混沌運動的特征及其在密碼學中的應用

張金鋒，尹新國，劉建軍，公丕鋒，朱孟正

（淮北師范大學 物理與電子信息學院，安徽 淮北 235000）

混沌[1-2]被譽為繼相對論和量子力學之后的本世紀最重要的科學發現之一，它揭示了自然界及人類社會中普遍存在的復雜性，加深了人們對客觀世界的認識.混沌理論的應用是一個具有廣闊前景的前沿課題和學術熱點，并逐漸成為一門新興的產業，顯示出巨大的經濟效益和優越性，文獻[3-5]指出人們對混沌理論及其在各個領域的應用有了清晰的認識.隨著非線性科學及混沌理論的發展，混沌科學在電子學、信息科學、圖像處理等領域都有了廣泛的應用，混沌密碼學就是其中之一[6-7].混沌密碼理論利用混沌序列的非周期性和偽隨機特性，將混沌序列作為密鑰流和原始明文序列進行諸位異或而得到加密密文.

1 通向混沌最典型的途徑：倍周期分岔

由一個確定性系統走向混沌的一種最典型途徑是倍周期分岔.這里引入最典型的混沌數學模型邏輯斯蒂(Logistic)方程[8]來說明這個問題：

其中初值x0的取值范圍為（0,1）,λ的取值范圍為[0,4].在方程的演化過程中，將λ作為橫坐標，迭代的結果xn+1作為縱坐標，并將其由小到大逐漸增大就可以展示倍周期分岔走向混沌的過程 (如圖1所示).

從圖1中可以看出，當λ<3時,系統還處于穩定的1周期.λ=3時開始2分岔，得到穩定的2周期，即對應一個λ的值，可以得到兩個迭代值；λ=3.449時，得到穩定的周期4；λ=3.544時，得到穩定的周期8；隨著λ的逐漸增大，系統按照2n進行倍周期分岔；當λ=3.569時，系統完全進入混沌狀態.

圖1 邏輯斯蒂方程的混沌展示圖

2 混沌運動的基本特征

一般認為，混沌就是在確定性動力學系統中出現的一種貌似隨機的運動.混沌現象產生的根源在于系統自身的非線性，而與外部的影響無關.但是到目前為止，對混沌概念還沒有公認的嚴格的定義.研究表明，對混沌概念的界定應從混沌現象的本質特征入手，從數學和物理兩個層次去考慮，才有可能得出正確完整的結論.為了區別于其他復雜現象，一般認為混沌具有以下各個方面的基本特征，且它們之間有著密不可分的內在聯系.

2.1 遍歷性

混沌運動軌道局限于一個確定的區域——混沌吸引域，混沌軌道經過混沌區域內的每一個狀態點.

2.2 確定性、隨機性

確定性是指描述動力學系統的微分方程中的系數都是確定的，沒有概率性因素.對確定的初始值，確定性方程應給出確定的解，描述著系統確定的行為.但在某些非線性系統中，這種過程會因初始值極微小的擾動而產生很大變化.由于系統的這種初值敏感性，從物理上看，這過程似乎是隨機的，但這種隨機性是確定性系統內部所固有的，所以被叫做內存隨機性.

2.3 對初值的敏感性

人們常用“蝴蝶效應”來指代混沌系統對初始條件的敏感依賴特性.初始條件的任何微小變化，經過混沌系統的不斷放大，都有可能對其未來的狀態造成極其巨大的變化.如蟲口模型xn+1=λxn(1-xn)，xn∈[0,1]，λ∈[0,4].圖 2表示取兩個不同的初值x01=0.4，x02=0.4001，對應同一個參量λ=3.6的迭代結果.

圖2 混沌對初值的敏感性

通過上圖可知迭代初值x01，x02相差很小，當迭代次數小時其迭代結果相差很小，但隨著迭代次數的增加，迭代結果相差越來越大，這也體現了“失之毫厘，謬以千里”的道理，此即系統對初值的敏感性.

2.4 長期行為不可預測性.

由于對初始條件敏感，混沌系統的長期行為同隨機運動一樣無法預測.但不能簡單地宣布混沌運動不可預見.因為混沌系統的演化方程式是確定的，混沌吸引子在相空間的位置是確定的，短期行為可以預測；吸引子上的運動服從某種概率規律，具有統計意義上的可預見性.混沌的發現在某些方面又增強了人的預見能力.

2.5 無序中蘊含著十分復雜的有序

表面上看，混沌運動呈現出混亂無序的隨機狀態，但這種隨機狀態是一種內在的隨機狀態，隨機中蘊含著有序.從混沌的相空間任意取出一部分放大看，仍像整體那樣極不規則、具有無窮精細結構和某種自相似性.

