立體幾何中的變與不變的關系問題

葉雙能

數學是研究空間形與數的一門學科，既體現了數與形的和諧與統一，又展現了動與靜的完美結合，立體幾何中的某些問題將這種動靜之間的辯證關系得到完美體現，下面以試題的形式談談這類問題研究的一般規律.

一、典例分析

例1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段BC1上運動時，給出下列四個命題：

①三棱錐A-D1PC的體積不變；②直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；③直線AP與直線AD1所成角的大小不變；④二面角P-AD1-C的大小不變.

其中所有真命題的編號是（1，3，4）.

解析：（1）∵VA-D PC=VP-ACD = S△ACD ×dP-ACD

∵點P運動的軌跡是線段BC1，而BC1∥平面ACD1，

∴點P到平面ACD1的距離相等；

（2）很明顯直線AP與平面ACD1的傾斜角在變化；

（3）A1D始終垂直于運動的直線AP所在的平面BAD1C1，所以A1D⊥AP.

（4）∵動點P在運動的過程中，平面PAD1=ABC1D1，所以二面角P-AD1-C的大小不變.

技巧：分析過程由局部的動點到整體；即考查動點所在的線（面）與已知的點線面之間的特殊的不變的關系（如平行、垂直、距離、夾角不變的關系）.

例2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別為棱BC，DD1上的點，給出下列命題：

①在平面ABF內總存在與直線B1E平行的直線；

②若B1E⊥平面ABF，則CE與DF的長度之和為2；

③存在點F使二面角B1-AC-F的大小為45°；

④設A1A與平面ABF所成的角為α，BC與平面ABF所成的角為β，則α+β的大小與點F的位置無關.

其中真命題的序號是_____②④_____.（寫出所有真命題的序號）

技巧：（1）考查了線面平行的判定定理，通過平移直線B1E可以看出，兩者不可能保持平行關系.

（2）考查了線面垂直的性質定理和判定定理及平面幾何中的相似關系.

∵B1E⊥平面ABF，∴B1E⊥AF，設CE=a，DF=b以DA為x軸，

DC為y軸，DD1為z軸，則 =（a-2，0，-2）， =（-2，0，b），∴ · =-2a+4-2b=0，∴a+b=2.

（3）尋找臨界狀態（最大角和最小角）時刻的角可知，選項③錯誤.

（4）通過平移，將BC平移到AD的位置，這樣α+β就是A1A，AD與平面ABF所成角的和，很明顯該值為90°.

例3.（2010北京）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，動點E、F在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積（ ）

A.與x，y，z都有關

B.與x有關，與y，z無關

C.與y有關，與x，z無關

D.與z有關，與x，y無關

解析：尋求不變量之間的關系：V= S△EFQ·dA-EFQ= S△AEF·dQ-AEF.

從V= S△EFQ·dA-EFQ角度考慮：S△EFQ不變，但是dA-EFQ在變，看不出與x，y，z的變化是否有關系；從 S△EFQ·dA-EFQ角度考慮，因為點Q運動的軌跡所在的直線DC∥EF，所以dA-EFQ不變，S△AEF= EF×dP-EF在變化，與點P的位置有關.

二、拓展訓練

如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1容器內灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：

①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當E∈AA1時，AE+BF是定值.其中正確說法是（ ）

A.①②③ B.①②④

C.②③④ D.①③④

（作者單位 浙江省臺州市蓬街私立中學）