基于多項(xiàng)式樣條的中國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)實(shí)證研究

沈 磊

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233000）

1 引言

利率期限結(jié)構(gòu)是指在相同的風(fēng)險(xiǎn)水平下，利率與剩余到期期限之間的數(shù)量關(guān)系，也就是理論上零息票債券即期收益率曲線.利率風(fēng)險(xiǎn)是投資者面臨的一個(gè)重要風(fēng)險(xiǎn)，通過對(duì)市場(chǎng)利率期限結(jié)構(gòu)的分析可以發(fā)現(xiàn)并利用市場(chǎng)上資產(chǎn)定價(jià)的不合理性進(jìn)行套利，獲取無風(fēng)險(xiǎn)收益.在宏觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，可以利用利率期限結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的變動(dòng)，判斷未來經(jīng)濟(jì)走勢(shì).而完善和準(zhǔn)確的期限結(jié)構(gòu)是一個(gè)國(guó)家金融市場(chǎng)中固定收益證券定價(jià)的基本工具.因此，利率期限結(jié)構(gòu)理論在宏觀經(jīng)濟(jì)管理、資產(chǎn)定價(jià)、保值和風(fēng)險(xiǎn)管理以及套利和投資等領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用，對(duì)于開發(fā)新型金融產(chǎn)品、進(jìn)行金融創(chuàng)新也有著重要而積極的作用.它是資產(chǎn)定價(jià)、套期保值、金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)、套利以及投資等的基礎(chǔ)，對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的研究一直是金融學(xué)中一個(gè)重要而又基本的課題.而國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)又是所有利率期限結(jié)構(gòu)研究的基礎(chǔ)，它在經(jīng)濟(jì)及金融分析中有著非常重要的作用.研究國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)可以為我國(guó)利率市場(chǎng)化進(jìn)程提供基準(zhǔn)利率支持，對(duì)它的相應(yīng)的研究可以化解匯率風(fēng)險(xiǎn)，增加金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為我國(guó)的資產(chǎn)定價(jià)提供一個(gè)堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)，促進(jìn)我國(guó)資本市場(chǎng)的不斷完善.因此，對(duì)于國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)的研究是非常重要也是很有意義的.

McCulloh最先提出將多項(xiàng)式樣條函數(shù)運(yùn)用于利率期限結(jié)構(gòu)中，采取某種形式的多項(xiàng)式樣條函數(shù)來擬合貼現(xiàn)函數(shù)，再通過參數(shù)估計(jì)法得到樣條函數(shù)中的各個(gè)待定參數(shù)，并提出二次和三次多項(xiàng)式是最有效的多項(xiàng)式樣條函數(shù)的觀點(diǎn)；丘菀華和周榮喜利用多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出了我國(guó)國(guó)債的利率期限結(jié)構(gòu)；王曉芳，劉鳳根，韓龍論證了多項(xiàng)式樣條函數(shù)不會(huì)限制貼現(xiàn)函數(shù)的形式，具有較好的適應(yīng)性；郭多祚，劉琳琳認(rèn)為三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)在估計(jì)利率期限結(jié)構(gòu)時(shí)具有貼切原始數(shù)據(jù)的優(yōu)勢(shì).因?yàn)槎我陨系亩囗?xiàng)式樣條函數(shù)是二次可微的，一階導(dǎo)是連續(xù)的，比線性插值函數(shù)具有更好的數(shù)學(xué)特征，因此在擬合向上的收益率曲線時(shí)與實(shí)際觀察到的向上凸的弧線更為相似.

2 研究思路與方法

估計(jì)利率期限的研究可以分為：一般均衡模型分析、無套利均衡分析和曲線模擬分析，前二者屬于動(dòng)態(tài)模型法，比較有影響力的有 VASICEK、CIR（Cox、Ingersoll和 Ross）、Holl等模型；曲線擬合法一般假設(shè)一種利率函數(shù)或者貼現(xiàn)函數(shù)，利用選取的國(guó)債某一橫截面數(shù)據(jù)以及參數(shù)估計(jì)法，得出假設(shè)函數(shù)的系數(shù)，使之與主干點(diǎn)擬合，從而估計(jì)利率期限結(jié)構(gòu)曲線.假設(shè)的函數(shù)可以是多項(xiàng)式樣條函數(shù)、B樣條函數(shù)、指數(shù)樣條函數(shù)、無節(jié)點(diǎn)樣條函數(shù)等.本文基于多項(xiàng)式樣條函數(shù)擬合利率函數(shù)得出連續(xù)收益率曲線并進(jìn)行實(shí)證分析，這是一種對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)分析，利用的是某一橫截面上的數(shù)據(jù)，而不是時(shí)間序列.通過這種靜態(tài)的分析我們可以得到某一時(shí)點(diǎn)上的即期利率與剩余期限之間的關(guān)系，使我們對(duì)我國(guó)國(guó)債市場(chǎng)有進(jìn)一步的了解，有針對(duì)性的對(duì)我國(guó)國(guó)債市場(chǎng)的改革和發(fā)展提出相應(yīng)的看法和建議.

