一種多元素多尺度形態非抽樣小波分解方法

王冰,李洪儒,許葆華

(軍械工程學院 導彈工程系，石家莊 050003)

軸承故障在電動機故障中占有很大比例。當軸承存在局部缺陷時，其振動信號中的脈沖信號含有豐富的缺陷信息，如果能夠有效地將缺陷引起的脈沖信號提取出來，便可以診斷出缺陷存在的部位[1-4]。

包絡分析與小波包分解是目前常用的滾動軸承故障特征提取方法[5-6]，但包絡分析需要預先確定帶通濾波器的中心頻率和頻帶；而小波包分解在本質上仍是一種基于頻率的線性分解，且存在各頻帶能量交疊現象。因此，對于具有非線性非平穩特征的軸承故障信號，這兩種方法很難取得理想的效果。

基于此問題，文獻[7-8]提出了形態小波(morphological wavelet，MW)的概念，成功地將大多數線性小波和非線性小波統一起來，形成了多分辨分析的統一框架。但該形態小波在信號分解時會出現逐層信息減半的情況，且在本質上是Haar小波，因此重構信號不夠平滑。文獻[9]提出一種形態非抽樣小波(morphological un-decimated wavelet，MUDW)分解方法。文獻[10]利用數學形態學算子構造了MUDW的一般框架。文獻[11]則基于該框架提出形態開運算、閉運算級聯的組合濾波器方法，并將該方法應用到復雜錐筒振動信號特征提取中，取得了很好的效果。文獻[12]利用多尺度形態開閉濾波代替文獻[11]中的單尺度組合濾波，并依次提取了主減速器振動特征。文獻[13]構造了一種基于多尺度差值形態濾波的形態非抽樣小波分解方法，并將其應用到滾動軸承故障特征提取中，取得了比傳統小波包分解更好的效果。文獻[14]構造了一種具有2部分的形態非抽樣小波分解算子，前一部分用形態開閉和閉開的混合濾波器平滑噪聲，后一部分用形態差值算子提取沖擊特征，取得了較好的效果。

在此，根據滾動軸承故障信號的特點，在MUDW的一般框架內，提出了一種多元素多尺度形態非抽樣小波分解算法，并應用該方法對電動機軸承典型故障信號進行分析。

1 形態非抽樣小波理論

1.1 數學形態基本變換

基本數學運算包括腐蝕、膨脹、形態開和閉運算[15]。設f(n)和g(n)分別為定義在集合F={0,1,…，N-1}和集合G={0,1,…,M-1}上的離散函數，且N≥M。其中，f(n)為原始信號，g(n)為結構元素，則f(n)關于g(n)的形態腐蝕和形態膨脹算子分別定義為

(fΘg)(n)=min{f(n+m)-g(m)}，m=0,1,…,M-1；

(1)

(f⊕g)(n)=max{f(n-m)+g(m)}，m=0,1,…,M-1；

(2)

f(n)關于結構元素g(n)的形態開和閉運算分別定義為

(f°g)(n)=(fΘg⊕g)(n)，

(3)

(f·g)(n)=(f⊕gΘg)(n)，

(4)

式中：Θ和⊕分別表示腐蝕和膨脹運算;°和·分別代表f(n)關于結構元素g(n)的形態開和閉運算。

1.2 形態非抽樣小波變換

形態非抽樣小波克服了傳統形態小波因抽樣引起的不足，是一種基于數學形態學的信號多分辨率分解理論。

1.2.1 金字塔條件和對偶小波分解

形態非抽樣小波分解中具有分析算子和合成算子，且必須滿足金字塔條件[7-8]

(5)

(6)

金字塔條件保證在分析和合成這兩個連續的步驟中，沒有信息的損失。基于金字塔條件，可以構造對偶小波分解。單層對偶小波分解框架如圖1所示，多層對偶小波的分解方法與其類似。

圖1 單層對偶小波分解框架示意圖

1.2.2 形態非抽樣小波一般框架及算法

形態非抽樣小波構造方法的一般框架可描述為

(7)

(8)

T(xj)+(id-T)(xj)=id(xj)，

(9)

式中：T()為數學形態算子。可以根據信號處理的不同需求選擇基本形態算子或某種組合形式。

現有文獻中的形態非抽樣小波算法均基于形態非抽樣分解框架建立，設形態學膨脹算子為δ，腐蝕算子為ε，閉算子為φ，開算子為γ，現有文獻中闡述的算法的信號分析算子見表1。

