數(shù)學(xué)問題表征與數(shù)學(xué)問題圖式

羅 奇，唐劍嵐

（1．桂林師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系，廣西 桂林 541002；2．廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

有關(guān)數(shù)學(xué)問題解決國內(nèi)外已有了大量的研究[1～4]．最初對數(shù)學(xué)問題解決的研究主要集中在數(shù)學(xué)問題解決過程及模式的建構(gòu)和應(yīng)用中，近年來越來越多的學(xué)者關(guān)注于數(shù)學(xué)問題解決內(nèi)在機制的研究，尤其側(cè)重于問題理解階段的表征、圖式理論在解題中的應(yīng)用、問題解決各階段的策略以及解題過程的元認知分析等．實踐領(lǐng)域中也出現(xiàn)了應(yīng)用性研究，如解題策略的訓(xùn)練，元認知能力的培養(yǎng)等．可見，對數(shù)學(xué)問題解決的心理學(xué)研究已比較全面和豐富，很多理論得以繼承和發(fā)展．

但如何將問題表征、圖式構(gòu)建與個體思維形成的主要途徑——數(shù)學(xué)解題聯(lián)系起來，在數(shù)學(xué)解題教與學(xué)中提高解題能力的研究還需進一步驗證和探討．因為，一方面表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，要想使問題得以解決，主體必須合理地表征問題，其對問題的表征如何，極大地影響著問題解決的難易程度[5]．另一方面數(shù)學(xué)問題求解又具有內(nèi)容的抽象性、結(jié)構(gòu)的嚴謹性、推理的邏輯性等特點，這與圖式理論表現(xiàn)出極大的相容性．有鑒于此，這里對數(shù)學(xué)問題表征和數(shù)學(xué)問題圖式及其關(guān)系進行了探討．不斷試誤，主體會不斷修正自己對問題的表征，使之更為準確適宜，而問題解決過程中頓悟現(xiàn)象的出現(xiàn)是由于主體找到了適宜的問題表征[10]．

下面通過對師范數(shù)學(xué)專業(yè)二年級學(xué)生解題過程與解題時教師詢問窺視表征對學(xué)生數(shù)學(xué)解題作用進行個案分析．（以下學(xué)生成績以高考數(shù)學(xué)成績?yōu)樵u定標準）

例1t為何值時，不等式恰好有一個解．

被試 A（成績差）：我將不等式變形為x2+9≥tx≥x2+1后就不知道怎樣入手求解了．

1 數(shù)學(xué)問題表征

的圖像，注意到問題可以看成：t取何值時，函數(shù)只有一個值落在[-3, 5]區(qū)間內(nèi)．因為該函數(shù)圖像是開口向下的拋物線，如果此拋物線的頂點在直線y=-3上方，則函數(shù)取值有無窮多個落在區(qū)間[-3, 5]中；如果此拋物線頂點在直線y=-3下方，則函數(shù)值都小于-3，函數(shù)值全部不落在區(qū)間[-3, 5]中；當且僅當此拋物線的頂點落在直線y=-3上時，函數(shù)取值只有一個落在[-3, 5]．即有一個函數(shù)值等于-3，其余的函數(shù)值均小于-3．從而得出

1.1 數(shù)學(xué)問題表征及對問題解決的作用

問題表征指形成問題空間，包括明確問題的初始狀態(tài)、目標狀態(tài)及允許的操作[6]．問題表征形式上可以分成兩種[7]：一種是外在表征，即將問題以文字、數(shù)式、圖表、模型和實驗等具體的東西表示出來；另一種是內(nèi)在表征，即問題在人腦中的思考．兩者相互關(guān)聯(lián)，內(nèi)在表征是外在表征的基礎(chǔ)，外在表征是內(nèi)在表征的具體化和外顯化．

在數(shù)學(xué)問題解決中，表征問題是解決問題的前提條件，主體若要理解某個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就必須在這個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與一個更易理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間建立一個映射，而表征就是這個映射過程[8]．如何對問題情境進行準確、有效地表征往往是順利解決問題的關(guān)鍵，因為問題難度上的差異一方面源于問題自身結(jié)構(gòu)，另一方面源于主體在表征問題方式上的不同．有研究表明問題的適當表征與問題的成功解決之間存在正相關(guān)[9]，不當表征與解題成績呈負相關(guān)[4]．同時在解題過程中，主體對問題的表征不是靜止不變的，隨著對問題情境理解的

可見，被試 A無法表征問題，問題也就無法求解；被試 B采用代數(shù)方式來表征問題，導(dǎo)致解決問題過程非常復(fù)雜，難以進行；被試C首先是采用與被試B類似方法表征問題，發(fā)現(xiàn)難于求解，修正表征，采用幾何方式表征問題和求解，過程既直觀又簡捷．

