以互補(bǔ)條件熵為啟發(fā)信息的正域?qū)傩约s簡(jiǎn)

山西大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 計(jì)算智能與中文信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030006

山西大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 計(jì)算智能與中文信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030006

1 引言

粗糙集理論是一種處理不精確、不確定與不完全數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)工具[1-2]，其主要思想是：在保持信息系統(tǒng)分類能力不變的前提下，經(jīng)過(guò)屬性約簡(jiǎn)導(dǎo)出分類或決策規(guī)則。目前，粗糙集理論已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識(shí)別、故障診斷等領(lǐng)域[3-5]。

特征選擇是指在不改變?cè)继卣骺臻g性質(zhì)的前提下，從原始特征空間中選擇一部分重要的特征，組成一個(gè)新的低維特征空間的過(guò)程。屬性約簡(jiǎn)是在保持原始數(shù)據(jù)的屬性區(qū)分能力不變的前提下，選擇具有最小屬性（特征）數(shù)量的屬性子集的過(guò)程，是一種特定背景下的特征選擇方法。屬性約簡(jiǎn)是粗糙集理論中的核心內(nèi)容之一。

目前，研究者已經(jīng)提出了許多屬性約簡(jiǎn)方法[6-8]。Skowron[6]提出了區(qū)分矩陣屬性約簡(jiǎn)方法，該方法可以得到信息系統(tǒng)的所有約簡(jiǎn)，但是這種算法的復(fù)雜度過(guò)高（已經(jīng)被證明為NP-Hard問(wèn)題）。為了提高約簡(jiǎn)算法的效率，許多學(xué)者應(yīng)用啟發(fā)式的搜索策略求解屬性約簡(jiǎn)，從而有效地降低約簡(jiǎn)算法的耗時(shí)。Hu和Cercone[7]將相對(duì)正域引入到屬性約簡(jiǎn)中，提出了一種啟發(fā)式屬性約簡(jiǎn)算法。王國(guó)胤等[8-9]將Shannon信息熵用于屬性子集評(píng)價(jià)，提出相應(yīng)的啟發(fā)式屬性約簡(jiǎn)，該方法的停止條件也是利用Shannon條件熵。梁吉業(yè)等[10-14]將互補(bǔ)熵引入粗糙集理論用于度量信息系統(tǒng)的不確定性，并提出利用互補(bǔ)熵評(píng)價(jià)屬性子集的屬性約簡(jiǎn)算法。

上述啟發(fā)式屬性約簡(jiǎn)方法都是先根據(jù)前向貪婪搜索策略產(chǎn)生候選的屬性子集，然后利用某種度量對(duì)候選屬性子集進(jìn)行評(píng)價(jià)，如果某個(gè)屬性子集與原始屬性集的區(qū)分能力相同（即滿足停止條件），則得到屬性約簡(jiǎn)，否則重復(fù)前面的過(guò)程直至滿足停止條件（如圖1所示）。這些算法都使用相同的度量作為屬性子集的評(píng)價(jià)指標(biāo)和算法的停止條件。評(píng)價(jià)指標(biāo)決定著算法的收斂方向，而停止條件決定著算法得到的約簡(jiǎn)的性質(zhì)，因此這兩者并不必須使用相同的度量。

圖1 屬性約簡(jiǎn)過(guò)程示意圖

根據(jù)上述分析，本文根據(jù)互補(bǔ)熵的隨劃分的變化規(guī)律，分四種情況分析了約簡(jiǎn)過(guò)程中當(dāng)某個(gè)屬性加入屬性子集后，相對(duì)正域和互補(bǔ)條件熵的變化。并提出了一種以互補(bǔ)條件熵為啟發(fā)信息、以相對(duì)正域?yàn)橥Ｖ箺l件的屬性約簡(jiǎn)方法，與傳統(tǒng)的以相對(duì)正域?yàn)閱l(fā)信息的正域約簡(jiǎn)算法相比，該算法可以得到屬性數(shù)量更少的約簡(jiǎn)，同時(shí)計(jì)算約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗也更少。

2 基本概念

設(shè)S=(U，A，V，f)為一個(gè)信息系統(tǒng)，其中U為非空有限對(duì)象集合，稱為論域；A為非空有限屬性集合；對(duì)任意a∈A有 a:U→Va，其中Va稱為屬性 a 的值域，V=∪a∈AVa，f:U×A=V是一個(gè)函數(shù)，對(duì)于任意的a∈A有 f(x，a)∈Va。

