基于高階矩法的導彈吊掛與滑軌接觸可靠性分析①

何新黨，茍文選，劉永壽，高宗戰

(西北工業大學力學與土木建筑學院，飛行器可靠性工程研究所，西安 710129)

0 引言

吊掛是導彈導軌式發射的重要裝置，當飛機帶彈飛行時，吊掛起到連接導彈與飛機機身的作用。吊掛在工作時與滑軌接觸，當受到重力作用發生變形后，往往伴隨著局部高應力。因此，分析結構中的接觸現象，了解結構的接觸狀態和應力狀態，對結構的設計和故障診斷都有非常重要的意義。

結構可靠性分析可以量化參數不確定性對結構性能的影響，靈敏度分析可獲得參數變化對結構失效概率及參數重要性程度的橫向對比，因此近年來受到各國學者的廣泛關注［1－4］。然而對于大量工程結構而言，目前的可靠性分析方法依然難以實施［5－6］。主要原因在于大多數工程結構的基本變量與結構應力響應之間沒有解析的數學表達式，需要通過有限元仿真方法獲得結構性能與參數之間的響應，其計算過程往往需要大量時間。因此對于這種隱式功能函數下的可靠性分析問題，傳統的基于大量抽樣的可靠性分析方法的計算量往往難以接受［7－11］。另外，目前絕大多數的工程結構都有較高的可靠性要求，其失效概率往往很小。對于小失效概率的結構而言，基于代理模型(如Kriging 法［12－13］，響應面法［14］)的近似解析可靠性分析方法往往難以保證分析的精度。因此，建立一種在工程上能夠兼顧效率與精度的可靠性分析方法無疑是亟待解決的問題［15］。

本文以某導彈吊掛結構為研究對象，開展了尺寸隨機變量影響下的結構可靠性及參數靈敏度分析。首先借助有限元軟件二次開發技術，建立了導彈與滑軌接觸時非線性有限元分析的參數化模型，在靜力學分析的基礎上，將四階矩方法引入導彈吊掛的可靠性分析，該方法可以充分利用變量分布各階矩信息，在可靠性分析時抽樣次數少，計算精度高，避免了改進一次二階矩法需要求功能函數偏導數以及傳統蒙特卡洛法及重要抽樣法需要大量抽樣等缺點。

1 吊掛和滑軌接觸時的靜力學分析

1.1 有限元模型

導彈吊掛結構的尺寸參數如圖1所示。

圖1 導彈吊掛與滑軌二維裝配圖Fig.1 Assembly drawing of missile suspension and rail

模型由2部分組成，上側為滑軌，下側為導彈與吊掛的整體模型。2種結構的材料參數見表1。

在有限元軟件中建立的導彈吊掛與滑軌的參數化有限元模型如圖2所示。

表1 吊掛與滑軌的材料參數Table 1 Material property of suspension and rail

圖2 導彈吊掛與滑軌有限元網格模型Fig.2 FEM of missile suspension and rail

1.2 靜力學分析及強度校核

飛機在掛彈飛行時，導彈通過吊掛與飛機相連接，吊掛承擔著導彈的重力作用，是吊掛受載的主要來源。因此在結構的強度校核時，本文主要考慮導彈重力作用。在有限元非線性接觸性分析時，導彈與滑軌之間的接觸定義為柔體-柔體接觸。滑軌上端固定約束，導彈的重力載荷施加于導彈圓心處。通過非線性接觸分析得到導彈吊掛與滑軌之間的應力云圖如圖3所示。

圖3 導彈吊掛與滑軌應力云圖Fig.3 Diagram of stress distribution on missile suspension and rail

分析得到滑軌的最大接觸應力為468 MPa，吊掛的最大接觸應力為462 MPa;吊掛材料的屈服極限為830 MPa，滑軌材料的屈服極限為860 MPa。為了保證給結構保留一定的安全裕度，選取安全系數ns=1.5校核吊掛結構，830/468=1.77，860/462=1.86 均大于安全系數ns。因此，結構滿足安全系數為1.5時的設計要求。

