中澳數學教科書習題比較研究:以人教版和HMZ 8年級教科書為例

吳立寶

（1．北京師范大學 數學科學學院，北京 100875；2．內江師范學院 數學與信息科學學院，四川 內江 641100）

1 問題提出

習題作為數學教科書的一個重要組成部分，有著鞏固和深化新知、補充與延伸新知、綜合運用新知、領悟數學思想方法、診斷反饋補救與育人等功能．在數學教科書的編寫上，一個重要的環節就是建立配套的例習題體系，其在數量、水平、風格和側重點上的差異既反映著一個國家數學教科書的整體水平、風格和傾向，也對具體的數學教學實踐產生了不可忽視的影響．畢竟無論學生數學概念的形成、數學命題的掌握、數學方法和技能技巧的獲得，還是學生智能的培養和發展，都必須通過習題的解決來實現．因此選擇中國和澳大利亞兩個國家8年級數學教科書中的習題作為研究對象，以期對中國數學教科書習題編寫與使用提供參考與借鑒．

2 研究設計

2.1 研究對象

在中國，人民教育出版社出版的初中數學教科書使用面最廣，因此選取現行的人民教育出版社2008年出版的初中《數學》[1]（8年級上冊與下冊）教科書（以下簡稱PEPM）為代表．PEPM教科書正文部分包含著 10章30節：上冊177頁，下冊155頁，合計332頁，其包含練習、習題與復習題為研究對象（練習、習題、復習題統稱習題）．

澳大利亞是一個實行聯邦制的多元文化移民國家，共有6個州兩個領地，6個州包括昆士蘭州、維多利亞州、新南威爾士州、南澳、西澳、塔斯馬尼亞州；兩個領地則是北方領地和首都領地，沒有全國統一的數學教科書．選擇在維多利亞州廣泛使用的培生（Pearson）出版集團出版的Heinemann Maths Zone 7-10 VELS Enhanced教科書，以Heinemann Maths Zone 8：Enhanced（以下簡稱 HMZ）[2]為代表．HMZ正文部分包含著11章89節，共計535頁（不包括答案 56頁），其教科書的課后習題與復習題為研究對象．

2.2 研究問題

主要從習題數量、類型、難易程度等3個方面來統計數據，依次推斷中國與澳大利亞整個初中階段的數學教科書習題配置情況、難易情況等．

對于習題數量，首先分門別類來統計，以大題為主；其次，統計大題包含的小題數量，了解兩個國家習題的總量水平．

對于習題類型，主要分為選擇題、是非題（或者判斷題）、填空題、計算題、證明題、解答題等6種，凡是不能明確判斷為前5種的全部歸為解答題，譬如有些開放性的題目、學生動手操作的題目、畫圖、應用題等都作為解答題來統計．在澳大利亞HMZ教科書中沒有區分“Calculate”與“Evaluate”，都作為計算題，對于習題類型統計按照大題來算，因為對同一道題目而言，類型一般是相同的．

對于習題的難易程度主要從包含知識點個數、背景、運算、數學任務（題目本身要求水平）等方面進行刻畫，具體指標見表1．在知識點個數統計上由于中澳8年級數學教科書內容差異太大，澳大利亞主要以數學教科書中的1～2小節為準來統計，對于中國 PEPM 的節次按照教科書的練習為間隔來劃分．背景主要分為無背景、個人生活背景、公共生活背景、科學背景4類，純粹的數學問題算歸到無背景之中，其中對于個人生活背景，主要是以學生個人生活經歷相關的背景．運算分為無運算、數字運算、符號運算（帶有字母）、復雜符號運算（主要指公式的逆用、靈活運用等）．數學任務主要分為記憶性、無聯系的程序性、有聯系的程序型、做數學4類，具體評價指標說明參照文[3]．

表1 習題難易程度量化指標表

上面分項討論各個子指標的基本數據，根據賦值情況，使用公式：

其中di依次分別表示知識點數量、背景、運算和數學任務等因素的取值；表示第i個難度因素的第j個水平的權重；表示一組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數，其總和等于該組題目的總數n[4]．

2.3 研究方法

基于中國與澳大利亞選定的兩套數學教科書的文本材料，以文本質性分析和比較研究為主要研究方法．

3 研究結果

研究表明，中澳兩個國家兩套8年級數學教科書的習題無論是數量、類型，還是難易程度等方面同中有異，其具體結果如下．

3.1 相 同 點

3.1.1 習題均分3類且比例大致相同

中國與澳大利亞這兩套數學教科書都對習題按照其要求進行了適當分類．澳大利亞HMZ數學教科書不管是習題（Exercise）還是復習題（Chapter review）（排除前面的知識小結與個人學習活動）都分為技能（Skills）、應用（Applications）、分析（Analysis）3類，其題目數量分別是542、447、165，占總習題數量的百分比分別為46.7%、38.5%、14.2%．在中國PEPM教科書正文中穿插了部分小練習，除此之外，對習題以及各章復習題也分為3類：復習鞏固、綜合運用、拓廣探索3類，其各類習題數量分別是185、148、79，占教科書習題總量的百分比分別是 44.9%、35.9%、19.2%．雖然中澳8年級數學教科書3部分習題數量差異是顯著的，譬如綜合應用類習題，澳大利亞HMZ是中國PEPM教科書的3倍，但是3類習題數量占各自國家教科書習題總量的百分比還是比較吻合的，基本維持在46%、36%、18%左右．