表1 現有文獻中形態非抽樣小波算法

其中，文獻[12]和[13]中的信號分析算子為多尺度形態學變換，算法中每層小波分解對應某一尺度的結構元素(j+1)g0，其優點在于逐層分解后得到的近似信號和細節信號的物理意義更明顯，即對應于利用相應尺度的結構元素進行形態運算得到的結果。

文獻[9]和[14]的信號分析算子均由兩部分組成，以文獻[14]為例，算子中的前一部分0.5(γφ+φγ)為典型的形態學組合濾波器，可同時去除信號中的正負噪聲[16]。后一部分(φ-γ)為形態差值濾波器，可同時提取信號中的正負沖擊。該算法的優點在于其每一層小波分解既能夠平滑噪聲，又能夠有效地提取沖擊特征。

在基于數學形態學的處理方法中，結構元素的形狀和大小是影響性能的關鍵。對于白噪聲，半圓形結構元素可以取得較好的濾波效果；對于脈沖噪聲，一般采用三角形結構元素進行濾波[17]。在基于形態學的周期性脈沖提取時，扁平直線形結構元素效果最好，一般選取直線形結構元素的長度為0.6T(T為故障周期)[18]。

因此，在構造形態非抽樣小波分解的信號分析算子時，需根據實際情況確定結構元素的類型和大小，文獻[14]在不同分解層次使用不同長度的結構元素，但在分析算子的前后兩部分使用同一種結構元素，靈活性和針對性略顯不夠。

1.2.3 多元素多尺度形態非抽樣小波

著眼于提高分析算子的有效性和靈活性，提出一種多元素多尺度形態非抽樣小波分解方法，其分解算子為

1)g0)(δ-ε)(xj,(j+1)g1)，

(10)

(j+1)g0)(δ-ε)(xj,(j+1)g1),

(11)

(12)

該分解算子包括0.5(γφ+φγ)(xj,(j+1)g0)和(δ-ε)(xj,(j+1)g1)兩部分。第1部分為使用三角形結構元素的多尺度形態開閉和閉開交替混合算子，可以平滑信號且抑制噪聲。第2部分為使用扁平形結構元素的多尺度形態梯度算子，可以有效地提取信號的沖擊特征。其中，每個尺度λ對應的形態學變換采用的結構元素分別為

λg0=g0⊕g0⊕…⊕g0，

(13)

λg1=g1⊕g1⊕…⊕g1，

(14)

式中：λ為不同尺度的大小；g0和g1分別為λ=1時的三角形和扁平形結構元素。

2 仿真分析

為驗證多元素多尺度形態非抽樣小波提取信號沖擊特征的有效性，進行了仿真分析，設仿真信號為

x(t)=3x1(t)+0.3x2(t)+i(t)，

(15)

式中：x1(t)為周期性的指數衰減沖擊信號，沖擊頻率為16 Hz，每周期內沖擊函數為e-200t·sin(288πt)；x2(t)為諧波信號，x2(t)=cos(2π×25t)+cos(2π×50t)；i(t)為標準差為1的高斯白噪聲。信號采樣頻率為1 024 Hz，采樣時間為1 s，仿真信號的時域波形和頻譜如圖2所示。

圖2 仿真信號時域波形及其頻譜

從頻譜圖可以看出， 25和50 Hz的諧波干擾成分比較明顯，且以144 Hz為中心出現一組頻寬約為16 Hz的邊頻序列。而16 Hz及其倍頻的沖擊成分由于諧波成分的抑制以及噪聲的干擾，很難在頻譜中反映出來。為了提取信號的沖擊成分特征，必須選取合適的方法抑制諧波及噪聲。

為分析文中方法的正確性和有效性，將其與典型的多尺度形態差值非抽樣小波分解方法[13]和固定結構非抽樣小波分解方法[14]進行分析對比。為定量分析各形態非抽樣小波分解方法抑制諧波噪聲干擾以及提取周期性脈沖信號的能力，采用了低頻能量比Q和特征能量比R的概念[19]。低頻能量比Q用以描述非抽樣小波分解方法抑制諧波干擾的能力，Q=C/E，其中C為諧波頻率能量值，E為特征頻率能量值。低頻能量比Q越低，抑制諧波干擾的能力越強。特征能量比R可以描述非抽樣小波提取沖擊頻率的性能，R=(E1+E2+…+En)/E，En為解調后的信號頻譜在n倍頻處的能量值，文中n=5。特征能量比R越大，提取沖擊頻率的能力越強，效果越好。

