中澳高中數學教材的比較及啟示:以澳大利亞VCE課程與人教版高中數學教材函數與映射章節為例

張笑謙，胡典順 ，2

（1．華中師范大學 數學與統計學學院，湖北 武漢 430079；2．華中師范大學 教師教育學院，湖北 武漢 430079）

1 引 言

VCE（Victoria Certificate of Education）是澳大利亞維多利亞州課程評估署（Victorian Curriculum and Assessment Authority，簡稱VCAA）所頒發的大學預科（高中）課程合格證書，其課程內容主要面向該國十年級后的學生，與中國高中學生年齡及學力層次相當．獲得此證書的學生可以直接申請進入澳大利亞的大學．

由于VCE課程在國際上享有盛名，不但在本國學生中有很強的影響力，也是許多國際高中學生的首選課程之一．完成其課程的學生學力水平受到歐美澳各國大學的普遍承認，因此其課程內容是研究者進行課程設計和評估的良好參照樣本，也是中國新課程改革可以依據的良好樣本．

這里將通過對比較分析 IBID出版社出版的 Mathematics: Higher Level (core) 教材與中國人民教育出版社出版的數學1必修（A版）教材中函數與映射相關的章節，就知識順序，知識設置，知識處理方式，習題設置4個維度進行比較，提出對中國教材內容改進的建議，為今后更為細致地研究積累材料．

2 中澳高中數學教材比較

2.1 中澳教材知識順序的比較

2.1.1 中澳教材知識順序比較概覽

函數與映射是現代數學奠基性的知識之一，也是高中數學必修的內容，Mathematics: Higher Level (core) 教材使用第五章一章進行介紹，共分為4節；人教版數學1必修（A版）教材使用全書共分3章進行介紹，共分為7節，其內容對照如表1所示．

需要說明的是，由于澳大利亞將集合的定義及運算相關內容安排在初中學習，因此，為保證比較范圍對等，這里未將中國人教版（A版）教材中第一章1.1節“集合”納入比較的范圍之內．

2.1.2 中澳教材在知識點安排順序上區別明顯

通過比較，澳大利亞教材的章節安排按照由淺入深的直線型順序對知識進行安排．這種知識安排方式，最大程度地尊重了知識發生的過程，能夠幫助學生一氣呵成地理解整個知識版塊的結構；學生所學知識由淺入深，由直觀到抽象，符合學生認知發展的模式．并且由于知識內容的逐漸深入，教材本身即能夠傳遞給學生將生活中的情境逐漸抽象成為數學模型并運用數學工具進行研究的思想，幫助學生更好地進入數學理論學習的氛圍．

相對比，中國教材的章節安排則呈現出一種拋物線型的模式，在前期部分強調由淺入深的知識發生過程；在后期部分更重視回歸直觀現實，強調培養學生將抽象的數學知識回歸實際問題的能力．中國新課程標準中要求，學生應通過課堂學習，掌握將所學知識應用到生活生產實際的能力．人教版的教材很好地滿足了新課程標準的要求；但其局限性在于，由于知識內容有限，剛剛進入抽象性數學理論的學習，就回歸具體的實際問題，在營造數學理論學習的氛圍上則有所不足．

可見，澳大利亞的數學教材更多地注重培養學生數學理論學習能力，希望通過高中的數學學習，為大學學習更抽象系統的數學理論打好基礎，注重學生學術方面的發展．中國的數學教材則更注重生活實際，強調學以致用，希望幫助學生培養快速地將所學知識轉化為生產力的能力．另外，中澳教材在函數和映射兩知識點的先后順序，基本初等函數和函數基本性質的先后順序兩方面差異明顯，值得探討．

表1 函數與映射章節設置一覽

2.2 中澳教材知識設置的比較

2.2.1 中澳教材中出現的相同和相似的知識點

中澳教材中共有如下7個相同的知識點：映射的定義，函數的定義，分段函數，指數函數，對數函數，冪函數，反函數．其中，在分段函數這一知識點中，澳大利亞的教材通過函數圖象簡單給出了“不嚴密（weak）”[1]的函數連續性定義，中國教材僅給出分段函數描述性定義[2]；在反函數這一知識點中，澳大利亞的教材給出了大量一般性的反函數相關知識，包括特征函數I(x)=x，，一般性的反函數定義、性質和計算方法[1]，中國教材僅給出了模糊的定義和特例[2]．