稱集合 BNR(Y)=-為Y的 R邊界域；POSR(Y)=為Y的 R正域；NEGR(Y)=U-RY為Y的 R負(fù)域。

若信息系統(tǒng)中的屬性集 A=C∪D，C表示條件屬性集，D表示決策屬性集，C∩D≠，則該信息系統(tǒng)稱為一個(gè)決策表，記為DT=(U，C∪D，V，f)。如果其中條件屬性集C對(duì)論域U的劃分為={X1，X2，…，Xm}，決策屬性集D對(duì)論域U的劃分為={Y1，Y2，…，Yn}，則 D 關(guān)于C的相對(duì)正域記為POSC。若某個(gè)決策表的決策屬性集關(guān)于條件屬性集的相對(duì)正域?yàn)檎麄€(gè)論域，則稱其為協(xié)調(diào)的決策表，否則稱其為不協(xié)調(diào)的決策表。

基于互補(bǔ)條件熵可以給出屬性a關(guān)于屬性集C重要度 SGF(a，C，D)的定義：

3 以互補(bǔ)熵為啟發(fā)信息的屬性約簡(jiǎn)

為了給出新的屬性約簡(jiǎn)算法，首先引入下面的定理。

定理1[15]給定決策表 DT=(U，C∪D，V，f)，C 是條件屬性集，D是決策屬性集。若U/B?U/C，則

定理1表明隨著論域劃分的變細(xì)，決策表的互補(bǔ)條件熵將變小。

定理2[16]給定決策表 DT=(U，C∪D，V，f)，C 是條件屬性集，B?C，D是決策屬性集，則

定理2表明互補(bǔ)條件熵不僅與其正域部分的大小有關(guān)，還與其非正域部分的互補(bǔ)條件熵的大小有關(guān)。進(jìn)一步結(jié)合定理1的結(jié)論可以得出非正域部分的條件熵的大小與其劃分的粗細(xì)程度有關(guān)。因此，利用互補(bǔ)條件熵作為啟發(fā)式信息，則不但可以反映正域部分大小，也可以反映非正域部分的分布情況（劃分的粗細(xì)程度）。

在屬性約簡(jiǎn)的過(guò)程中，決策屬性關(guān)于當(dāng)前屬性集的非正域部分中對(duì)象將會(huì)成為下一次迭代時(shí)相對(duì)正域中的對(duì)象，如圖2所示，圖中決策屬性關(guān)于屬性集B的非正域中的一些對(duì)象（陰影部分）在條件屬性集為B∪{ai}時(shí)進(jìn)入了相對(duì)正域。因此，決策屬性集關(guān)于某一條件屬性集的非正域中的對(duì)象的分布情況也會(huì)對(duì)約簡(jiǎn)過(guò)程中屬性的選擇產(chǎn)生重要的影響，進(jìn)而影響約簡(jiǎn)算法收斂的方向和速度。

圖2 約簡(jiǎn)過(guò)程中相對(duì)正域和非正域的變化

為了更好地說(shuō)明約簡(jiǎn)過(guò)程中以互補(bǔ)條件熵為啟發(fā)信息和以正域?yàn)閱l(fā)信息的區(qū)別，下面分四種情況來(lái)分析。

不失一般性，不妨設(shè)當(dāng)前屬性子集為B，可選擇加入的屬性有ai和aj。

為了說(shuō)明該情況時(shí)在論域U下互補(bǔ)條件熵的變化情況，給出下面的定理3。

定理3 給定決策表 DT=(U，C∪D，V，f)，C 是條件屬性集，D是決策屬性集，B?C。若對(duì)于任意的屬性ai和aj，POSB∪{ai}(D)=POSB∪{aj}(D)， 且 U-POSB∪{ai}(D)/(B ∪{ai})?U-POSB∪{aj}(D)/(B∪{aj})，則

證明根據(jù)已知條件(U-POSB∪{ai}(D))/(B∪{ai})?(UPOSB∪{aj}(D))/(B∪{aj})和定理 1，可以得到(D|B ∪{ai})＞(D|B∪{aj})。

證畢。

根據(jù)定理3可以得出，在約簡(jiǎn)過(guò)程中當(dāng)兩個(gè)屬性ai和aj分別加入的候選屬性子集B時(shí)，如果決策屬性集D關(guān)于B∪{ai}的相對(duì)正域與關(guān)于B∪{aj}的相對(duì)正域大小相等，且屬性B∪{ai}對(duì)非正域部分的劃分比B∪{aj}對(duì)非正域部分的劃分細(xì)，則在論域U下，D關(guān)于B∪{ai}的互補(bǔ)條件熵較小。

