球籠式等速萬向節接觸應力分析及鋼球數的優化

石寶樞，姜大杰

(浙江眾達傳動股份有限公司，浙江 金華 321025)

等速萬向節傳動軸總成的應力分析、載荷計算和結構設計是一項較復雜的系統工程。設計者總希望作出最優的設計方案，使所設計的傳動軸總成具有最好的使用性能和最低的制造成本，以獲得綜合的、最佳的技術經濟效益。而等速萬向節傳動軸總成的核心部分——球籠式等速萬向節，要求在滿足各種使用性能和可靠性的前提下，有最小的幾何尺寸、空間體積、質量和最低的材料消耗，以利于主機的總體布置，使承載扭矩、壽命、可靠性、結構主參數等實現科學、合理的匹配。

現在廣泛應用的傳統六溝道球籠式等速萬向節的設計仍然停留在測繪國外樣品的逆向設計階段。經系統、深入的機理分析，并由試驗和長期的使用結果證明，由此設計的等速萬向節至少存在如下不足：(1)由于沒有經過優化設計，主要零件間接觸應力和壽命相差懸殊，可靠性較低；(2)幾何尺寸過于龐大，若用于汽車等速萬向節傳動軸總成，會使整車的前橋布置出現困難；(3)質量較大，材料消耗較多，經濟性差；(4)為使應力平衡，只能盲目地增加某個零件的幾何尺寸，出現總體外形尺寸再次加大的不合理現象。

下文通過對球籠式等速萬向節接觸應力的分析與計算，進而對其結構進行創新設計，在保證滿足工作要求的前提下，有效減輕了萬向節的質量。

1 兩回轉體間的接觸應力分析與計算

兩回轉體在未受載荷時呈點接觸狀態，當其受法向載荷P的作用后，接觸點處由于局部變形而呈橢圓面的接觸。由微分幾何知，曲面上某點沿不同方向的曲率是不同的，其最大值和最小值稱為主曲率，所在的平面為主平面。

兩回轉體接觸時的主平面與曲率半徑如圖1所示。設κ11，κ21分別為回轉體1，2通過接觸點處的最大曲率；κ12，κ22分別為回轉體1，2通過接觸點處的最小曲率；φ為κ11和κ21所在的主平面之間的夾角，其值與回轉體的相對位置有關；A，B，C為與兩回轉體主曲率和變形性質有關的常數。則接觸橢圓的方程為[1]

Ax2+By2=C，

(1)

(2)

(3)

κd=κ11+κ12+κ21+κ22，

(4)

κΔ1=κ11-κ12，

(5)

κΔ2=κ21-κ22，

(6)

式中：κd為曲率和。

圖1 兩滾動體接觸時的主平面與曲率半徑

當曲率中心在回轉體內部(凸曲面)時，對應的曲率為正；反之，當曲率中心在回轉體外部(凹曲面)時，對應的曲率為負。球籠式等速萬向節中涉及的回轉體的2個主平面是正交的，且相接觸的兩回轉體的對應主平面的夾角φ=90°。

兩回轉體接觸時的應力分布如圖2所示。由彈性力學知，點接觸回轉體的法向接觸應力在接觸橢圓上按半橢球分布，橢圓中心(初始接觸點)處的接觸應力最大，最大接觸應力σH及接觸區內的任意點(x，y)處的接觸應力σH(x，y)分別為

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：ν1,ν2分別為回轉體1，2材料的泊松比；E1，E2分別為回轉體1，2材料的彈性模量，MPa；n1，n2為與接觸點各曲率有關的系數；a，b為接觸橢圓的長、短半軸，mm。

圖2 兩回轉體接觸時的應力分布

2 球籠式等速萬向節的接觸應力分析

由于球籠式等速萬向節鐘形殼、星形套、鋼球等主要零件均由鋼質材料制成，一般ν1=ν2=0.3，E1=E2=208 GPa，因此，球籠式等速萬向節中兩接觸回轉體的最大接觸應力為

(11)

(12)

(13)

式中：Dw為鋼球直徑。

兩回轉體的總變形量

(14)

式中：n1，n2，KP由曲率系數cosτ查文獻[1]表3-19得到。

(15)

當φ=90°時，則有

(16)

球籠式等速萬向節的工況是鐘形殼和星形套溝道均同時與鋼球共軛接觸，星形套承受的應力最大[2]，是薄弱環節；因此，只需計算星形套的接觸應力并對其進行強度校核即可。

鋼球與星形套和鐘形殼的接觸原理如圖3所示。單個鋼球承受的法向載荷P與轉矩T的關系為

(17)

式中：Z為鋼球數；α為鋼球與溝道的接觸角，(°)；R為球組節圓半徑，mm。

圖3 鋼球與星形套和鐘形殼的接觸

鋼球與星形套的曲率和κd為

(18)

(19)

(20)

式中：XL,XP分別為溝道縱(沿軸線)、橫(垂直于軸線)截面的相似度；ε為偏心角，一般ε=8°～9°，常取ε=8.5°；f為鋼球與星形套溝道的貼合系數，一般f=1.03～1.05；rij為第i(i=1,2)個回轉體在第j(j=1,2)個主平面內的曲率半徑。

則星形套的最大接觸應力為

(21)

(22)

(23)

鋼球與星形套間的總變形量δ0為

(24)

由于球籠式等速萬向節的鋼球與星形套和鐘形殼均為點接觸，基本是靜態運轉工況，其許用接觸應力[σH]和永久變形量δ1間的經驗關系式為

(25)

在最大接觸應力處應滿足

(26)