此外，中澳8年級數學教科書各章復習題的數量之和分別是121道、191道，其占總習題的百分比分別是20.9%、16.5%，相差4.4個百分點，可以看出復習題的總量在20%左右．

3.1.2 習題類型基本相同

中國PEPM教科書與澳大利亞HMZ教科書有5種相同類型習題，分別是填空題、判斷題、選擇題、計算題、解答題，澳大利亞教科書缺少證明題．從分布來看，中澳兩套數學教科書中習題最多的是解答題，占習題總量的比例分別為67.7%與 69.5%，基本相同，非常接近；其次是計算題，澳大利亞HMZ教科書計算題占習題總量的17%，比重高于中國PEPM教科書計算題的比重12.3%．從教科書可以看出，澳大利亞 HMZ在 8年級比較注重學生數學運算能力的培養，運算在8年級占有相當大的比重，花費較多的時間和精力去學習和掌握關于運算的一些知識和技能，其部分內容在中國相當于小學5、6年級所學知識．其他3種類型數量較少，占據比重偏少，差異較大，譬如澳大利亞HMZ教科書選擇題的數量有121道，占教科書比重達到10.4%，遠高于中國PEPM教科書的0.9%，為中國教科書習題編寫類型分布提供參考．

3.2 不 同 點

3.2.1 澳大利亞習題總量遠超中國PEPM

從習題數量上，中國PEPM 8年級上下冊教科書有579道題目，而澳大利亞HMZ 8年級教科書有1 160道，是中國 PEPM 教科書的兩倍多，表明澳大利亞數學教科書的習題數量遠大于中國數學教科書，也從一個側面說明中國學生負擔重，數學教科書不是主要原因．由于每道習題又包含若干道小題，從小題數量來看，中國PEPM教科書有1 005小題，而澳大利亞HMZ教科書小題數量達到4 725道，是中國教科書的4.7倍．在澳大利亞HMZ教科書每道題目包含的小題數目多，甚至于個別習題會包含26道小題，一般分析類型的習題也是有3～6小問，層層鋪墊，在某種程度上降低了其難度．

3.2.2 澳大利亞HMZ習題缺少證明題

純粹的證明題在澳大利亞 HMZ教科書中沒有明確出現，一方面說明澳大利亞HMZ教科書對幾何推理證明要求較低，至少在8年級是如此，并且幾何知識內容僅安排一章；另一方面說明學生推理能力的培養并不僅僅限于證明題，實際上在計算、解答題中都隱含推理成分．相比較而言，中國PEPM教科書中有53道證明題，是明確寫明“證明”或者“求證”，占習題總量的 9.2%，對于推理論證能力的要求從形式上來看是中國PEPM教科書的要求高于澳大利亞HMZ教科書，尤其是重視演繹推理的訓練，這也是中國數學教科書一貫的傳統——重視推理能力的培養，畢竟具有一定推理能力是培養學生數學素養的重要內容，也是最重要的載體．

3.2.3 澳大利亞習題背景水平略高

在習題的背景上，澳大利亞與中國教科書一個共同的特點就是：超過一半以上的習題沒有任何背景，澳大利亞HMZ教科書占51.9%，而中國PEPM教科書更多，占70.3%．澳大利亞 HMZ教科書習題有 217道來自于學生個人生活背景，315道來自公共生活背景，有27道來自科學背景，而中國教科書56道個人生活背景，105道公共生活背景，11道科學背景，主要涉及物理、化學等學科知識．采用上面公式得到：中國PEPM教科書習題的背景水平平均值為1.48，澳大利亞 HMZ教科書習題背景平均值為 1.78，具體見圖1．相對而言說明澳大利亞 HMZ數學教科書比中國 PEPM教科書更加關注學生的個人生活背景與公共生活背景，科學背景比重基本持平的．如果忽視知識與學生的情境的聯系，學生難以形成在任何生活情境下的數學表征習慣，容易限制學生學會數學化處理事物的方法[5]．

3.2.4 中國PEPM教科書習題難度大于澳大利亞HMZ教科書根據上面公式計算難度獲得其比較的折線圖，如圖1.

