含有絕對值的二次函數最值求解問題

夏良娟

2009年江蘇省高考題最后一題考了含參帶有絕對值的二次函數，本質是含有絕對值的二次函數最值求解問題，重點考查了分類討論、數形結合的思想。此類題目有一定的綜合性與靈活性，學生解決此類問題往往感到有一定的困難。在教學過程中，我對這類題目進行了小結，總結了兩種方法。

二次函數是最簡單的非線性函數之一，它有著豐富的內容，對近代數學乃至現代數學影響深遠，與二次函數有關的含有絕對值不等式的證明問題有一定的綜合性與靈活性，學生解決此類問題往往感到有一定的困難。本文通過幾個例子，歸納解決這類問題的一些常見題型與基本方法。

例：已知f（x）=2x2+（x-a）x-a，求f（x）的最小值。

解：f（x）=2x2+（x-a）x-a=x2+2ax-a2，x≤a

3x2-2ax+a2，x≥a

注意函數在x=a處相接，分段時兩側都取閉區間，以防止有一側無最值。

法一：分段求各部分的最小值，再比較。

當x≥a時，如圖1所示。若a≥，即a≥0，f（x）的最小值在x=a處取得，f（x）min=f（a）=2a2；若a<，即a<0，f（x）的最小值在

x=處取得，f（x）min=f（）=a2；

當x≤a時，如圖2所示。若a≥-a，即a≥0，f（x）的最小值在

x=-a處取得，f（x）min=f（-a）=-2a2；若a<-a，即a<0，f（x）的最小值在x=a處取得，f（x）min=f（a）=2a2。

這種方法是大部分學生所喜歡采用的方法，可是做到這里之后就結束了，不知道或不會綜合，難以寫出最終答案。由于f（x）分段，故需比較各段上的最小值，可以通過畫數軸的方法得出最后的結論。

當a<0時，a2<2a2，f（x）min=f（）=a2；

當a≥0時，2a2>-2a2，f（x）min=f（-a）=-2a2.

綜上，f（x）min=a2，a<0

-2a2，a≥0

法二：討論a的位置，畫出完整的對接圖形，由圖直接得出最小值。由于對稱軸是，-a，它們與a的分界點為a=0。若不能直接得到，則令=a，-a=a，找到分界點a=0。一般有兩個，此題較特殊，只有一個。

當a≥0時，

當a<0時，

由圖3可知，當a≥0時，f（x）min=f（-a）=-2a2；當a<0時，f（x）min=

f（）=a2.

（a的取值范圍與對稱軸比較大小時，可在范圍內任取一個看大小）

這兩種方法各有優缺點，各位同學可以根據自己掌握的情況選擇一種方法重點掌握。利用你所掌握的方法試著解這道題目：求g（x）=x2+x-a+1的最小值。

（作者單位 江蘇省鎮江中學）