2.2.2 中澳教材中出現的不同的知識點

中國教材中出現了如下4個獨有的知識點：函數的單調性與最值，函數的奇偶性，函數與方程，函數模型及應用，其中“函數與方程”和“函數模型及應用”兩個知識點偏重訓練學生通過函數工具解決實際問題的能力．澳大利亞教材中出現了如下4個獨有的知識點：映射的性質，絕對值函數，函數的代數運算與復合，其中函數的代數運算與復合知識點難度較大，具有很強的抽象性．

2.2.3 中澳教材知識點的設置

從知識點的設置上看，中國偏向于直觀性較強的知識，如函數的單調性，奇偶性，函數在方程求解中的應用和數學建模中的應用，學生能夠在教師的指導下通過實例訓練來熟悉與掌握．這樣的知識點設置，符合新課程改革降低學生學業負擔的要求，同時也能滿足在培養學生運用所學知識解決實際問題的能力方面的要求．另外，中國教材中還滲透有現代數學思想．例如中國教材在介紹正實數指數冪及運算時，通過列表求近似值探究的近似值[2]，滲透無限逼近求極限的數學思想，而相對應部分澳大利亞的教材則忽略了這一點．可見中國教材一定程度上滿足了新課標對于數學思想和數學文化的滲透，如果教師能合理使用，非常有利于學生的后續發展和數學品質的形成．

另一方面，澳大利亞的教材偏向于抽象性較強的知識，強調為學生營造數學理論學習的氛圍．這一點在映射的定義，函數的代數運算，復合和反函數這兩個知識點上體現得非常明顯．澳大利亞教材映射的定義以集合的笛卡爾積為基礎，構建線性空間給出定義，即映射是可以表示為二維實數空間中一列有序實數對組成的子集[1]，這里的映射特指實數集到實數集的映射．反函數的定義以復合函數為基礎進行定義，即定義特征函數I(x)=x，對任一函數f(x)，若存在函數f-1(x)使得則稱與互為反函數[1]．這種以抽象性知識點為主的知識點設置形式，更加有利于培養學生的抽象思維和理論分析能力，幫助學生更好地靠近現代數學對數學學習者的要求．

2.3 中澳教材知識處理方式的比較

2.3.1 中澳教材知識引入方式的比較

中國新課標提出，數學課程設置應“在數學應用和聯系實際方面需要大力加強”，“力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用”，“數學與日常生活及其它學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識”[3]．根據這種理念，中國教材在大部分知識點的引入部分均采用現實實例，如函數的概念用“炮彈的射高”，“南極上空臭氧層空洞”和“我國城鎮居民恩格爾系數”3個實例[2]引入．指數函數用“我國GDP平均增長率”和“生物死亡時間與體內碳14衰減規律”兩個實例[2]引入．而澳大利亞的教材僅在介紹映射的定義使用了“中學生年齡與體重的對照關系”一個實例[1]引入，其余知識點均以學過的知識發展得到．這種引入方式更加尊重數學知識之間的邏輯聯系的呈現，更有助于學生了解所學知識之間的聯系，發展系統性的認知結構．

2.3.2 中澳教材知識學習方式的比較

中澳教材的知識學習方式差異不大，均以引入，介紹新知識，例題分析組成．區別在于中國教材每一小節后會配有習題供學生訓練，并在每節和每章后設有A、B兩組復習題，每章后設有實習作業和整章小節．澳大利亞的教材僅在每小節后設置習題，未設置小節或實習作業．下面以指數函數小節為例，進一步具體比較．

中國教材首先從前一小節學過的“生物死亡時間與體內碳14衰減規律”實例引入，給出一般的指數函數的定義；然后選取多個不同的指數函數，通過描點法繪出函數圖象，通過函數圖象直觀總結指數函數的基本性質，并列表總結．接下來利用3個不同例題，分別訓練學生利用指數函數性質求自變量或函數值，比較數的大小和實際應用的能力．最后提出與實際相聯系的探究性問題，給出練習題．澳大利亞的教材以描點法比較的圖象為起點，并考慮多個不同底數大于零的指數函數圖象后給出一般的指數函數定義．接下來通過考慮不同情況的底數時圖象的聯系和區別，總結指數函數的基本性質，并列表總結．插入介紹自然對數后，通過4個例題訓練學生指數函數及與指數函數相關的簡單復合函數的求值和作圖能力．

