關于圓錐曲線中兩垂直切線交點的軌跡

李智勇，何濤瀾

摘 要：在教學圓錐曲線過程中，有一些非常有價值的結論，對處理問題有事半功倍的效果。

關鍵詞：圓錐曲線；互相垂直切線；交點；結論

筆者通過對圓錐曲線的兩條垂直切線交點軌跡問題的研究發現了下面幾個結論：

結論1：橢圓+=1兩條互相垂直切線的交點的軌跡是

x2+y2=a2+b2.

證明：設M（x0，y0）為橢圓+=1①兩條互相垂直的切線的交點，k為過M點所作這橢圓的切線的斜率，則這條切線的方程為y-y0=k（x-x0）②

由①②可得b2x2+a2[y0+k（x-x0）]2-a2b2=0，

即（b2+a2k2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0③

由題意可得：

Δ=4k2（y0-kx0）2a4-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，

化簡得（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.

當a2≠x20時，設此方程的二根為k1，k2，則k1·k2=-1，即=-1，故得x20+y20=a2+b2.

當a2=x20時，此時切線MT⊥x軸，切線MT′⊥y軸，即x0=a，y0=b故點M的軌跡方程是x2+y2=a2+b2，即點M的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓.

根據雙曲線與橢圓的相似性，可以類比得到：

結論2：雙曲線-=1兩條互相垂直切線的交點的軌跡是

x2+y2=a2-b2.

當a>b時，軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓；

當a=b時，軌跡是（0，0）；

當a

結論3：拋物線y2=2px兩條互相垂直切線的交點的軌跡是x=-.

證明：切線PA的方程為y1y=p（x+x1），切線PB的方程為y2y=p（x+x2）.

∵P（x0，y0）為這兩切線的交點，

∴y1y=p（x0+x1）①

y2y=p（x0+x1）（②

①÷②，得：=-，由此得x0===.

①-②，得：（y1-y2）y0=p（x1-x2）

y0===，又kPA·kPB=-1，即

·=-1，故y1y2=-p2，則x0=-，故拋物線的兩垂直切線的交點在準線上，故拋物線y2=2px兩條互相垂直切線的交點的軌跡是x=-.

（作者單位 湖北省紅安縣第一中學）