2.1 多元素多尺度形態非抽樣小波分解方法

選擇三角形結構元素g0={0 1 2 4 2 1 0}，扁平形結構元素g1={0 0 0 0 0}，對仿真信號進行2層分解，并對第2層近似信號進行頻譜分析，結果如圖3所示，可以看出，沖擊頻率及其倍頻被清晰地解調出來。經計算，該分解方法的特征能量比R=0.413 7，低頻能量比Q=0.210 5。

圖3 多元素多尺度形態非抽樣小波分解結果

2.2 多尺度形態差值非抽樣小波分解方法

選用扁平形結構元素g={0 0 0 0 0}對仿真信號進行2層分解，其中第2層近似信號的頻譜如圖4所示。從圖中可以看出，沖擊頻率16 Hz及其倍頻被解調出來，與圖3相比，其噪聲干擾要更加明顯。經計算，該分解方法的特征能量比R=0.253 0，低頻能量比Q=0.200 6。

圖4 多尺度形態差值非抽樣小波分解結果

2.3 固定結構非抽樣小波分解方法

分別采用三角形結構元素g={0 1 2 4 2 1 0}和扁平形結構元素g={0 0 0 0 0}對仿真信號進行2層分解，并在此基礎上獲取第2層近似信號的頻譜圖，結果如圖5所示。

圖5 固定結構非抽樣小波分解結果

由圖5a可以看出，沖擊頻率16 Hz及其倍頻沒有被提取出，而諧波頻率25 Hz和50 Hz的譜線異常明顯。此時特征能量比R=0.175 3，低頻能量比Q=0.647 7。由此可知，選用三角形結構元素進行分解時，該方法對于沖擊頻率的特征提取能力較差，抗諧波干擾能力也不強。從圖5b中幾乎看不出沖擊頻率，而諧波頻率25 Hz和50 Hz的譜線更加明顯。此時特征能量比R=0.404 2，低頻能量比Q=0.831 5，由此可知，選用扁平形結構元素時，該方法的效果依舊不理想。

2.4 結果分析

縱向分析上述仿真試驗中的R和Q值，結果見表2。由于對分解算子的不同部分使用不同類型的結構元素，多元素多尺度形態非抽樣小波分解方案具有最高的特征能量比和較低的低頻能量比，體現了優良的抑制諧波噪聲和沖擊頻率提取效能；多尺度形態差值非抽樣小波方案在每一層分解時由于沒有進行濾波，導致對噪聲的抑制能力較弱，因此特征能量比R相對較低；固定結構非抽樣小波分解中，由于僅僅采用一種結構元素進行運算，使得濾波和特征頻率向量的提取能力均未達到最優。

表2 模擬試驗效果對比

3 試驗驗證

為驗證多元素多尺度非抽樣小波變換方法的有效性，選用軸承內圈、外圈2種故障狀態進行分析。實測軸承振動加速度數據來自Case Western Reserve University(CWRU)軸承數據中心網站。軸承局部損傷由電火花機加工，直徑為0.177 8 mm，轉速為1 797 r/min，轉頻為29.95 Hz，軸承外圈和內圈故障的特征頻率分別為107.8 Hz和159.6 Hz。試驗信號采樣頻率為12 kHz，采樣點數為6 000。軸承外圈和內圈故障信號時域波形如圖6所示。

圖6 滾動軸承故障信號時域波形

基于多元素多尺度形態非抽樣小波分別對2種故障狀態下的軸承振動加速度信號進行分解，并求取第2層近似信號的頻譜。分解過程中，三角形結構元素g0={0 2 4 2 0}；扁平形結構元素g1={0 0 0 0 0}。

軸承外圈故障信號的分解時域圖和第2層近似信號頻譜圖分別如圖7和圖8所示，可以看出，經由多元素多尺度形態非抽樣小波分解，外圈故障特征頻率及其倍頻可以清晰地得到，且特征能量比R達到0.633 5。

選用同樣結構元素對軸承內圈故障信號進行分析處理，結果如圖9和圖10所示。可以看出，軸承內圈故障特征頻率及其1，2倍頻被清晰地提取，且其特征能量比R=0.476 8。由此可見，多元素多尺度非抽樣小波變換可以清晰地提取出軸承的內、外圈故障，且信噪比較高，效果較好。

圖7 外圈故障信號分解時域圖

圖8 外圈第2層近似信號頻譜圖

圖9 內圈故障信號分解時域圖

圖10 內圈第2層近似信號頻譜圖

4 結束語

多元素多尺度形態非抽樣小波分解方法考慮了不同的形態學結構元素對于濾波和沖擊頻率提取的影響，在形態學小波分解過程中采用不同的結構元素，與現有的形態非抽樣小波分解方法相比，該方法既能夠有效地提取故障特征頻率信息，又有很好的濾波效果。