另外，問題表征方式具有多樣性．Markman與Dietrich[11]認為，不同類型的問題表征方式適合于不同心理加工過程．適當?shù)谋碚靼褜栴}解決最有價值的重要成分和結(jié)構(gòu)關(guān)系放到一個突出的位置上．Simon[12]也指出，有時按照常規(guī)方式表征的問題難以求解，但若換了一個角度來表征同一個問題，問題就迎刃而解了．

如果用三角化簡的方法嘗試證明結(jié)論，則比較困難、繁雜．注意到0≤sinα, sinβ, sinγ≤1和結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式，聯(lián)想到相互獨立事件的概率公式，則問題易解．

1.2 數(shù)學(xué)問題表征的依據(jù)和形式

數(shù)學(xué)問題表征的依據(jù)一是問題的客觀方面，即要求在對問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時要切實依據(jù)問題的文字、圖表，以及它們之間的關(guān)系；二是主體的認知結(jié)構(gòu)，即主體已有的數(shù)學(xué)知識、解題經(jīng)驗、思想方法、策略等．

數(shù)學(xué)問題表征按表征的深入層次可分為：字面表征，真實情景表征，數(shù)學(xué)表征．按照表征的方式，則可分為：言語表征、圖像表征、方法表征和原理表征．方法表征是用程序性的知識來表達對問題的求解，數(shù)學(xué)表征和原理表征類似，都是用與問題情景緊密相聯(lián)的數(shù)學(xué)規(guī)律來表征問題．

當然對問題的表征有時是不同的表征方式的同時運用．可以注意到優(yōu)生在建立字面表征的同時便明顯地開始建立真實情景表征，以至讀完題就能利用數(shù)學(xué)規(guī)律得到數(shù)學(xué)表征，進而求得問題結(jié)果．另外，優(yōu)生的知識具有簡約性、結(jié)構(gòu)性，他們往往以知識組塊的形式提取知識，同時其知識結(jié)構(gòu)中還包含了應(yīng)用知識的程序性知識和策略性知識[13]，這些都影響著對問題的表征．

至于對復(fù)雜問題的表征，往往需要多元表征的參與．大量研究表明，多元表征對數(shù)學(xué)問題解決過程與結(jié)果有直接或間接的影響．而多元表征的每種表征都有自己的優(yōu)勢和不足，不同偏好的主體在問題解決時，運用不同的表征．多元表征的恰當運用在一定程度上降低數(shù)學(xué)理解的難度，而且使得數(shù)學(xué)更具吸引力和趣味，同時各種表征間的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯是解決問題的關(guān)鍵[8]．

2 數(shù)學(xué)問題圖式

2.1 數(shù)學(xué)問題圖式的內(nèi)容及分類

圖式理論是一種關(guān)于人的知識是怎樣表征出來，以及關(guān)于知識的表征如何以特有的方式有利于知識的應(yīng)用的理論．按照該理論，人腦中保存的一切知識都能分成單元、構(gòu)成組塊和組成系統(tǒng)，這些單元、組塊和系統(tǒng)就是圖式[14]．

數(shù)學(xué)問題圖式可以看成數(shù)學(xué)問題解決過程的圖式，它包含兩部分信息：其一是關(guān)于它所對應(yīng)的某類問題的特征描述，其二是這類問題的解決的知識、方法和程序．數(shù)學(xué)問題圖式具有靈活性、適應(yīng)性、強遷移性和概括性．因而一旦激活一個問題圖式即可自動通達并執(zhí)行相應(yīng)的解題程序．所以問題圖式的形成以及數(shù)量和質(zhì)量是解題能力的標志．數(shù)學(xué)問題圖式圍繞數(shù)學(xué)概念和規(guī)律組織，包含陳述性知識、程序性知識、策略性知識及典型的問題情景特征等．主體在數(shù)學(xué)問題求解時明確問題、構(gòu)建和選用方法等都要應(yīng)用圖式．

根據(jù)數(shù)學(xué)問題求解過程，將數(shù)學(xué)問題圖式分為問題情境圖式、問題解答圖式和問題反思圖式．問題情境圖式是對數(shù)學(xué)問題的情境環(huán)境的認知．已有的情境圖式幫助主體識別數(shù)學(xué)問題環(huán)境，并指導(dǎo)主體采取相應(yīng)的行動來實現(xiàn)目標．不同的問題帶給主體不同的情境圖式，同一主體對同一個問題也會產(chǎn)生不同的情境圖式，所建構(gòu)的情境圖式的優(yōu)劣對解決問題具有重要意義．問題解答圖式是指解題時采取的策略、方法等，比如分析問題策略、推理判斷策略，以及解題的具體方法．如數(shù)學(xué)歸納法、關(guān)系映射反演法、構(gòu)造方法、類比方法、分類討論方法等．反思圖式是對數(shù)學(xué)問題認識及解決過程中或解決過程后的相關(guān)問題的認知，如對策略、程序等認知過程的反思．反思是數(shù)學(xué)解題中的重要一環(huán)，提高數(shù)學(xué)問題求解能力離不開反思圖式．

