例談函數最值法在含參數不等式恒成立問題中的應用

劉長盛

含參數不等式的恒成立問題是不等式中重要的題型，也是近幾年高考的熱點題型。這類問題既含參數又含變量，學生往往難以下手，而轉化為函數的最值問題是其中較易處理的一種情形。下面對幾種常見的問題分類研究如下：

一、形如“？坌x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式

形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”型不等式是恒成立問題中最基本的類型，它的等價轉化方法是“a≥f（x）在x∈D上恒成立，則a≥

[f（x）]max（x∈D）；a≤f（x）在x∈D上恒成立，則a≤[f（x）]max（x∈D）”.許多復雜的恒成立問題最終都可歸結到這一類型中.

例題1（2012年陜西理科高考壓軸題）

設函數fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）.

（Ⅰ）設n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區間 ，1內存在唯一的零點；

（Ⅱ）設n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]有f2（x1）-f2（x2）≤4，求b的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設xn是fn（x）在 ，1內的零點，判斷數列x2，x3…xn…的增減性。

解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略

（Ⅱ）當n=2時，f2（x）=x2+bx+c，

對任意x1，x2∈[-1，1]都有f2（x1）-f2（x2）≤4等價于f2（x1）-f2（x2）max≤4.

即f2（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4.

當- >1，即b>2時，M=f（1）-f（-1）=2b>4，與題設

矛盾.

當-1≤- ≤0，即0

當0≤- ≤1，即-2≤b≤0，M=f（-1）-f（- ）=（ -1）2≤4恒成立.

綜上所述，-2≤b≤2.

二、形如“？堝x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式

形如“？堝x∈D，a≤f（x）恒成立”問題可轉化為“a≤f（x）max”來

求解；

而形如“？堝x∈D，a≥f（x）恒成立”問題可轉化為“a≥f（x）min”來求解。

例題2（2013年重點中學第一次聯考）

設f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.

若存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M.

解：由題意可知，存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等價于：

[g（x1）-（x2）]max≥M，∵g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x- ）.

由上表可知，g（x）min=g =- ，g（x）max=g（2）=1

[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min= ，故滿足條件的最大整數M=4.

三、形如“？坌x1∈D，？坌x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式

該類問題可轉化為“f（x1）max-g（x2）min”來求解。

例題3（2013年重點中學聯考模擬試題）

設f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.

如果對任意的s，t∈[ ，2]都有f（x）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍。

解：由題意，該問題可以轉化為：在區間[ ，2]上，f（x）min≥

g（x）max，

由例題3可知，g（x）的最大值為g（2）=1，

∴f（x）min≥1，又f（1）=a，∴a≥1

下面證明當a≥1時，對任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立.

∵當a≥1時，對任意x∈[ ，2]，f（x）= +xlnx≥ +xlnx，記h（x）= +xlnx h′（x）=- +lnx+1，h′（1）=0，

可知函數h（x）在[ ，2）上遞減，在區間[1，2]上遞增，∴h（x）min=

h（1）=1，即h（x）≥1.

所以當a≥1時，對任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立，即對任意的s，t∈[ ，2]，都有f（s）≥g（t）成立.故a∈[1，+∞）所求.

四、形如“？坌x1∈D，？堝x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式

該類問題可轉化為“f（x1）max≤g（x2）min”來求解。

例題4（2013年南昌市高三文科第一次模擬題）

已知函數f（x）=ax2-blnx在點[1，f（1）]處的切線方程為y=3x-1.

（1）若f（x）在其定義域內的一個子區間（k-1，k+1）內不是單調函數，求實數k的取值范圍；

（2）若對任意x∈[0，+∞），均存在t∈[1，3]，使得 t3- t2+ct+ln2+ ≤f（x）試求實數c的取值范圍。

解：（1）略

（2）設g（t）= t3- t2+ct+ln2+ ，根據題意可知g（t）max≤

f（x）min .

由（1）知f（x）min=f（ ）= +ln2，g′（t）=t2-（c+1）t+c=（t-1）（t-c），

當c≤1時，g′（t）≥0；g（t）在t∈[1，3]上單調遞增，g（t）min=g（1）= +ln2，滿足g（t）min≤f（x）min；

當1

g（t）min=g（c）=- c3+ c2+ln2+ ，

由- c3+ c2+ln2+ ≤ +ln2得c3-3c2+2≥0，（c-1）（c2-2c-2）≥0，此時1+ ≤c<3.

當c≥3時，g′（t）≤0；g（t）在t∈[1，3]上單調遞減，g（t）min=

g（3）=- + +ln2.

g（3）=- + +ln2≤- + +ln2= +ln2.

綜上，c的取值范圍是（-∞，1]∪[1+ ，+∞）

五、反饋訓練題

1.對于任意θ∈R，sinθ-2+sinθ-3≥a+ 恒成立，則實數a的取值范圍是__________。

2.若對任意的a∈R，不等式，x+x-1≥1+a-1-a恒成立，則實數x的取值范圍是__________。

3.（2010年山東理科14題）若對任意x>0， ≤a恒成立，則a的取值范圍是__________。

4.已知函數f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），對？坌x1∈[-1，2]，？堝x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），則實數a的取值范圍是（ ）

A.（0，3] B. ，3 C.[3，+∞） D.（0， ]

參考文獻：

張文海.一類恒成立求參數范圍問題的簡解.中學數學研究，2013（1）.

（作者單位 江西省宜春市高安二中）