因此，在約簡(jiǎn)過(guò)程中，出現(xiàn)情況1時(shí)，若選擇正域作為啟發(fā)式信息，則屬性ai和aj的重要程度相同，只能任意選擇一個(gè)。而選擇互補(bǔ)條件熵為啟發(fā)信息則可以選擇到對(duì)非正域部分劃分更細(xì)的屬性，為約簡(jiǎn)過(guò)程的下一次迭代奠定更好基礎(chǔ)。

為了說(shuō)明該情況時(shí)在論域U下互補(bǔ)條件熵的變化情況，給出下面的定理4。

定理4 給定決策表 DT=(U，C∪D，V，f)，C 是條件屬性集，D是決策屬性集，B?C。若對(duì)于任意的屬性ai和aj，POSB∪{ai}(D)＞ POSB∪{aj}(D) 且(D|B ∪{ai})=(D|B ∪{aj})，則

類似于定理3，容易證明定理4。

定理4表明在約簡(jiǎn)過(guò)程中當(dāng)兩個(gè)屬性ai和aj分別加入候選屬性子集B時(shí)，如果在決策表的非正域部分B∪{ai}關(guān)于決策屬性的互補(bǔ)條件熵與B∪{aj}關(guān)于決策屬性的互補(bǔ)條件熵相等，且在論域U上D關(guān)于B∪{ai}相對(duì)正域比D關(guān)于B∪{aj}相對(duì)正域大，則在論域U上D關(guān)于B∪{ai}關(guān)的互補(bǔ)條件熵較小。

因此，在約簡(jiǎn)過(guò)程中，出現(xiàn)情況2時(shí)利用正域和互補(bǔ)條件熵作為啟發(fā)信息，都會(huì)選擇并入屬性子集B后使得相對(duì)正域更大的屬性ai。

為了說(shuō)明該情況時(shí)在論域U下互補(bǔ)條件熵的變化情況，給出下面的定理5。

定理5 給定決策表 DT=(U，C∪D，V，f)，C 是條件屬性集，D是決策屬性集，B?C。若對(duì)于任意的屬性ai和aj，(D)＞POSB∪{aj}(D)且 (U-(D))/(B∪{ai})?(U-(D))/(B∪{aj})，則

類似于定理3，容易證明定理5。

根據(jù)定理5可以得出，在約簡(jiǎn)過(guò)程中當(dāng)兩個(gè)屬性ai和aj分別加入到候選屬性子集B中，如果決策屬性集D關(guān)于B∪{ai}的相對(duì)正域比關(guān)于 B∪{aj}的相對(duì)正域大，且B∪{ai}對(duì)非正域部分的劃分比B∪{aj}非正域部分的劃分更細(xì)，則在論域U下D關(guān)于B∪{ai}的互補(bǔ)條件熵較小。

因此，在約簡(jiǎn)過(guò)程中，出現(xiàn)情況3時(shí)利用正域和互補(bǔ)條件熵作為啟發(fā)信息，都會(huì)選擇并入屬性子集B使得相對(duì)正域更大的屬性ai。

在約簡(jiǎn)過(guò)程中，當(dāng)兩個(gè)屬性ai和aj分別加入的候選屬性子集B中，如果決策屬性集D關(guān)于B∪{ai}的相對(duì)正域比關(guān)于B∪{aj}產(chǎn)生的相對(duì)正域大，且B∪{ai}對(duì)非正域部分的劃分比B∪{aj}對(duì)非正域部分的劃分粗糙，則在論域U下屬性子集B∪{ai}的互補(bǔ)條件熵與屬性子集B∪{ai}關(guān)于決策表的互補(bǔ)條件熵大小關(guān)系無(wú)法確定。

因此，當(dāng)約簡(jiǎn)過(guò)程中出現(xiàn)情況4時(shí)，若利用正域和互補(bǔ)條件熵作為啟發(fā)信息，則選擇產(chǎn)生相對(duì)正域較大的屬性ai并入屬性子集B；若利用互補(bǔ)條件熵作為啟發(fā)信息，則能夠綜合考慮屬性加入后新的屬性子集產(chǎn)生相對(duì)正域的大小和對(duì)于非正域部分劃分的粗細(xì)程度選擇屬性。這樣更有利于為約簡(jiǎn)過(guò)程的下一次迭代提供好的屬性。