2.1 利用付息債券收益率推導(dǎo)無息債券的即期收益率

由于我國(guó)市場(chǎng)中普遍存在的是付息債券，零息債券很少見，因而我們不能通過市場(chǎng)公布的相關(guān)數(shù)據(jù)直接觀察到一條完整的國(guó)債即期收益率的期限結(jié)構(gòu)，只能通過借助付息債券間接估計(jì).

2.1.1 連續(xù)復(fù)利的情況

假設(shè)某一付息國(guó)債I是連續(xù)復(fù)利的，其到期時(shí)間為T，每期支付利息Ci，債券面值Mi，從當(dāng)前到t時(shí)刻的到期收益率或者貼現(xiàn)率是ri，則該付息國(guó)債的理論價(jià)格為：

如果我們假設(shè)貼現(xiàn)函數(shù)的表達(dá)式為F(t)，則（1）式可以寫成：

F(t)是時(shí)間t的函數(shù)，利用該債券某一橫截面數(shù)據(jù)，將相應(yīng)的債券價(jià)格、付息額、債券面值、剩余償還期限代入（2）式，利用線性回歸和最小二乘法估計(jì)貼現(xiàn)函數(shù)中的參數(shù)，得出貼現(xiàn)函數(shù)的具體形式，進(jìn)而得到即期利率R(t)即該債券的理論即期收益率.

2.1.2 分期支付利息的情況

建立年付息一次的固定利息國(guó)債的理論價(jià)格和即期利率之間的模型關(guān)系：

Ci是該i種固定付息債券每次支付的利息；Pi是該債券的全價(jià)；rt+k為t+k時(shí)刻的即期利率；t為樣本觀測(cè)日到下一個(gè)付息日之間的時(shí)間間隔；Mi為債券票面金額.

由于貼現(xiàn)函數(shù)F(t+k)與即期利率rt+k之間的的關(guān)系是：

所以（3）式可以寫成：

在利用分段多項(xiàng)式樣條函數(shù)來代替貼現(xiàn)函數(shù)F(t)時(shí)，如果我們進(jìn)行分段的話，就可以利用（5）式得到不同的貼現(xiàn)函數(shù).用最小二乘法對(duì)這些分段方程進(jìn)行線性回歸，從而得出各個(gè)分段樣條函數(shù)的系數(shù).從而計(jì)算出即期收益率或者即期利率.

2.2 樣條貼現(xiàn)函數(shù)的選擇

2.2.1 數(shù)學(xué)理論的支持

根據(jù)魏爾斯特拉斯逼近定理（Weierstrass Approximation Theorem）:一個(gè)連續(xù)的函數(shù)可以由一組函數(shù)近似地逼近.根據(jù)這個(gè)理論，我們用一組以到期日t為變量的樣條函數(shù)來近似表示貼現(xiàn)函數(shù)，然后通過使樣本債券的理論價(jià)格與市場(chǎng)的實(shí)際價(jià)格差別（方差）最小化的線性回歸，得到參數(shù)估計(jì)，進(jìn)而得到以年利率為單位的貼現(xiàn)函數(shù)R(t)的估計(jì)方程：

據(jù)此便可得到關(guān)于時(shí)間和利率的債券利率期限結(jié)構(gòu).

