旋轉變換的應用

尹祥

摘 要：在關于圖形旋轉的教學中，找準對應點、對應邊及對應角，可使很多難題迎刃而解。

關鍵詞：旋轉；對應；本質

一、緊扣對應元素，確定旋轉角

圖形在旋轉過程中，對應點與旋轉中心的連線的夾角為旋轉角，并且對應線段相等。因此，在觀察旋轉變換圖形時，關鍵是要找出對應元素（對應點、對應邊及對應角），確定旋轉角，這樣，我們就掌握了圖形旋轉的本質，從而可以利用旋轉的性質求出某些線段的長度及角的度數.

例1：如圖，將正方形ABCD中的△ABP繞點B順時針旋轉與△CBP′重合.若BP=4，求PP′的長.

分析：圖中的BP與BP′是對應邊，旋轉角有

∠ABC與∠PBP′，由此可知△PBP′是等腰直角三角形，從而可根據勾股定理求出PP′的長.

解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.

∵△CBP′是由△ABP繞點B旋轉得到的，

∴PB=P′B，∠PBP′=∠ABC=90°.

∴PP′===4.

例2：如圖，點O是等邊三角形ABC內一點，

∠AOB=100°，∠BOC=140°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD，求∠AOD的度數.

分析：圖中的CO與CD是對應邊，旋轉角有∠ACB與∠OCD，由此可知△COD是等邊三角形，從而可知∠COD為60°，然后可求出∠AOD的度數.

解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°.

∵△ADC是由△BOC繞點C旋轉得到的，

∴CO=CD，∠OCD=∠ACB=60°，

∴△COD是等邊三角形，∴∠COD=60°.

∵∠AOB=100°，∠BOC=140°，

∴∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=120°，

∴∠AOD=∠AOC-∠COD=60°.

二、利用旋轉求面積

例1：如圖，圖案由三個葉片組成，繞點O旋轉120°后可以與自身重合.若每個葉片的面積為4 cm2，∠AOB=120°，求圖中陰影部分的面積.

分析：圖中兩個分散的陰影是無法直接求面積的，只需將其中一個陰影部分繞點O順時針方向旋轉120°，兩個陰影即可拼成一個完整的葉片，故其面積為4 cm2.

例2：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，將腰DC繞點D按逆時針方向旋轉90°至DM，連接AM，則△ADM的面積是（ ）

分析：如圖，過D作BC的垂線，垂足為E，延長AD至F，使DF=DE.

∵DF=DE，∠EDF=90°，DC=DM，∠CDM=90°，

∴△DFM可視為△DEC繞點D逆時針旋轉90°得到的，

∴MF=CE=BC-AD=2，∠DFM=∠DEC=90°.

∴S△ADM=AD·FM=3×2=3.

三、巧借旋轉構造三角形

例：如圖，點P為等邊三角形ABC內一點，且PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度數.

分析：PA，PB，PC不在同一個三角形內，且與∠APB無直接關系，因此，我們應設法將這三條線段置于同一個三角形內，從而找到它們與∠APB的關系.

解：如圖，將△ABP繞點B順時針旋轉60°，得△CBQ，連接PQ.

由旋轉的性質可知

PA=QC，BP=BQ，∠BQC=∠APB，∠PBQ=60°.

∴△PBQ是等邊三角形，∴PQ=PB，∠PQB=60°.

在△PQC中，PQ=4，CQ=3，PC=5，因而有

PC2=PQ2+CQ2，∴∠PQC=90°，

∴∠BQC=150°=∠APB.

（作者單位 內蒙古自治區呼和浩特市第四中學）