談大地坐標及子午線收斂角的計算方法

常惠宗

(山西路橋第一工程有限責任公司，山西太原 030006)

0 引言

工程測量是一門測定地面點位的科學，廣泛應用于公路、建筑、鐵路等各種建筑工程的勘測、設計、施工的各個環節。本文就子午線收斂角做簡單的介紹，在介紹子午線收斂角之前我們應該先剖析一下公路及建筑測量中所用的測量坐標系。

1 測量坐標系

測量的基本值說到底其實就是點、線、面，將大地實際的三維體系轉換和繪制在電腦或者圖紙，在圖紙上標定和計算，再將圖紙上的點線面放樣到大地的實際點位，組成新的三維實體。測量上確定地面點的位置，是通過在基準面上建立坐標系，測定點位之間的距離角度和高差三個值來實現的。

1．1 基準面

地球的形狀可以使用兩級近似，第一級我們可以將地球近似為一個圓球，半徑為6 371 km;第二級近似概況為一個橢球體，其長半軸為 6 378．137 km，短半軸為 6 356．752 km，扁率為1/298．257。自由靜止的水面即是水準面，水準面包圍的地球形體稱為大地體。測量工作就是以橢球面作為基準面，把大地體作為地球的數學模型，在上面建立一一對應的數學坐標關系。

1．2 坐標軸系

坐標軸系分為兩部分，即平面坐標軸系及豎直坐標軸系。本文主要對平面坐標軸系進行闡述。平面坐標軸系分為地理坐標，平面直角坐標及高斯—克呂格坐標。

1．2．1 地理坐標

地理坐標是以經度λ、緯度φ來確定地面點位的球面坐標，其中通過一點和地球南北極的平面稱為該點的子午面，子午面與地球表面的交線稱為子午線也叫真子午線。通過某一點的子午面與通過英國格林威治天文臺的子午面之間的夾角就是該點的經度。通過某一點的鉛垂線與赤道平面的夾角稱為該點的緯度。

1．2．2 平面直角坐標

在地球上不大的區域范圍內，我們可以將地球近似的當做平面，用直角坐標來確定點位。在測量上的直角坐標與數學上的直角坐標系基本相似，可以使用數學上的三角函數直接計算，但與數學上的直角坐標系的區別在于將坐標軸互換，象限編號的順序也與數學上的直角坐標相反。

1．2．3 高斯—克呂格坐標

將地球上的點位轉移到平面上，需要按照地圖投影的方法將大地坐標轉換到直角坐標，我國采用高斯—克呂格投影的方法。高斯—克呂格坐標就是建立在高斯投影面上的平面直角坐標。它是一種球面坐標與平面直角坐標相互可以轉換的坐標軸系。

在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點O作為坐標原點，以中央子午線的投影為縱坐標軸，以赤道的投影為橫坐標軸，這樣便形成了高斯平面直角坐標系。

為了控制由曲面正形投影到平面上時引起的長度變形，高斯投影采用分區分帶的方法，使帶內的最大變形控制在測量允許值的范圍內，通常劃分為60個帶，每6°劃分為一個6°帶。位于各帶邊上的子午線稱為分帶子午線，位于各帶中央的子午線稱為中央子午線或者軸子午線。

在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點O作為坐標原點，以中央子午線的投影為縱坐標x軸，以赤道的投影為橫坐標y軸。在我國x坐標都是正的，y坐標的最大值(在赤道上)約為330 km。為了避免出現負的橫坐標，可在橫坐標上加上500 000 m。此外還應在坐標前面再冠以帶號。這種坐標稱為國家統一坐標。

在投影時每個帶獨立進行，在高斯投影面上除中央子午線與赤道的投影構成兩條互相垂直的線外，其余子午線均為對稱于中央子午線的曲線，而且離中央子午線越遠，長度變形越大，為了控制變形滿足精度要求，很多情況下也采用3°帶(見圖1)。

圖1 分區分帶圖

在高斯投影面上，中央子午線投影后是一條直線，作為這個帶的坐標縱軸，但是其他子午線投影后均為曲線(見圖2)，在圖中M，N兩點的真子午線方向與中央子午線之間的夾角稱為子午線收斂角。

2 子午線收斂角的計算

子午線收斂角是地球橢球體面上一點的真子午線與位于此點所在的投影帶的中央子午線之間的夾角，即在高斯平面上的真子午線與坐標縱線的夾角，通常用γ表示。此角有正、負之分:以真子午線北方向為準，當坐標縱軸線北端位于以東時稱東偏，其角值為正;位于以西時稱西偏，其角值為負。

圖2 子午線投影圖

1)坐標方位角與真方位角的關系。

其中，αMN為點M到點N的坐標方位角;AMN為點M到點N的真方位角;γ為子午線收斂角。

2)子午線收斂角的計算。

如果已知測站精度和緯度，可以按照下式計算:

其中，L為測站緯度;L0為測站所在高斯投影帶的中央子午線的經度;B為測站緯度。

如果已知測站高斯坐標的橫坐標y，可以用下式計算:

3)例解。

在公路中線測量中，在A點上測得導線起始邊AB的真方位角AAB=82°15'20″;在 M點上測得導線終邊 MN的真方位角為89°26'40″，已知 A，M 兩點的橫坐標差為 +13．92 km，M 點的緯度40°30'。若αAB=82°15'20″，此時終邊MN的坐標方位角是多少。

計算:首先計算子午線收斂角為(13．92/6 371)×tan(40°30') ×180/π =0°06'25″。

則終邊 MN 的坐標方位角為89°26'40″－0°06'25″=89°20'15″。

3 結語

大地體是一個近乎梨形，南北極并不對稱的橢球體，在高斯投影帶中建立的直角坐標系還存在很多更加精確和繁瑣的計算公式及計算方法，需要不斷的探索和研究。測量工作作為工程施工和設計中的重點，還有很多需要學習和實踐的。

［1］ 李映紅．建筑工程測量［M］．武漢:武漢大學出版社，2011．