根據(jù)上述分析，本文設(shè)計(jì)了以互補(bǔ)條件熵為啟發(fā)信息的正域約簡(jiǎn)算法，該算法的具體描述如下：

算法1以互補(bǔ)條件熵為啟發(fā)信息的正域約簡(jiǎn)算法（CE-PRAR）

表2 算法CE-PRAR和PR-PRAR運(yùn)行結(jié)果和運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

輸入一個(gè)決策表T=(U，C∪D，V，f)

輸出決策表的相對(duì)約簡(jiǎn)red

步驟1 red←;//red用來(lái)存放候選屬性子集。

步驟2如果(D)-POSC(D)＜0，則將ai放入red//計(jì)算核屬性。

步驟3當(dāng) POSred(D)≠POSC(D)時(shí)，//停止條件執(zhí)行{red←red∪{a0}，其中Sig(a0，red，D)={Sig(ak，red，D)}}。

步驟4返回red，結(jié)束。

下面分析該算法的時(shí)間復(fù)雜性。設(shè)DT=(U，C∪D，V，f)，其中C∪D=?，C是條件屬性集合，D是決策屬性集合。若|C|=m，|U|=n，則算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(mn2)+O(n3)。

4 實(shí)驗(yàn)及分析

為驗(yàn)證本文提出的CE-PRAR算法的性能，本文選取了UCI數(shù)據(jù)庫(kù)中的6組數(shù)據(jù)集進(jìn)行測(cè)試，分別比較了以互補(bǔ)條件熵為啟發(fā)信息的正域約簡(jiǎn)算法（CE-PRAR）和以正域?yàn)閱l(fā)信息正域約簡(jiǎn)（PR-PRAR）的約簡(jiǎn)結(jié)果和時(shí)間消耗。實(shí)驗(yàn)中使用的數(shù)據(jù)集的詳細(xì)信息見表1。

表1 實(shí)驗(yàn)用UCI數(shù)據(jù)集

實(shí)驗(yàn)在硬件配置為CPU Pentium 3.40 GHz、內(nèi)存2 GB的計(jì)算機(jī)上，用C#語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)算法，開發(fā)和測(cè)試平臺(tái)為Microsoft Visual Studio 2005。

表2給出了利用算法CE-PRAR和PR-PRAR在表1中的6個(gè)UCI數(shù)據(jù)集上的約簡(jiǎn)結(jié)果和時(shí)間消耗。從表2中可以看出對(duì)于大多數(shù)數(shù)據(jù)集由算法CE-PRAR獲得的約簡(jiǎn)的屬性數(shù)量比利用算法PR-PRAR獲得的約簡(jiǎn)的屬性數(shù)量少，并且計(jì)算耗時(shí)也明顯變少。在Der、Flag、large、Waveform和Zoo數(shù)據(jù)集利用算法CE-PRAR得到的約簡(jiǎn)均比利用算法PR-PRAR得到的約簡(jiǎn)少1個(gè)屬性，而且算法CE-PRAR的時(shí)間消耗比算法PR-PRAR也要小。特別是在數(shù)據(jù)集Lung-cancer上效果更為明顯，算法CE-PRAR得到的約簡(jiǎn)屬性的數(shù)量比算法PR-PRAR得到的約簡(jiǎn)的屬性數(shù)量少兩個(gè)，而且與算法CE-PRAR相比時(shí)間消耗明顯較小。

為了說(shuō)明算法CE-PRAR的有效性，利用文獻(xiàn)[17]中提出的決策表決策性能評(píng)價(jià)指標(biāo)（確定度α、協(xié)調(diào)度 β和支持度γ）對(duì)利用算法CE-PRAR和算法PR-PRAR約簡(jiǎn)后決策表的決策性能進(jìn)行了對(duì)比分析（如表3所示）。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出對(duì)于所有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集，經(jīng)算法CE-PRAR約簡(jiǎn)后的決策表的決策性能與經(jīng)算法PR-PRAR約簡(jiǎn)后決策表的確定度α、協(xié)調(diào)度 β和支持度γ的值均相同或相差很小，這說(shuō)明利用算法CE-PRAR和算法PR-PRAR得到的約簡(jiǎn)決策表的決策性能非常接近。