可見，中國的教材更注重引導學生運用掌握的知識點解決實際問題能力的培養，而在學生思維發展方面安排不足，難度較低．澳大利亞的教材沒有設置實際問題的講解和例題，著重培養學生數學思維，不斷加深難度，營造數學理論學習的氛圍，為后續學習作鋪墊．澳大利亞教材的另一優點在于信息技術與學習過程的緊密結合；中國教材中信息技術的應用以課后閱讀材料的形式給出，而澳大利亞的教材則在知識介紹和例題解答過程中以插圖的形式穿插配合，不但案例多，而且更易于學生的學習和使用．中國教材的優點在于課后小結以框圖的形式總結了本章知識點及相互關系，并以回顧與思考中的設問形式幫助學生回顧本章知識點，分清重難點，有利于學生課后自主學習．

2.4 中澳教材習題設置的比較

中國教材函數與映射相關章節習題共分 3類：小節練習，節后習題和全章復習參考題．其中節后習題與全章復習參考題按難度分為A、B組．澳大利亞教材相應章節習題未分類，均置于相關小節之后．具體數量如下：中國教材小節練習39道，節后A組66道，B組26道；復習參考題A組34道，B組16道；澳大利亞教材習題共有111題．從題目分類來看，中國教材分類更細致，有益于教師和學生選擇難度和數量適合的練習，澳大利亞的教材習題則更需要教師對教材和知識的把握和對學生情況的了解．

從習題涉及內容上看，中國教材習題分數學知識訓練和涉及實際問題的習題兩類．涉及實際問題的習題大多數安排在節后習題和全章復習參考題中，約占總題數的50%～60%，大多數與現實生活、生產相聯系，體現了新課改中強調數學知識在應用和聯系實際方面的需要．澳大利亞教材均為數學知識訓練題，其訓練角度較中國教材習題分類更細致，每一題基本均對應一個知識點．另外，其練習中大量出現復合函數和分段函數，其中部分難度較大，要求學生綜合運用所學知識解答．因此在深入訓練學生數學思維能力和數學理論知識綜合運用方面則更優于中國教材，對于學生進一步學習更有益處．

3 思考與建議

3.1 關于教材編寫應如何切合知識發生過程

通過比較發現，中國高中數學教材與澳大利亞數學教材，在知識的安排順序上有兩個重要的區別，即函數與映射概念的先后順序和基本初等函數和函數基本性質的先后順序．究其原因，中國在初中設置函數版塊，介紹了簡單的函數相關知識；而澳大利亞的數學課程中函數部分則完全是在高中完成．因此，中國高中數學教材中，以初中函數相關知識作為背景，進一步討論函數的定義和簡單性質，再進一步學習新的函數形式；而澳大利亞的教材則按照先介紹函數后討論性質的順序處理．

而從知識發生的順序上看，映射是函數的上游概念，基本初等函數是函數基本性質的上游知識；因此研究者希望通過以函數與映射概念的先后順序為例，討論關于教材編寫應如何切合知識發生過程的思考．

在課程改革的討論聲中，對于函數與映射孰先孰后的問題，一直是爭論較多的話題之一．國內許多學者和教師認為，映射概念的教學應置于函數概念的教學之前[4]，與澳大利亞的教材處理方式相同；而在課程標準中，也提出了中國教材的處理方式的原因．

對于先映射后函數的處理方式，主要有 3個方面的原因：

其一，先映射后函數符合數學知識發生的順序．無論是函數還是映射，都不能避免“對應”的思想，在理解了“對應”思想的基礎上，應用集合語言的工具可以將兩個集合聯系在一起，建立對應關系，形成映射的概念；而函數的概念是在映射的概念中進一步加強對應關系的約束條件得出的更特殊的情形．因此從發生的順序上講，映射的概念先于函數的概念形成．

如果跨越映射概念直接進入函數概念的學習，則可能影響到學生對“對應關系”的正確理解，并誤以為只有類似于函數的“一個原象有且僅有一個象”的“對應關系”才能稱為“對應關系”，造成先入為主的錯誤觀念．反之，先學習映射的概念，再學習函數的概念，則是在原有概念的基礎上，通過概念同化給出函數的概念，水到渠成．

