淺談基本不等式的應用

陳明發

摘 要：基本不等式是中學數學中非常重要的不等式，在解題中應用十分廣泛.靈活應用基本不等式解題是高考命題的熱點，是教與學的重點及難點.通過舉例來探討基本不等式在解題中的一些應用及注意事項，讓學生在學習中充分經歷知識的形成過程，從而形成自己對基本不等式的突破策略，培養學生的歸納、總結能力.

關鍵詞：不等式；中學數學；基本不等式；函數最值

一、用于求最值

運用基本不等式是求最值的一種常用方法，必須滿足“一正、二定、三相等”這三個條件.但往往不能直接套用，通常要經過恰當地變形才能運用.

已知x>0，y>0，則

（1）積定，和最小.

如果積xy是定值P，那么當且僅當x=y時，x+y有最小值是

2 .

（2）和定，積最大.

如果和x+y是定值S，那么當且僅當x=y時，xy有最大值是 .

例1.求函數y=x+ （x<0）的最大值.

分析：因為x<0，所以先要“調整”符號，后再對x進行變形.

解：∵x<0，

∴y=x+ =-（-x）+ ≤-2 =- .

當且僅當x=- 時，等號成立，故ymax=- .

評注：此題的關鍵就是對數的符號的調整，滿足是在正數的條件下運用基本不等式.

二、用于證明不等式

利用基本不等式證明不等式，應先觀察題目的條件是否滿足基本不等式的使用條件，若不滿足，則應通過添項、拆項、配系數、“1”的代換等方法，使其滿足，再結合不等式的基本性質，達到證明的目的.

例2.已知a>0，b>0，c>0，d>0，求證： + ≥4

證明： + = + + + =（ + ）+（ + ）≥2+2=4.

當且僅當a=b且c=d，等號成立.

故 + ≥4.

評注：此題考查了常見結論“ + ≥2（a、b同號）”的應用.其常用的結論還有 ≤ ≤ ≤ （a、b∈R+）.

三、用于大小的比較

例3.已知實數a，b，c滿足a+b+c=1，試比較a2+b2+c2，ab+bc+ac， 的大小.

解：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）.

∴a2+b2+c2≥ .

∵a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立.

b2+c2≥2bc，當且僅當b=c時，等號成立.

a2+c2≥2ac，當且僅當a=c時，等號成立.

三個不等式相加得：a2+b2+c2≥ab+bc+ac，

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ac），

∴ab+bc+ac≤ ，當且僅當a=b=c時，等號成立.

∴ab+bc+ac≤ ≤a2+b2+c2.

評注：當多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯，因此，在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗轉換是否有誤的一種方法.

四、用于求取值范圍

例4.若a<0，0

分析：a>1，0

解：∵logab+logba=-（-logba）+（- ）

又（-logab）+（- ）≥2 ∴logab+logba≤-2

當且僅當logab=logba，即當b= 時，等號成立.

因此，所求的取值范圍為（-∞，-2].

五、用于解實際生活中的問題

例5.某廠花費50萬元買回一臺機器，這臺機器投入生產后每天要付維修費，已知第x天應付的維修費為 （x-1）+500元.機器從投產到報廢共付的維修費與購買機器費用的和均攤到每一天，叫做每天的平均損耗，當平均損耗達到最小值時，機器應當報廢.

（1）將每天的平均損耗y（元）表示為投產天數x的函數；

（2）求機器使用多少天應當報廢？

解：（1）機器投產x天，每天的平均損耗是

y=

= 500000+500x+ x（x-1）= + +499

（2）y= + +499 ≥2 +499

=200+499 =999 .

當且僅當 = ，即當x=2000時，等號成立.

所以，這臺機器使用2000天應當報廢.

評注：利用基本不等式解決實際問題時，首先要認真審題，分析題意，建立合理的不等式模型，最后通過基本不等式解題.注意最常用的兩種題型：積一定，和最小；和一定，積最大.

基本不等式是高中數學的重要內容，在歷年高考試題中有廣泛的應用.數學教師在教學中要讓學生理解并掌握以上幾種常見的類型，使學生在解決此類問題時思路清晰，從而加快解題的速度和提高解題的正確率；并且要對知識進行歸納總結，注意突出重難點，使學生在理解的基礎上更加容易記憶，能夠牢固掌握知識.

參考文獻：

[1]肖剛.淺議均值不等式.高中數學教與學，2010（10）.

[2]趙建勛.淺談均值不等式的應用.高中數學教與學，2011（5）.

[3]姜建平.例談基本不等式的運用.數理化解題研究：高中版，2012（12）.

（作者單位 福建省仙游縣華僑中學）