表3 經(jīng)算法CE-PRAR和PR-PRAR約簡(jiǎn)后決策表的決策性能對(duì)比

5 結(jié)論

本文對(duì)常見的屬性約簡(jiǎn)方法進(jìn)行了深入分析，發(fā)現(xiàn)在其約簡(jiǎn)過(guò)程中，候選屬性子集的評(píng)價(jià)指標(biāo)和算法的停止條件都是使用相同的度量，而在正域約簡(jiǎn)中使用相對(duì)正域作為這兩個(gè)指標(biāo)。進(jìn)一步，根據(jù)互補(bǔ)熵的隨劃分的變化規(guī)律，分四種情況分析了約簡(jiǎn)過(guò)程中某個(gè)屬性加入候選屬性子集后，相對(duì)正域和互補(bǔ)條件熵的變化，發(fā)現(xiàn)以互補(bǔ)條件熵作為啟發(fā)信息不但可以反映約簡(jiǎn)過(guò)程中相對(duì)正域大小的變化，還能夠反映非正域部分的分布變化。最后，提出了一種以互補(bǔ)熵為啟發(fā)信息的正域?qū)傩约s簡(jiǎn)算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的新算法與以相對(duì)正域?yàn)閱l(fā)信息的正域約簡(jiǎn)算法相比，可獲得一個(gè)包含更少屬性且決策性能非常接近的約簡(jiǎn)，而且新算法的時(shí)間消耗也明顯減少。

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以互補(bǔ)條件熵為啟發(fā)信息的正域?qū)傩约s簡(jiǎn)

魏 巍，陳紅星，王 鋒

WEI Wei,CHEN Hongxing,WANG Feng

Key Lab of MoE for Computation Intelligence&Chinese Information Processing,School of Computer&Information Technology, Shanxi University,Taiyuan 030006,China

Attribute reduction,as a special approach for feature selection,is a key concept in rough set theory.The positive-region reduction approach is a kind of common reduction approach,which is of greedy and forward search type.These approaches keep adding one attribute with high significance into a pool during each iteration until positive-region no longer changes.In this paper, by analyzing changes of complementary conditional entropy varying with partition,four situations about changes of positive-region and entropy induced by adding a new attribute to the candidate attribute set are introduced.Then,a positive-region reduction algorithm based on complementary entropy is developed.Experimental results show that compared with the traditional positiveregion reduction algorithm,the proposed algorithm can find a reduction including fewer attributes and possessing almost same decision performance in a significantly shorter time.

rough set;attribute reduction;complement entropy;positive region

屬性約簡(jiǎn)是一種特殊的特征選擇方法，是粗糙集理論中的核心內(nèi)容之一。正域約簡(jiǎn)是一類常見的啟發(fā)式的約簡(jiǎn)方法，它通常采用前向貪婪搜索策略產(chǎn)生候選的屬性子集，以相對(duì)正域作為啟發(fā)信息和停止條件。根據(jù)互補(bǔ)條件熵的隨劃分的變化規(guī)律，分四種情況分析了約簡(jiǎn)過(guò)程中某個(gè)屬性加入屬性子集后，相對(duì)正域和互補(bǔ)條件熵的變化，并在此基礎(chǔ)上提出了一種以互補(bǔ)熵為啟發(fā)信息的正域?qū)傩约s簡(jiǎn)方法。實(shí)驗(yàn)分析表明，新方法與傳統(tǒng)的正域約簡(jiǎn)算法相比，可以得到屬性數(shù)量更少且決策性能非常接近的約簡(jiǎn)，同時(shí)可以有效地提高約簡(jiǎn)計(jì)算效率。

粗糙集；屬性約簡(jiǎn)；互補(bǔ)熵；正域

A

TP393

10.3778/j.issn.1002-8331.1212-0094

WEI Wei,CHEN Hongxing,WANG Feng.Positive region attribute reduction utilizing complement condition entropy as heuristic information.Computer Engineering and Applications,2013,49（11）：96-100.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.71031006，No.61202018，No.60970014）；山西省自然科學(xué)基金（No.2010021017-3）。

魏?。?980—），男，博士，講師，主要研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)挖掘、粒度計(jì)算；陳紅星（1963—），男，工程師，主要研究方向?yàn)楦拍罡?、?shù)據(jù)挖掘；王鋒（1984—），女，博士研究究生，主要研究方向?yàn)榱６扔?jì)算、模式識(shí)別。E-mail：weiwei@sxu.edu.cn

2012-12-10

2013-02-18

1002-8331（2013）11-0096-05