2.2 數(shù)學(xué)問題圖式形成及對問題解決的作用

學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中常出現(xiàn)“聽得懂，看得會，做不對”，這說明從知識到能力，解題原理到問題解決，還有一個不可或缺的心理歷程，那就是形成合理的知識組塊、形成問題解決的圖式．圖式是建立在每一個具體問題解決后在頭腦形成的“模板”基礎(chǔ)上，由于同類問題有不同的變式，因此當人們大量地遇到不同變式的同類問題時，每解決一次，頭腦中的“模板”也隨之得到相應(yīng)加強或改變．隨著解決問題的增多，“模板”逐漸演化成代表一類問題的概括性內(nèi)部表征即圖式．

數(shù)學(xué)問題圖式對于數(shù)學(xué)問題解決具有重要作用[15]，一方面，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，數(shù)學(xué)問題圖式不僅影響著主體對問題的感知和理解，還影響著問題解決策略、方法的獲得與使用．首先，當處于問題情境中，主體對外界信息的選擇與加工需要過去知識經(jīng)驗的參與；其次，當面對新的刺激信息，要賦予新信息一定的意義時，主體必須把其納入已有的數(shù)學(xué)問題圖式中，相關(guān)圖式的激活能幫助主體迅速理解問題的本質(zhì)，而數(shù)學(xué)問題圖式所提供的相關(guān)知識經(jīng)驗也可彌補問題情境中所缺失或隱藏的信息，使得主體對新信息的組織和理解更為合理有效，從而提高問題解決的效率；再次，當主體確定了問題的性質(zhì)，對問題有了正確的理解，這時仍需要啟動正確的數(shù)學(xué)問題圖式才能獲取解決問題的有效方法．另一方面，數(shù)學(xué)問題圖式有時候也會阻礙問題的順利解決，一般來說，它在3個方面干擾問題的解決：第一，可能造成大量信息的喪失，由于圖式對信息有過濾和篩選的作用，這樣許多信息就有可能被過濾掉，從而影響了對信息的全面獲取；第二，圖式常難以去除，圖式本身可以構(gòu)成定勢，當主體形成某種數(shù)學(xué)問題圖式后，往往傾向于用這種固有圖式去組織和同化信息，這會阻礙新的更為合適的圖式的形成；第三，可能使用錯誤的圖式，誤導(dǎo)問題解決，一旦激活了錯誤的數(shù)學(xué)問題圖式，主體對問題的理解和加工均在一個錯誤的框架里進行，必然導(dǎo)致問題解決的失敗．

下面再次對師范數(shù)學(xué)專業(yè)二年級學(xué)生解題過程進行個案分析．

例3 已知z∈C，且滿足，，求復(fù)數(shù)z．

被試D（成績差）：看到有輻角的題，我感覺求解困難．轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式；令代入已知得：

被試 E（成績中）：已知輻角主值，立刻想到復(fù)數(shù)的三

被試G（成績好）：一看到題中的輻角主值，立刻想到復(fù)數(shù)的三角式，又聯(lián)想到了復(fù)數(shù)zn+3，zn-3的幾何意義．要想將這兩部分結(jié)合起來，需建立直角坐標系．將zn+3，zn-3在坐標系中表示出來，這樣就得到zn所對應(yīng)的M點，這時問題變得明朗了，即利用已知條件畫出圖形求出zn，進而求出

可見，被試 D在解題過程中，沒有構(gòu)成相關(guān)的圖式，難以求解；被試 E在解題過程中，能夠構(gòu)建復(fù)數(shù)的三角形式圖式，但zn+3，zn-3沒有激活相關(guān)圖式，這是造成思路受阻的主要原因；被試F在解題過程中，zn+3，zn-3沒能激活復(fù)數(shù)幾何意義圖式，在經(jīng)過代換后，才激活此圖式，說明其復(fù)數(shù)幾何形式圖式不完整．后面受向量模的性質(zhì)影響，出現(xiàn)錯誤復(fù)數(shù)性質(zhì)圖式，從而誤導(dǎo)結(jié)論；被試 G在解題過程中，輻角主值激活復(fù)數(shù)三角形式圖式，由zn+3，zn-3激活復(fù)數(shù)幾何意義圖式，然后對激活的兩個圖式進行分析，構(gòu)造最佳擬合狀態(tài)——建立直角坐標系，致使問題得以解決．

