非線性彈性地基上矩形薄板的動力學研究

高永毅，唐 果，萬 文

(1.湖南科技大學 物理學院;2.湖南科技大學 數學與計算科學學院;3.湖南科技大學 能源與安全工程學院，湘潭 411201)

地基板是工程中常見的結構，在公路路面、機場跑道、停機場、工業地坪以及建筑基礎等多種工程中都會遇到亟待解決的地基板的問題，因此對地基板的研究是非常必要的，具有十分重要的工程意義。但在解決地基板問題的時候通常忽略地基板非線性因素，用線性方法進行研究。實際上地基板是非線性的，因此有必要對地基板問題進行非線性研究，由此，地基板問題的非線性研究引起了國內外專家學者的充分重視和廣泛研究。Gajiendar［1］、Nath［2］、Dumir［3］、邱平等［4］研究非線性彈性地基上圓薄板的振動問題。楊志安等［5-14］研究了非線性彈性地基上受簡諧激勵矩形薄板的主共振與奇異性問題;溫度場中非線性彈性地基上矩形薄板主共振問題;非線性彈性地基上矩形薄板受雙頻參數激勵作用的非線性振動問題;非線性彈性地基上矩形薄板的非線性振動與奇異性問題;非線性彈性地基上矩形薄板的主參數共振問題;Winkler地基上四邊自由矩形薄板的超諧波、亞諧共振與奇異性、混沌問題。彭震等［15］研究了溫度場中受簡諧激勵作用的Winkler地基梁，分析了激勵、阻尼等對系統響應曲線的影響。俞衛琴等［16］研究了位于非線性彈性地基上受均勻橫向簡諧激勵作用的小撓度矩形薄板動力學模型的全局分岔問題。葛根等［17-18］研究了矩形薄板在面內隨機參數激勵下的隨機分岔和隨機最優控制下的首次穿越問題。以上研究主要是對非線性地基板的主共振求解方法;數值計算;溫度、阻尼系數、地基系數、幾何參數等對主參數共振的影響;有界噪聲激勵下溫度場中非線性彈性地基上矩形薄板的隨機振動等問題進行了研究;并沒有對地基板非線性問題解的穩定性、頻率響應特性和非線性因素對其影響，即:地基板的非線性振動特性進行研究。

為了能給地基板的設計、計算分析提供可靠的理論依據，對地基板的非線性振動特性的研究是很有必要的。因此，本文在考慮了阻尼和地基非線性效應的基礎上，建立了小撓度矩形板橫向均布簡諧激勵作用下的非線性動力學方程;用諧波平衡法研究了其非線性振動特性;導出了頻率響應方程，研究了頻率響應特性;討論了非線性因素的影響，得出了非線性彈性地基板非線性因素的忽略條件;分析了地基板的非線性振動的穩定性，得出了穩定區和不穩定區的分界線方程。

1 矩形薄板的非線性動力學方程

1.1 非線性彈性地基上矩形薄板的非線性動力學方程

［8］已指出，對于以矩形地基板為結構形式的公路路面，機場跑道，停機場，工業地坪等，其邊界條件可以認為是兩端簡支的;參考文獻［5］已給出圖1所示的板厚為h，長、寬分別為a和b，左右邊界上受有均勻分布壓力N，在橫向受均勻分布簡諧力F，非線性彈性地基反力為k1w+k23［1-4］，阻尼力為c?w/?t，慣性力為ρh?2w/?t2，置于非線性彈性地基上兩邊簡支的矩形薄板的非線性彈性地基板動力學方程為:

式中:

N為縱向力;F=qcosωt為橫向激勵;w為板的橫向撓度;ρ為板單位體積的質量;c為阻尼系數;E為彈性模量;γ為泊松比;k1和k2分別為線性和非線性地基系數。

圖1 非線性彈性地基上矩形薄板模型Fig.1 Model of the thin rectangular plate on the nonlinear elastic foundation

兩邊簡支的邊界條件為:

因此，取滿足邊界條件的位移模式為［9］:

其中:

由Galerkin原理有:

將式(2)、式(3)代入式(4)積分可得:

式(6)為非線性彈性地基上兩邊簡支矩形薄板的非線性動力學方程。

1.2 非線性彈性地基上矩形薄板的穩態周期響應

考慮非線性彈性地基上矩形薄板的振動分析依賴于式(6)的有效求解。因為目前還不能求得式(6)的嚴格精確的分析解，因此針對工程實際中設計的需要，用諧波平衡法求式(6)的近似穩態周期解。

設式(6)的穩態近似解為:

將穩態響應式(7)代入式(6)，令同階諧波系數相等，并將D、p、ξ、e、F的表達式代入則有:

通過式(8)解出B和φ可得系統穩態響應。此外，由于式(6)中包含三次方非線性項，所以當非線性彈性地基上矩形薄板的剛度非線性因素不能忽略時，非線性彈性地基上矩形薄板的振動除了存在ω=p的主共振外，當激勵頻率接近派生系統固有頻率的1/3或1/9時還存在頻率為3ω或9ω的超諧波共振，以及當激勵頻率接近派生系統固有頻率的3倍或9倍時，存在頻率為ω/3或ω/9的亞諧波共振，這在非線性彈性地基上矩形薄板設計時需予以充分關注。