2.2.2 多項(xiàng)式樣條次冪以及多項(xiàng)式樣條的數(shù)量決定

我們?cè)诶枚囗?xiàng)式樣條函數(shù)逼近貼現(xiàn)函數(shù)的時(shí)候，理論上可以使用的有二次樣條、三次樣條、四次、五次乃至更高次的樣條函數(shù)，但是在實(shí)際操作中，為了保證擬合的光滑性，一般需要要求樣條函數(shù)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)相等和樣條函數(shù)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)相等.McCulloch提出二次、三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)來對(duì)貼現(xiàn)函數(shù)進(jìn)行擬合，他認(rèn)為二次樣條函數(shù)間接擬合利率期限結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)不光滑的遠(yuǎn)期利率曲線，F(xiàn)(t)的二階導(dǎo)數(shù)是離散的，因此它的曲線不光滑.為了得到一個(gè)光滑的即期利率曲線，必須用至少一個(gè)三次樣條函數(shù)去擬合貼現(xiàn)函數(shù)，而當(dāng)多項(xiàng)式的基函數(shù)階數(shù)大于三階時(shí)，模型比較復(fù)雜，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性有困難，階數(shù)越高困難越大.我們采用的便是三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)，形式為：

在多項(xiàng)式樣條函數(shù)的數(shù)量方面，由于樣條函數(shù)的數(shù)量決定了擬合程度和光滑程度.如果增加樣條函數(shù)的數(shù)量，擬合程度會(huì)越好，但是節(jié)點(diǎn)就會(huì)比較多，擬合曲線就不會(huì)光滑.我國(guó)利率市場(chǎng)交易品種數(shù)量少，一般可以選擇3個(gè)樣條函數(shù).

3 實(shí)證應(yīng)用和分析

3.1 數(shù)據(jù)和樣條函數(shù)的選取

在我國(guó)研究利率期限結(jié)構(gòu)大多用的是能反應(yīng)市場(chǎng)的國(guó)債利率或者回購(gòu)利率，其他的譬如商業(yè)銀行的貸款利率、銀行間的拆借利率由于中央銀行的政策性規(guī)定，利率變化幅度小，不能反應(yīng)真正的市場(chǎng)利率.其次，國(guó)債交易市場(chǎng)有銀行間的交易市場(chǎng)與交易所市場(chǎng)，這兩個(gè)市場(chǎng)相互獨(dú)立，其中銀行間國(guó)債市場(chǎng)主要用于提供提債券市場(chǎng)的信息服務(wù)等，交易并不活躍，單筆交易數(shù)量大，不利于正常反應(yīng)市場(chǎng)需求情況，因此我們選取上海證券交易所的國(guó)債及其回購(gòu)品種作為研究對(duì)象.

鑒于我國(guó)目前并不完善的利率、貨幣等各項(xiàng)傳導(dǎo)機(jī)制，對(duì)于交易所的長(zhǎng)期國(guó)債而言，到期期限較長(zhǎng)，其價(jià)格受到利率、通貨膨脹等因素的影響較大，從而導(dǎo)致其價(jià)格被低估，價(jià)格偏低.因此在挑選債券時(shí)，我們將剩余期限在10年以上的國(guó)債排除在外.并將0到10年到期的國(guó)債分為三段：第一段是0～2年；第二段是2～5年；第三段是5～10年，這樣分成三段的多項(xiàng)式樣條函數(shù)可以寫成：

3.2 模型的變化和軟件的應(yīng)用

為了保證三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)的擬合程度和光滑程度，函數(shù)F(t)必須滿足函數(shù)平滑性和可導(dǎo)性約束條件，結(jié)合（6）式我們可以將相互獨(dú)立的參數(shù)進(jìn)一步縮減，整理后可得下式：

將債券價(jià)格、息票額的數(shù)值和貼現(xiàn)函數(shù)的各具體形式代入（7）和（2），得到一個(gè)含有5個(gè)參數(shù)的多元線性回歸模型.

為便于方程的計(jì)算，我們?cè)O(shè)定：所有債券的假定剩余到期時(shí)間為9至10年，9年以下的債券在最后一次付息還本以后的付息日付息額均為零，這樣既不與實(shí)際相違背，也方便模型的簡(jiǎn)便化.因此多元線性回歸模型的通式右側(cè)仍然是債券價(jià)格，左側(cè)是上面10個(gè)公式的加總，合并同類項(xiàng)得到：

其中，A=Ci1+Ci2+…+Ci10；

設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為：

利用線性最小二乘法估計(jì)出貼現(xiàn)函數(shù)F(t)的各個(gè)參數(shù)，最后利用公式（3）將貼現(xiàn)率轉(zhuǎn)化成連續(xù)復(fù)利的零息票國(guó)債的到期收益率，得出國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)，作圖畫出利率期限結(jié)構(gòu)曲線.