其二，映射概念比函數概念更直觀和易于理解．上面已經討論過，映射是一種集合間元素的“對應關系”，函數是一種定義在實數集上的“一個原象有且僅有一個象的對應”的特殊“對應關系”．因此，比起函數概念，映射的概念更容易在生活實際中找到學生易于理解的直觀例子進行分析．例如，學校為方便管理，給每位學生編制學號；超市中每一個商品都有對應的條形碼；每輛私家車都有唯一的車牌號，等等．可見，映射定義比函數定義更直觀，而由直觀到抽象則是數學學習的基本要求之一，因此先映射后函數從理解的角度上優于先函數后映射．

最后，先函數后映射是為了講映射而講映射．人教版（A版）教材中映射的概念安排在“1.2.2 函數的表示法”小節的最末，給出了映射的概念和幾種不同類型映射的例子；下一小節“1.3.1 單調性與最大（小）值”繼續討論函數的相關知識．由此可見，映射放在1.2.2小節最末講解，不但打斷了函數從定義到性質的知識發展順序，而且與前后，特別是后文聯系不緊密，顯得異常突兀，表現出“為了講映射而講映射”的特征．如果該節將映射的定義這一部分刪除，不但不影響這一章節知識，而且整體上更加流暢．

中國人教版（A版）中先函數后映射的編寫方式，也有自身的原因．

在歐美國家，函數概念是在高中給出的．而在中國，初中已經用“變化的量的相互關系”介紹了函數概念．因此從初中的函數概念出發，給出初中函數概念無法解釋的現象，引起認知沖出，引出新的概念，也符合知識發展順序和學生認知發展規律，且更符合中國中學數學教學的實際情況．因此建議，可以將映射的定義和簡單性質置于課外拓展閱讀部分介紹，供學有余力的學生補充學習，這樣既不影響課本知識的連貫性，對于映射的介紹也不用擔心因為教材篇幅等原因只能對映射淺嘗即止．

3.2 關于知識內容中直觀性和抽象性知識的取舍

通過對比發現，中國高中數學教材知識設置與澳大利亞教材在知識的選取和設置上有明顯的區別．中國教材以直觀性強的知識為主，澳大利亞的教材以抽象性強的知識為主．例如，中國教材在函數與映射章節中設置了“函數的基本性質”一節，置于“基本初等函數”一節之前，主要介紹了函數奇偶性和單調性兩個性質，而澳大利亞教材相對應的部分置于“基本初等函數”之后，介紹函數的運算，復合函數與反函數．以下是關于這一部分的一點思考．

其一，函數的奇偶性，其本質是函數的圖象的對稱性的一種特殊情況，是函數線性變換性質中特殊的一種．而中國教材在淺嘗輒止地引導學生觀察函數奇偶性與函數圖象關系后，由于缺少合適的案例，沒有進一步引導學生從變換的角度看待函數和函數的圖象，再加上該章節后續知識的學習中很少有能用到函數奇偶性的部分，因此函數的奇偶性安排在此處顯得非常突兀．而該章后面要介紹的冪函數和學生未學習的三角函數均是對稱性極強的函數形式，為函數的奇偶性的探究提供了非常合適的案例，更適合學生理解和運用函數的奇偶性，同時也是學生了解函數線性變換的絕佳案例，并能以此為基礎滲透以運動與變換的視角觀察函數的數學思想．類似地，由于未學習導數與微分，學生對于函數的單調性這一知識點只能從圖象的變化上進行直觀理解，而通過定義判斷函數的單調性的方法適用范圍窄，可操作性低，特別是無法快速確定函數的單調區間．按照現有學生的認知水平，只能進行簡單地識記，而無法進行有效而廣泛的應用，有“為介紹單調性而介紹”的嫌疑．因此，“函數的性質”這一小節的安排是否恰當還有待商榷．

其二，澳大利亞教材沒有介紹函數的奇偶性，而是細致介紹了復合函數和反函數知識點．理解復合函數是理解和解決復雜的函數的問題的基礎，高中數學中遇到的函數問題絕大多數都是基本初等函數復合而成，其重要性不言而喻．而且，利用已學過的函數的定義、基本初等函數等知識就能很好地構建高中所涉及的復合函數知識，可很好地與學生認知結構相聯系．另外，由于指數函數與對數函數為該章節中的上游知識點，為反函數提供了良好的案例；復合函數為反函數定義和性質的數學符號表述提供了良好的工具，反函數本身“為認識后續各類函數及其關系、性質提供理論支撐，有利于學生從聯系的觀點認識各類函數”[4]．因此通過反函數的學習與理解，能幫助學生進一步培養自身抽象思維等數學思維能力，為后續學習更為抽象和系統的數學知識打好堅實的基礎．而中國教材則由于新課標的降低難度的要求而刪除了復合函數，反函數也僅僅要求進行直觀理解，對于學生抽象思維的發展，用聯系的視角看待函數的思想的培養均不利，因此這種改動是否合適還有待商榷．