[σH]的計算值與文獻[1]表3-20的值有誤差時，取較大值。

因此，靜態許用轉矩[T]可由下式得到

(27)

3 實例計算

某球籠式等速萬向節，已知Dw=18.256 mm，Z=6，R=32.25 mm，α=45°，ε=8.5°，f=1.04。試求其靜態許用轉矩[T]及其在T=1 200 N·m時的最大接觸應力及對應鋼球直徑的約束條件。

(1)靜態許用轉矩的計算。將上述參數分別代入(19)式和(20)式，得

XL=0.246 8，XP=-0.961 5。

由(23)式得曲率系數為

cosτ=0.940 09，

由文獻[1]表3-19查得n1n2=1.58。

由(22)，(25)～(26)式(δ1/Dw=1×10-4)得靜態許用接觸應力為

[σH]=4 178 MPa。

由(27)式得靜態許用轉矩為

[T]=3 142 845(N·mm)≈3 143 N·m。

(2)T=1 200 N·m時的最大接觸應力及對應鋼球直徑約束條件的求解。由(21)式得最大接觸應力為

σH=3 031(MPa)<[σH]。

由(21)式得鋼球直徑的約束方程為

(28)

式中：Tc為計算轉矩，一般Tc=1.67T。因此， 這里Tc=2.004×106N·mm。

若鋼球數Z=6，由(28)式得鋼球直徑的約束條件為

若鋼球數Z=7，由(28)式得鋼球直徑的約束條件為

13.496(mm)。

4 鋼球數(溝道數)的優化

4.1 鋼球數對載荷的影響

基于上述實例，如果鋼球直徑不變，僅改變鋼球數量(鋼球數由6粒改為7粒)，可使靜態許用轉矩提高16.67%。

若額定轉矩不變，鋼球數由6改為7，顯然鋼球直徑減小7.4%，殼體外徑減小7.4%，可使球籠式等速萬向節總質量減小20%。

4.2 鋼球數對幾何結構設計的影響

若僅考慮鋼球一個因素，鋼球直徑越大，數量越多，球籠式等速萬向節承載能力越大。但由于受到空間和尺寸的限制，鐘形殼、星形套及保持架相互制約和影響；因此必須使鋼球直徑和數量實現科學、合理、最佳的匹配，從而使整個球籠式等速萬向節的綜合性能達到最優。

星形套溝道的截面如圖4所示。由于鋼球的主要功能是傳遞扭矩，顯然，當星形套溝道的凹面面積Si與對應的凸面面積Se相等或接近時，才是最優化的幾何設計效果。

圖4 星形套溝道截面

現以上面計算實例中的球籠式等速萬向節星形套為例，對Si和Se分別進行求解(圖5)。

圖5 星形套某溝道截面面積的求解原理圖

已知鋼球直徑Dw=18.256 mm，溝道截面為圓弧形，其半徑R1=9.22 mm,球組節圓直徑為64.5 mm，顯然溝道中心半徑為

Ri=64.5×0.5+9.22-18.256×0.5=

32.342(mm)。

星形套外球面直徑為59 mm，溝道與外球面偏心距為4.8 mm，則通過溝道中心的截面為橢圓，由于偏心距與外球面直徑相差較大，可視通過溝道中心的截面為圓，其半徑約為

溝道截面圓弧R1=9.22 mm與R2=29.9 mm圓弧的交點A，B可由如下方程組求得

解之得A，B的坐標分別為(-8.461，28.678)，(8.461，28.678)，單位為mm。

則θ=2arctan(8.461/28.678)=32.876°，θ1=2arctan[8.461/(32.342-28.678)]=133.170°。

則弓形ACB，AEB的面積S1和S2分別為

28.678)=67.789(mm2)。

所以，Si=S1+S2=13.844+67.789=81.633(mm2)。

如圖4所示，通過星形套溝道中心的外球面截面可近似為圓，若干溝道底部最低點組成另一個圓，這2個同心圓組成的圓環面積為

S=π[29.92-(32.342-9.22)2]=

1 129.035(mm2)。

(31)

若Z=6，則Se=106.540(mm2)；

若Z=7，則Se=79.658(mm2)；

若Z=8，則Se=59.496(mm2)。

由此計算分析可知，只有當Z=7時，Se與Si最接近，即只有鋼球數(溝道數)Z=7時，球籠式等速萬向節的設計結果最優。

注意到，目前出現了八溝道球籠式等速萬向節的少量產品。經系統、準確的分析和驗證，有如下主要缺陷：(1)若鋼球直徑不變，Se與Si相差懸殊，顯然，星形套和鋼球接觸應力和壽命嚴重不平衡；(2)保持架的外形尺寸一定，由于幾何布置的原因，必然導致8個均布的窗孔長度過小，影響鋼球的工作行程，使球籠式等速萬向節的極限轉角較小；(3)若要改變這種狀況，只有將鋼球直徑大幅度減小，但相應的保持架壁厚過小，沖擊時易碎；(4)額定載荷過小，滿足不了球籠式等速萬向節的壽命和可靠性等要求。所以，8個鋼球不是最優化的設計結果，八溝道球籠式等速萬向節不是最佳的選擇。

5 結束語

經過上述的分析、計算和優化設計，創新設計出了一種全新的七溝道球籠式等速萬向節，是等速萬向節傳動軸產品和技術的重大突破。經各種性能試驗表明，性能、壽命、可靠性等主要技術和質量指標較六溝道球籠式等速萬向節顯著提高，與上述分析、計算的結果非常吻合。與此同時，實現了產品的輕量化設計，獲得了理想的、綜合的技術經濟效果。