處條件:

求解方程(8a)并利用圓心處位移條件(8b)得到uq1(r，t)的精確解析表達式為:

將式(7)代入式(5)，并利用式(6a)第一式和式(8a)、8(b)得到動態解ud1(r，t)需要滿足的非齊次動態方程和其相應的邊界條件及初始條件:

定義一個有限Hankel積分變換［11］:

對上式進行反變換得到:

其中:

JH1(ki1r)表示為第一類H1階Bessel函數，ki1為滿足特征方程(14)的特征根。

對(10a)進行Hankel變換，并利用邊界條件和初始條件(10b)、(10c)得到:

對上式兩邊進行Laplace變換可得:

其中:L為Laplace變換參數，對上式進行Laplace反變換可得:

將式(12)和式(9)代入式(7)，這樣可得 u1(r，t)的解為:

將式(18)代入式(1)并利用式(2)，可得內層壓電纖維的動應力和電勢的瞬態解:

2.2 雙層壓電纖維外層的求解過程

其中uq2(r，t)滿足下列準靜態方程和相應的邊界條件:

方程(21a)精確解為:

類似于2.1節中的求解過程，可得雙層壓電纖維外層的位移、應力和電勢的瞬態響應:

JH2(ki2r)，YH2(ki2r)分別表示為第一類和第二類H2階Bessel函數，ki1為滿足特征方程(26)的特征根。

雙層壓電纖維的內、外層動應力和電勢的瞬態解(19)和(24)中含有的待定系數A1，A2，A3可通過外邊界應力條件(6a)第二式，層間的徑向位移連接條件(6b)第一式和層間的徑向應力連接條件(6b)第二式很容易得到。從而，可以精確給出雙層壓電纖維的應力和電勢的瞬態響應解析解。

3 算例和討論

算例中雙層壓電纖維的外層受到突加的沖擊徑向壓力:

雙層壓電纖維材料分別取為BaTiO3和PZT－4，相應的材料參數如下:

(1)BaTiO3:c11=146 GPa，c12=66 GPa，c22=120 GPa，e11= －4.35(C/m2)，e12=17.5(C/m2)，g11=11.15 ×10－9(C2/Nm2)，ρ=7 600 kg/m3

(2)PZT －4:c11=111 GPa，c12=77.8 GPa，c22=220 GPa，e11= －5.2(C/m2)，e12=15.1(C/m2)，g11=5.62 ×10－9(C2/Nm2)，ρ=4 350 kg/m3。

計算中對一些參數無量綱化，取 R=r/b，τ=t/［a/CM1+(b－a)/CM2］，計算結果也以無量綱形式給出:= φ/σ0，計算的響應時間歷程為τ≤20。

圖2表示雙層壓電纖維在徑向動載荷作用下各點徑向應力的瞬態響應歷程及分布規律。從圖2(b)中可以看出雙層壓電纖維的徑向應力在外邊界處滿足應力邊界條件(b，τ)=1。由于反射波的影響，其他各點的徑向瞬態應力的幅值是震蕩變化的，在R=0處，最大幅值發生在τ=12.5，在R=0.9處，最大幅值發生在τ=8。比較其峰值，可以看出，在R=0處的峰值最大而且是R=0.9的6倍。

圖3表示雙層壓電纖維在徑向動載荷作用下各點環向應力的瞬態響應歷程及分布規律。由于反射波的影響，各點的環向應力的幅值是變化的，在R=0處，最大幅值發生在τ=12.5，由于材料的不同，在R=0.5界面處環向動應力是不連續的，PZT－4層的環向應力大于BaTiO3層的環向應力。比較其峰值，可以看出，在R=0處的峰值最大而且是R=0.5處的5倍。

圖4表示雙層壓電纖維在徑向動載荷作用下各點電勢的瞬態響應歷程及分布規律。從圖中可看出在雙層壓電纖維的不同徑向點處，電勢響應的幅值隨時間變化的頻率要小于瞬態應力的響應頻率，其震蕩幅值由雙層壓電纖維的外層到內層逐步增大，在內層纖維的實心處也呈現集中效應。從圖4(b)中看出，壓電圓柱載荷沖擊下的電勢滿足給定的電邊界條件φ*(1，τ)=0。

圖2(a) R=0和0.01處徑向應力的響應歷程Fig.2 (a)Response history of the radial stresses at R=0 and 0.01

圖2(b) R=0.9 和1.0處徑向應力的響應歷程Fig.2 a Response history of the radial stresses at R=0.9 and 1.0

圖3(a) R=0和0.01處環向應力的響應歷程Fig.3 (a)Response history of the circumferential stresses at R=0 and 0.01

圖3(b) R=0.5 處環向應力的響應歷程Fig.3 (b)Response history of the circumferential stresses at R=0.5

圖4(a) R=0和0.1處徑向電勢的響應歷程Fig.4 (a)Response history of the transient electric potential at R=0 and 0.1

圖4(b) R=0.9 和1.0處徑向電勢的響應歷程Fig.4 (b)Response history of the transient electric potential at R=0.9 and 1.0

由于利用其它方法研究雙層壓電纖維在徑向動載荷作用下各點動應力和電勢的響應歷程及分布規律沒能呈現在已有文獻中，只能通過將論文中的計算參數進行退化，與已有的單根壓電纖維的動應力和電勢的瞬態響應［10］進行簡單驗證。將論文中的雙層壓電纖維的不同材料參數都取為與文獻［10］相同時，本文中雙層壓電纖維的計算模型可退化為與文獻［10］中相同的單根壓電纖維在徑向動載荷作用下的動應力和電勢的求解模型，此時式(24(a)，(b)，(c))可退化為與文獻［10］中相同的解析表達式(見附錄)。由此證明本文計算結果的有效性。

4 結論

(1)在徑向動載荷作用下，應力波從外邊界向雙層壓電纖維實心處傳播過程中，在內層纖維實心處產生會聚和碰撞、引起應力波波頭產生疊加效應，使動應力和電勢的峰值在此處產生集中，從而導致動應力的最大值發生在內層纖維中心處，遠高于雙層壓電纖維內其它點處的動應力峰值，在該點呈現動態集中效應。

(2)本文中，對于正交各向異性的內層纖維材料H=1.0恰好使得內層纖維中心處的應力波為一個震蕩值。如果內層纖維材料H是其他的值，從數學上的推導可知，在該內層纖維材料中心處的動應力的響應規律將會是另一種情況。從而可以得出雙層壓電纖維中心處的動應力響應規律取決于材料的具體性質。

(3)本文工作有助于簡單的了解層合壓電纖維在外部受沖擊壓力作用下的動態集中效應響應機理，為壓電材料在動態控制方面的應用提供了一個較好的參考方法。

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附 錄