研究者建議，中國教材在函數的基本性質這一部分的安排上可以按如下形式處理．

第一，函數的單調性置于“函數模型及其應用”這一章，以通過函數工具尋找實際問題的最優解為參考切入點，以直觀理解的方式簡單介紹，使學生對函數的單調性和某一區間的最值有直觀認識，并通過實例問題加深理解，練習初步的應用．

第二，函數的奇偶性可安排在“冪函數”中作介紹．由于冪函數這一節著重討論的內容既在初中有所接觸，又在高中有進一步發展空間．因此將奇偶性置于這一節介紹，不但可以將學生已有知識點與高中所要介紹的函數的對稱性、線性變換等知識相聯系，而且還能滲透現代數學中重要的變換的思想，更有利于學生形成系統的認知體系，并為未來進一步發展打好基礎

第三，復合函數和反函數在課程標準中不要求學生掌握，但是依舊是學生需要了解的重要內容．因此在現有課程標準的要求下，復合函數和反函數可以安排在基本初等函數一章結束后，以課外拓展閱讀的形式進行介紹，不但滿足課程標準，也為有能力的學生進一步加深對函數的認識與理解，為其進一步發展作準備．

3.3 關于理論性和實踐性兩者的平衡

中國新課程標準要求“學習有用的數學”，“增強聯系實際和應用能力的培養”[3]，同時要求避免數學理論難度過高．因此在教材編寫方面，中國的教材更注重體現數學的實踐性．而澳大利亞VCE課程則更注重學生未來的發展，即學生現有水平與認知結構和大學數學學習的要求之間的聯系，在教材編寫上更注重數學的理論性．由此，中國和澳大利亞教材從各方面都有較大區別．

從整體上看，中國教材其形式類似于一部問題解決集，即遇到實際問題，介紹數學理論，回歸實際問題．澳大利亞教材形式則更像一本系統介紹數學理論的書，以連貫系統的方式呈現數學理論．從知識設置和處理上看，中國教材更注重實踐性知識的介紹，使用大量篇幅介紹各類實際問題，因而限制了教材對于數學理論本身的介紹篇幅，因此也限制了學生所接觸的知識的廣度與深度，使其數學理論的發展空間受到了一定的局限．澳大利亞教材則更多介紹理論性數學知識，有一定的深度，能進一步發展學生思維，而且澳大利亞的教材在知識的連貫性上非常好，有利于學生知識體系的形成，有助于引導學生進行知識體系構建和拓展．

由此，中國中等教育需要注意中國高中生在數學學習上學力下降的風險．從外國教育改革的歷史經驗來看，美國和日本在進行教育改革中都遇到過降低學業標準帶來的高中畢業生學力下降的問題，導致許多選擇升學的學生進入大學后無法很好地適應大學的學習，許多選擇就業的學生只能從事簡單機械的勞動，以及很多相關的社會問題．因此，為了盡量避免這種問題的產生，研究者建議，能否參照澳大利亞的教材模式，在介紹數學理論的部分，系統而連貫地介紹數學理論，尊重知識的連貫性和完整性．同時發揮中國教材設有實習作業和課后導讀的優勢，通過實習作業以數學建模為載體介紹該章節的數學知識在實際生活中的運用方式，通過課后導讀介紹對該章節知識進行拓展和深入，滲透現代數學思想．由此進一步使不同的學生各取所需，盡量避免強調數學實踐性時過于犧牲理論性的數學學習．

[1]Buckle N, Dunbar I. Mathematics-higher Level (Core) [M].Victory: IBID Press, 2007.

[2]人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心．普通高中課程標準實驗教科書 數學1必修（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2004．

[3]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[4]俞求是．高中數學課程標準實驗問題研究[J]．教育學報，2009，5（6）：36-44．

[5]Victorian Curriculum and Assessment Authority. Principles and Guidelines for the Development and Review of VCE Studies [EB/OL]. http://www.vcaa.vic.edu.au/, [2009-3]