3.3 實(shí)證分析

本文選取2010年4月14日上海證券交易所的國(guó)債交易價(jià)格為研究對(duì)象對(duì)我國(guó)的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)證分析.由于我國(guó)的上市國(guó)債種類和數(shù)目較多，為方便計(jì)算，我們要求選取的付息債券每年只付息一次，在到期日支付票面本金和最后一筆利息，并且在存續(xù)期間內(nèi)債券正常付息.在某日上市的交易所付息國(guó)債中選取10只國(guó)債的交易數(shù)據(jù)（包括全價(jià)，到期期限，到期收益率等信息）作為樣本（見表1），對(duì)我國(guó)的國(guó)債收益率曲線進(jìn)行擬合.

表1 上海證券交易所國(guó)債交易情況（2010-04-14）

首先，將交易數(shù)據(jù)代入貼現(xiàn)函數(shù)可以得到回歸樣本，然后通過Eviews軟件，利用線性最小二乘法估計(jì)出參數(shù)b0,c0,d0,d1,d2和相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)差，以及F檢驗(yàn)值，相關(guān)結(jié)果如表2所示.由計(jì)算結(jié)果中F檢驗(yàn)值大小可知回歸模型的通過整體顯著性檢驗(yàn)，由修正R2的數(shù)值可以看出，模型擬合優(yōu)度較高，總體效果是比較好的，因此，模型有效，可以用來進(jìn)行分析研究.

表2 多項(xiàng)式樣條函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

于是，將所得的參數(shù)估計(jì)結(jié)果代入（6）式，我們就可以得到貼現(xiàn)函數(shù)的逼近函數(shù)具體表達(dá)式為:

再根據(jù)公式（3）我們將F(t)轉(zhuǎn)化成連續(xù)復(fù)利的零息票國(guó)債的到期收益率R(t)，將t設(shè)為1～10的間隔為0.5的年限，可得R(t)如表3所示.

表3 國(guó)債擬合收益率匯總

由以上數(shù)據(jù)，可以做出即期利率期限結(jié)構(gòu)的曲線（如圖2所示）.可以看出，擬合出來的國(guó)債收益率曲線較平滑，由計(jì)算結(jié)果知其擬合優(yōu)度較好，可以認(rèn)為采用三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)估計(jì)我國(guó)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)曲線是有效的.這種簡(jiǎn)便可行的方法能夠很好的擬合我們得到的數(shù)據(jù)，可以刻畫出性質(zhì)良好的率期限結(jié)構(gòu)曲線.當(dāng)我們研究利率期限結(jié)構(gòu)曲線的特點(diǎn)和基本形狀并據(jù)此來預(yù)測(cè)未來利率變化趨勢(shì)的時(shí)候，這種研究方法頗為適宜.

圖1 上交所國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)曲線（2010年04月14日）

4 結(jié)論

從以上對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)中我們得到一些有關(guān)我國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)方面的結(jié)論.

4.1 以上對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)中，是利用多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)的一種靜態(tài)的分析，是立足于某一時(shí)點(diǎn)的國(guó)債收益與期限的關(guān)系.

4.2 利用多項(xiàng)式樣條函數(shù)可以得到一條光滑的利率期限結(jié)構(gòu)曲線，然而我們將這個(gè)多項(xiàng)式分成三段后，擬合程度可達(dá)到90%以上，并且分段式樣條函數(shù)得到的利率期限結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)期趨于穩(wěn)定，與實(shí)際情況吻合.

4.3 在用多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造利率期限結(jié)構(gòu)時(shí)，需要把握好擬合尺度，視用途分情況而定.次冪的選擇和分段的選取要盡量做到貼切實(shí)際.

4.4 總體來說，我國(guó)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)是向右上方傾斜的，這說明投資的期限越長(zhǎng)，收益率越高，這一點(diǎn)符合資金的時(shí)間價(jià)值理論.短中期利率較低，長(zhǎng)期利率保持快速增長(zhǎng)、低通脹的良好狀況.市場(chǎng)資金較為寬松，中短期利率較低.

4.5 隨著中國(guó)利率市場(chǎng)化改革的迅速推進(jìn)以及國(guó)債市場(chǎng)的進(jìn)一步發(fā)展，國(guó)債交易品種和交易規(guī)模的不斷豐富和擴(kuò)大，以及中國(guó)金融市場(chǎng)的全面開放，進(jìn)行動(dòng)態(tài)模型的研究、實(shí)證和應(yīng)用會(huì)是今后的主要研究方向.

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