3 數(shù)學(xué)問題表征和數(shù)學(xué)問題圖式的關(guān)系[16～18]

數(shù)學(xué)問題表征和數(shù)學(xué)問題圖式是兩個既有區(qū)別又有聯(lián)系的概念，一方面，數(shù)學(xué)問題表征是數(shù)學(xué)問題圖式形成的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)問題圖式應(yīng)用的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)問題圖式的形成首先需要對問題進行正確的表征，沒有對問題的正確表征就不可能有完善的問題圖式，數(shù)學(xué)問題圖式的激活也需要以數(shù)學(xué)問題表征為前提．另一方面，數(shù)學(xué)問題圖式對于數(shù)學(xué)問題表征也具有重要意義，對一個問題進行正確的表征首先需要從長時記憶中激活相關(guān)的問題圖式，并在圖式的框架中對問題信息進行篩選和組織加工．沒有圖式的參與，問題中呈現(xiàn)的信息是零亂和缺乏意義的．數(shù)學(xué)問題表征時需要深化整合、靈活遷移已有的數(shù)學(xué)問題圖式，對于一些陌生問題，沒有直接同化當前情境的圖式，數(shù)學(xué)問題表征的過程也就是嘗試建立這類問題新圖式的過程，如上面被試C求解例1的幾何表征問題過程其實也是用函數(shù)圖像求解不等式問題的圖式建立過程．

下面例題說明，對問題深層結(jié)構(gòu)的正確表征，更容易激活問題圖式，順利地解決問題．

例4 設(shè)α，β是關(guān)于x的方程0①的根，試證明關(guān)于x的方程的根是a，b．

題目的條件說α，β是方程①的根時，a，b處于方程系數(shù)的位置；題目的結(jié)論說a，b是方程②的根時，α，β處于方程系數(shù)的位置．因而，條件與結(jié)論之間，(α,β)與(a,b)之間都有一種對稱關(guān)系，所以，條件表征為

對比，只需作一步移項運算就消除了差異．

反之，圖式的水平也影響到問題表征[19]．較高的圖式水平能夠促進問題的深層結(jié)構(gòu)表征，如果一個問題的解決要求的表征復(fù)雜性越大，對知識基礎(chǔ)的要求越多，那么該問題圖式的水平就越高，并且優(yōu)生通常比普通生有更高的圖式水平，更善于表征問題中復(fù)雜的關(guān)系[20]．

數(shù)學(xué)問題圖式的水平主要表現(xiàn)為主體所掌握的數(shù)學(xué)知識、思想方法、解題策略和經(jīng)驗的概括程度．一級水平為“一對一”圖式，即把一道題及其解法作為圖式．二級水平為：“典型實例”圖式，即記住某類題中一道典型題的解題思路，以后遇到類似問題，就以此為例去解決．第三級為“概括特征”圖式，即摒棄題的具體內(nèi)容，概括了某類題的一般特征及解題思路．圖式級別越高就越能夠正確表征問題、求解問題．

由上可見，提高數(shù)學(xué)問題表征能力和數(shù)學(xué)問題圖式水平對提高數(shù)學(xué)解題能力、完善和發(fā)展學(xué)生認知結(jié)構(gòu)有較高的價值和指導(dǎo)意義．一方面，教師在教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)問題表征能力的培養(yǎng)．為此，要注重培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題語意的理解和轉(zhuǎn)化能力、優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)、完善學(xué)生數(shù)學(xué)問題的多元表征系統(tǒng)．另外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念直接或間接地影響著問題的表征[21]，所以增強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念也不可忽視．另一方面，在教學(xué)中必須有意識地構(gòu)建數(shù)學(xué)問題圖式．圖式形成后，還須防止誤用圖式，要注意將正確應(yīng)用該圖式的情景與誤用情景進行比較，以識別關(guān)鍵差異，并將關(guān)鍵差異編碼作為圖式的一部分．此外，圖式抽象水平應(yīng)該符合學(xué)生的思維發(fā)展水平．圖式抽象概括時，不能局限于學(xué)生當前的思維水平，要積極推動學(xué)生的抽象思維水平的發(fā)展；但也不能單憑教師的主觀愿望一味強調(diào)圖式抽象，當超出學(xué)生的接受能力時，總結(jié)出來的“概括特征”圖式就會變成學(xué)生記憶的負擔(dān)，很難被學(xué)生靈活地用到解題活動中[3]．

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