直線中的最值問題

鄭玉琳　康瑩

直線方程從代數角度而言是函數中最簡單的一種形式，也是學習解析幾何的基礎.與直線方程有關的最值問題是一種常見題型， 它是直線方程與代數知識的有機綜合，體現了用數解形的數學思想.

求直線中的最值問題方法：

1.配方法 —— 針對二次函數.

2.不等式法 ——針對和（積）定的函數.

3.數形結合法 ——先作出函數的圖象，再利用函數圖象的特征解題

4.判別式法——針對含參數的一元二次方程.

一、轉化為求二次函數的最值

例1 如圖1，某房地產公司要在荒地ABCDE上劃出一塊長方形地面（不改變方位）建造一幢八層樓的公寓，問如何設計才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積.

解析：顯然長方形的第四個定點一定在線段AB上，設該點為M，如圖構造長方形MNDP，并補出長方形QCDP，

二、利用判別式求最值

根據已知條件建立含參數的一元二次方程， 再由方程有解的條件， 用判別式求解.

例2 已知直線l：y=4x和點P（3，2），點N是l上在第一象限內的點，直線NP交x軸的正半軸于點M，則△OMN的面積的最小值是 .

解析： 設M（a，0）（a>0），則PM的方程為

三、 數形結合求解最值

運用數形結合解題，不僅直觀，易于尋找解題途徑，而且可避免復雜的計算和推理，簡化解題過程，起到事半功倍的效果.