2 非線性彈性地基上矩形薄板解的穩定性分析

設:η(t)為擾動變量

令:

將式(9)代入式(6)得擾動方程為:

現在將研究方程(6)解的穩態性轉化為研究方程(11)零解的穩定性。參考文獻［5］已指出其阻尼項、非線性項與慣性力項相比是小項，所以ξ，e，，α都為小參數。

把方程(12)的解和參數δ展開為小參數ε的冪級數有:

代入式(12)，比較ε同次冪系數得:

方程(15)的解為:η0=dcosnt+fsinnt，n=1，2，3…，其中:δ0=n2。

由參考文獻［19］推得穩定和不穩定區域以下述曲線為分界線。

由此可得方程(6)在B-ω平面上的穩定和不穩定區域分界線。

當 δ取 δ0+εδ1+ε2δ2并取 δ0=1 時分界線為:

當取δ0=4時分界線為:

根據方程(20)和(21)，利用Matlab可以在B-ω平面上繪出周期解穩定和不穩定區域的分界線，取參考文獻［10］的實例，參數取值為:ρ=2.5×103kg/m3，c=0.1，E=3.5 ×109Pa，γ =0.15，a=3.5 m，b=4 m，h=0.2 m，N=600 N/m，k1=4 ×108N/m3，k2=4 ×107N/m3。方程(6)的周期解穩定和不穩定區域的分界線如圖2所示。其中，有剖面線的區域為不穩定區域，其余為穩定區域。對非線性彈性地基上矩形薄板的設計的工程實際問題而言，分界線上周期解的穩定性并不重要，但必須避免系統的參量落入不穩定區域，以免發生參量共振。

圖2 參數平面的穩定區Fig.2 Region of stabilization

3 非線性彈性地基上矩形薄板的頻響特性分析

把式(8)中兩式平方相加，得頻率響應方程為:

從方程(22)可知，非線性彈性地基上矩形薄板的振動頻率是振幅B的函數，即ω=f(B)。取與參考文獻［10］中相同的參數，對方程(22)進行數值計算，可得到非線性彈性地基上矩形薄板的頻率響應特性曲線，如圖3(a)所示。

由圖3可知，非線性彈性地基上矩形薄板的非線性彈性地基反力使非線性彈性地基上矩形薄板的頻率響應特性曲線呈硬特性;并且導致了突跳和滯后現象。圖3(b)所示，當頻率ω從一個相對小的值開始逐漸增大，則振幅沿頻響曲線也逐漸增大，直到點1，在該點頻響曲線有鉛直切線，當頻率繼續增大時，振幅突然從點1跳到頻響曲線較低分支的點2上，然后沿頻響曲線逐漸減小。反之，如果ω從一個相對大的值開始逐漸減小，則振幅沿頻響曲線逐漸增大，直到點3，在該點頻響曲線有鉛直切線，當頻率繼續減小時，振幅突然跳到頻響曲線較高分支的點4上，然后從點4開始，振幅沿頻響曲線逐漸減小。在頻響曲線上，兩個跳躍之間形成一個滯后環。在滯后環內，振幅是頻率的多值函數。分析和計算表明，當橫向激勵的幅值逐漸改變時，也存在振幅的突跳和滯后現象。

圖3 頻率響應曲線圖Fig.3 Curve of frequency response

圖4 線性因素對頻響特性的影響Fig.3 The effectness of nonlinear factors for frequency response

4 非線性彈性地基板非線性因素的忽略條件

從方程(1)和方程(6)不難看出，k2和ξ的大小反映了非線性彈性地基反力取k1w+k2w3時，非線性彈性地基板的非線性強弱。取與文獻［10］中相同的參數對式(22)進行計算，可得非線性的強弱(由k2和ξ表征)對頻響特性的影響，如圖4所示。顯然，k2和ξ的值越大，系統的剛度非線性越強，頻響曲線越向右彎曲。由方程(8)中的第一式可以得到:

由式(23)可知，只有當:

成立時，k2和ξ才為小值，才能忽略非線性彈性地基板的非線性因素的影響。因此，在對地基板進行設計和計算分析時，只有在各個參數滿足式(24)時才可以不考慮非線性因素的影響;否則就不能忽略地基板的非線性因素。所以，式(24)是非線性彈性地基反力取k1w+k2w3時，非線性彈性地基板非線性因素的忽略條件。

5 結論

通過以上分析可以看到，對于地基上矩形薄板當考慮非線性因素時，其振動特性與線性情況相比較有很大的區別，可以得到以下幾點結論:

(1)非線性彈性地基上矩形薄板的振動除了存在主共振外，當激勵頻率接近派生系統固有頻率時還存在超諧波共振和亞諧波共振。

(2)只有系統的參量位于由式(20)和式(21)確定的穩定區范圍時，才有穩定的周期解，并不是所有參量對應的周期解都是穩定的。

(3)頻響特性的分析結果表明，考慮地基上矩形薄板當考慮非線性因素時，其振動產生突跳和滯后現象，當ω=p時其振幅不一定是最大點。

(4)得到非線性彈性地基板非線性因素的忽略條件式(24);只有在各個參數滿足式(24)時才可以不考慮非線性因素的影響。

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