2 可靠性分析

考慮到關鍵尺寸分散性對結構強度的影響，建立吊掛結構強度失效功能函數，編寫相應的計算機程序，采用四階矩法對導彈吊掛結構進行可靠性和靈敏度分析。

2.1 可靠性分析模型

通過靜力學分析發現結構吊掛耳片與滑軌的接觸區存在局部高應力，因此在進行可靠性分析時，選擇圖1中所示的4個關鍵尺寸參數A、B、C、D作為基本隨機變量，其中A為吊掛的耳片內側距中心線的距離，B為耳片的厚度，C為耳片內側長度，D為耳片外側長度。其具體分布參數如表2所示。

表2 隨機變量及分布類型Table 2 Random variables and distribution characters

考慮到滑軌的最大應力遠小于其屈服強度，因此只考慮吊掛的強度失效，其功能函數為

式中 g(X)均為基本變量X的隱式函數，需要調用有限元軟件計算基本變量每次取值時對應的極限狀態函數值;［σ］為結構的許用應力，當安全系數ns=1.5時，［σ］= σs/ns=830/1.5=553 MPa，其中 σs為屈服應力;σmax為通過有限元方法計算得到的結構最大Mises應力。

2.2 可靠性分析方法

本文采用四階矩方法對導彈吊掛結構進行可靠性分析［16］，該方法以概率矩為基礎，直接利用功能函數在一些特征點處的函數值來近似計算功能函數的低階矩(主要是一階至四階矩)，然后由功能函數的各階矩來近似失效概率。與其他可靠性分析方法相比，該方法避免了改進一次二階矩法求功能函數的偏導函數以及數值模擬法大量抽樣等問題，在分析時求解功能函數值的次數僅為3n。因此，特別適用于變量個數不多的復雜工程結構的可靠性分析。

結構的失效概率Pf可表示為

式中 fx(X)為功能函數g(X)的聯合概率密度函數。

設 X={x1，x2，…，xn}為聯合概率密度函數為fx(X)的隨機變量，則結構響應功能函數g=g(X)=g(x1，x2，…，xn)的各階概率矩可由式(3)～ 式(6)計算得到:

式中 α1g、α2g、α3g、α4g分別為功能函數 g=g(X)=g(x1，x2…，xn)的均值、標準差、偏度和峰度。

對于第k個變量xk的參數pxk·ik和lxk·ik，可以由xk的均值 α1xk、標準差 α2xk、偏度 α3xk和峰度 α4xk按式(7)～式(12)類似給出。

功能函數的概率矩給出了功能函數的部分統計信息，它與功能函數的概率密度函數是緊密相關的，獲得了功能函數g(x)的概率矩，那么就可非常容易得到失效概率了。在考慮功能函數前四階矩來近似失效概率的方法為四階矩法?；谒碾A矩的可靠度指標為

式中 β2M為功能函數前兩階矩的可靠度指標，可近似為 β2M= α1g/α2g。

相應地考慮前四階矩的失效概率為

3 參數靈敏度分析

可靠性參數靈敏度分析的目的是研究可靠性模型中各基本隨機變量或其參數變化對失效概率或可靠度指標的影響規律，從而識別影響結構可靠性的關鍵參數。可靠性靈敏度定義為失效概率Pf對基本變量X={x1，x2，…，xn}的分布參數的偏導數，這里 i=1，2，…，n，k=1，2，…，mi。其中 mi為第 i個變量 xi的分布參數的總個數。由失效概率Pf與可靠度指標的關系以及可靠度指標與極限狀態函數各階矩的關系，可以采用函數求導法推出Pf對基本變量分布參數的靈敏度計算式:

均值靈敏度反映了變量均值大小對可靠度的影響程度［7－8］。其相應的計算式:

標準差靈敏度反映了變量參數波動性對可靠度的影響，其相應的計算式:

其中

4 分析結果及討論

4.1 可靠性及靈敏度分析結果

由于功能函數中只有4個基本變量，四階矩法只需調用81次就可獲得功能函數的均值、標準差、偏度和峰度等，其中4個基本變量81次抽樣過程曲線如圖4(a)～(d)所示。吊掛局部最大應力抽樣結果如圖5所示。

圖4 各參數抽樣結果Fig.4 Simple results of parameters

圖5 吊掛局部最大應力抽樣結果Fig.5 Simple results of stress

分析最終得到功能函數的前四階矩為 α1g=259.162，α2g=35.944，α3g= －2.042，α4g=8.704，代入式(12)可得可靠度指標為β4M=3.235，失效概率Pf4M=0.000 607。

將功能函數的各階矩對基本變量分布參數的偏導數代入式(16)、式(17)，可得到可靠性靈敏度，如表3所示。均值及標準差靈敏度分析結果(直方圖)見圖6。

表3 四階矩法對參數靈敏度分析結果Table 3 Results of basic parameters sensitivity analysis by fourth moment method

圖6 均值及標準差靈敏度分析結果直方圖Fig.6 Sensitivity analysis results diagram of mean value and standard deviation

通過均值靈敏度分析結果可知，耳片內側長度尺寸C是影響導彈吊掛結構強度的最主要因素，其次是耳片厚度B。因此在結構設計時可著重優化該尺寸變量來提高結構強度性能。通過標準差靈敏度分析，可以看到耳片外側長度D的分散性對結構性能穩定性的影響較大，其次是耳片內側長度C。因此應該適當減小尺寸D和C的設計公差，并嚴格控制其加工誤差，從而提高結構的性能的穩定性。

4.2 其他可靠性方法比較

為了驗證本文采用的可靠性分析方法在計算效率與精度上的優勢，將四階矩法(Fourth-Moment Method，FMM)的分析結果與蒙特卡洛法(Monte-Carlo，MC)、重要抽樣法(Importance Sampling Method，ISM)、改進一次二階矩法(Advanced First Order and Second Moment，AFOSM)、加權二次響應面法(Response Surface Method，RSM)進行了比較，各方法分析結果見表4。

表4 多種可靠性方法分析結果Table 4 Results of multifold reliability analysis methods

其中蒙特卡洛法在樣本充足的情況下往往被認為是最為精確的方法，因此本文以該方法作為驗證其他方法分析精度的標準。從計算誤差來看，重要抽樣法是其他4種方法中計算誤差最小的方法，但其計算成本依然很高。本文采用的四階矩方法在極大減小計算成本的前提下，保證了較高的分析精度，計算誤差僅為2.7%，因此可認為是處理復雜工程問題較為理想的方法。

5 結論

(1)本文所采用的四階矩法在已知結構的變量類型和分布參數情況下，僅通過調用有限元軟件81次抽樣就可以快速求解出結構失效的概率及變量靈敏度，在極大減小計算成本的前提下，保證了較高的分析精度，是處理復雜工程問題較為理想的方法。

(2)接觸可靠性分析結果表明，按照傳統安全系數法進行強度校核合格的導彈吊掛結構，當考慮結構的尺寸分散性時，其強度失效概率為0.000 607，難以滿足武器裝備高可靠性的要求，因此在結構設計時需要考慮尺寸分散對結構性能的影響。

(3)均值靈敏度分析表明，耳片內側長度尺寸C和耳片厚度B是影響導彈吊掛結構強度的最主要因素，因此，在設計時應考慮適當增加其尺寸數值，以提高結構的強度可靠性。標準差靈敏度表明耳片外側長度D的分散性對結構性能穩定性的影響較大，其次是耳片內側長度C，因此，應該適當減小該尺寸設計公差，并嚴格控制加工誤差，從而提高結構的性能的穩定性。

(4)與其他可靠性分析方法的計算結果比較，本文方法克服了傳統可靠性分析方法需要大量抽樣的缺點，能在較短時間里得出滿足工程精度的結果，在解決復雜工程問題時有其獨特的優越性，具有很好的工程應用前景。

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