圖3是圖1λ=3.589中μ=2.5時所對應窗口的局部放大,從中又可以看出倍周期走向混沌的過程和混沌區域,這與整體圖十分相似,只不過尺度不同,混沌的這一特性稱為自相似性.它又一次表明了混沌并不是真正的隨機態,而是在隨機狀態中蘊含著有序.

圖3 邏輯斯蒂方程的混沌展示圖的局部放大圖

2.6 非周期性.

混沌是非線性動態系統的一種可能定態，相空間軌道不是單調變化的,也不是周期性的，而是非周期性地曲折起伏變化的.把系統的非單調行為判定為要么瞬態運動、要么周期運動的傳統觀點是錯誤的.

3 混沌理論在密碼學中應用

3.1 密碼學的發展介紹

密碼學的歷史源遠流長，從它的產生到現在大致經歷了三個發展階段，首先是手工階段，人們只是通過紙和筆對于字符加密，加密的手段是替代和換位.隨著工業革命的到來，密碼學也進入了機器時代、電子時代.在這個時期，雖然加密設備有了很大的進步，但是密碼學理論卻沒有多大的改變.計算機的出現使密碼進行高度復雜的運算成為可能，為了適應計算機網絡通信和商業保密的要求，從而產生了公開密鑰理論，進入了近代密碼學階段，使密碼學取得了重大的突破.加密手段融入了大量的數論、幾何、代數等豐富的方法，使密碼學得到了更加蓬勃的發展.目前，人們對密碼的研究仍然高度重視，已經發展到現代密碼學時期.密碼學已經結合混沌動力學、量子力學、等專業的綜合科學，出現了如“量子密碼”、“混沌密碼”等先進理論，在保密通信中起著非常重要的作用.

3.2 混沌理論與密碼學理論的區別與聯系

眾所周知，密碼學中用于指導密碼設計的兩個基本原則是擴散與混亂.擴散是將明文冗余度分散到密文中使之分散開來，以便隱藏明文的統計結構，實現方式是使明文的每一位影響密文重點的多位的值；混亂則是用于掩蓋明文、密文和密鑰之間的關系，使密鑰密文之間的統計關系變得盡可能復雜，導致密碼攻擊者無法從密文中得到密鑰.混沌的軌道混合特性（與軌道發散和初值敏感性直接相聯系）對應于傳統加密系統的擴散特性，而混沌信號的類隨機特性和對系統參數的敏感性對應于傳統加密系統的混亂特性.可見，混沌具有的優異混合特性保證了混沌加密器的擴散和混亂作用可以和傳統加密算法一樣好.另外，很多混沌系統與密碼學中常見的Feistel網絡結構（如標準映射、Henon映射等）是非常相似的.

混沌和密碼學之間具有的天然的聯系和結構上的某種相似性，啟示著人們把混沌理論應用于密碼學領域.但是混沌畢竟不等于密碼學，它們之間最重要的區別在于：密碼學系統工作在有限的離散集上，而混沌卻工作在無限的連續實數集上.此外，傳統密碼學已經建立了一套系統安全性和性能的理論，密碼空間的設計方法和實現技術亦比較成熟，從而能保證系統的安全性；而目前的混沌加密系統還缺少這樣一個評估算法安全性和性能的標準.

4 結束語

對混沌現象的認識是非線性科學的最重要的成就之一，混沌概念與分形、孤立子、元細胞自動機等概念并行，組成人類探索復雜性科學的重要范疇.混沌理論和密碼學可以彼此借鑒各自的研究成果，促進共同的發展.一方面，混沌動力學中的一些物理量，可能成為密碼安全性的一種標度.另一方面，一些典型的密碼分析工具也可以用于混沌理論的分析.

〔1〕Howel Tong.Nonlinear Time Series Analysis Since1990:Some Personal Refletions [J].Act a Mathem aticae Applicatae Sinica,English Series,2002,18(2):177-184.

〔2〕Andrzej Kossakowski,Mas anori Ohya,Yoshio Togawa.How Can We Observe and Describe Chaos? [J].Open Systems and Informat ion Dynamics,2003,10(3):221-233.

〔3〕王育民，劉建偉.通信網的安全——理論與技術[M].西安：西安電子科技大學出版社，1999.30-51.

〔4〕Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems. Physical Review Letters,1999,64(8):821-824.

〔5〕廖曉鋒，等.混沌密碼學原理及其應用[M].北京：科學出版社，2009.10-39.

〔6〕王曉英.一個基于混沌理論的加密算法的設計[J].赤峰學院學報，2010，26(2)：33-34.

〔7〕李婷.Lorenz系統的混沌同步以及在保密通信中的應用[J].赤峰學院學報，2011，27(8)：43-44.

〔8〕張金鋒，等.倍周期分岔通向混沌過程的計算機模擬[J].牡丹江師范學院，2013，82(1)：12-14.