圖1 中澳習題難易程度比較

在知識點數量上，澳大利亞HMZ教科書習題有862道僅包含1個知識點，282道包含2個知識點，14道包含3個知識點，2道包含4個知識點；而中國PEPM教科書習題579道題，有217道包含1個知識點，284道包含2個知識點，67道包含3個知識點，9道包括4個以上知識點．相比較而言，澳大利亞HMZ教科書習題更多的是單一知識點設置的，習題平均知識點含量為 1.25，中國 PEPM 教科書習題平均知識點含量為 1.76，中國 PEPM 教科書習題平均知識點含量高于澳大利亞HMZ教科書40.8%．

在習題運算方面上，采用上面公式得到：中國PEPM教科書習題的運算平均值為2.07，澳大利亞HMZ教科書習題運算平均值為2.01，中澳兩個國家兩套數學教科書在習題運算上要求基本相同．進一步探究發現中國PEPM8年級數學教科書更多的習題是字母運算，占習題總量的39.1%，畢竟字母運算相對數字運算抽象程度更高，對學生難度更大．此外證明題沒有涉及運算，降低了平均值．而澳大利亞數學教科書字母運算占習題總量的25.5%，澳大利亞數學教科書數字運算習題有616道，占到53.1%，沒有證明題．因此雖然習題總體運算平均值比較接近，但是中國 PEPM 教科書習題運算水平上高于澳大利亞．

根據數學任務方面，中國習題要求水平明顯高于澳大利亞教科書，平均為2.36．而澳大利亞教科書習題要求水平為1.90，中國教科書高于澳大利亞．但是，澳大利亞部分教科書習題設問巧妙，層層鋪墊，逐漸引申到高等數學背景，乍看很難，仔細一思考，原來可以在學生原有的知識點上生根發芽，長出新枝，是在學生的可接受水平上的．此外，對于習題的開放性方面簡單統計，中國 PEPM 教科書封閉型問題占到96%，澳大利亞HMZ教科書90%．澳大利亞更多的是讓學生舉例來說明問題．

綜上，澳大利亞HMZ教科書習題難度低于中國PEPM教科書難度水平．

4 幾點討論

4.1 中國與澳大利亞數學教科書重視雙基

澳大利亞和中國一樣，小學和初中屬于義務教育．澳大利亞HMZ教科書和中國數學教科書一樣，習題內容的設計重在基礎，重在通性、通法的掌握，這一點是相通的．在數量上，澳大利亞HMZ教科書明顯多于中國PEPM教科書．在澳大利亞教科書中有47%的習題屬于技能類型，這部分習題主要以學生掌握基礎知識、形成基本技能為主，尤其是運算能力的培養，為學生鞏固概念或者重要的公式、法則而設置的，都是屬于基礎試題．澳大利亞HMZ教科書習題包含的知識點數量平均為1.25，比較單一，總體來說綜合性問題少，屬于Solo學習分類的單一結構水平．

4.2 中國與澳大利亞重視數學應用

總體而言，中國與澳大利亞這兩套數學教科書都比較重視數學應用，與澳大利亞維多利亞州必備學習標準2008年修訂版（Victorian Essential Learning Standards, Revised Edition January2008）課標要求是一致的[6]．在中國 PEPM教科書明確用“綜合應用”來區分，在澳大利亞HMZ教科書明確用“Applications（應用）”，并且中澳這兩部分習題數量占各自習題總量的比重分別為36%與38.5%．從習題設置的背景來看，澳大利亞HMZ教科書習題比中國數學教科書更加關注學生的個人生活背景與公共生活背景，科學背景比重基本持平．雖然中國 PEPM 數學教科書相比以前有很大改觀，但是相對澳大利亞HMZ教科書，其背景設置方面略顯單一．澳大利亞數學課程重點在于發展日趨復雜和精準的數學理解、熟練程度、邏輯推理、分析思考過程，以及問題解決技能，使得學生能夠通過應用數學策略做出明智的決定，并高效的解決數學問題，以應對熟悉或陌生的環境[7]．

4.3 澳大利亞習題設問更加巧妙

澳大利亞HMZ教科書的“Skills”（技能）中大多數的習題是模仿教科書的例題，或者教科書概念與命題的簡單應用與鞏固，水平較低．但是在“Applications”（應用）“Analysis”（分析），尤其是“Analysis”中有不少習題設問非常巧妙：起點低，坡度小，逐步拔高，螺旋上升，到最后涉及一些高等數學知識．譬如8年級習題涉及到了無理數的連分數逼近、歐拉公式、握手定理、郵路問題等．這些問題若單看最后一問，肯定比較難，但是在層層鋪墊下又覺得導出這樣的結果是順其自然，讓學生慢慢欣賞到數學推理的美，“確保所有學生能在經歷數學推理的過程中受益，并能夠創造性地、高效地運用他們的理解力”[8～9]．對于推理能力的培養未必單靠證明來進行，這個是中國學者在教材編寫以及課堂教學中需要加以借鑒的．

4.4 澳大利亞更適合學生學習

澳大利亞HMZ教科書的習題從難易程度來看，相對中國而言，難度較低，而階梯又多，適合學生自學．有相當部分習題學生可以通過自己看書模仿例題而加以解決．究其原因，澳大利亞教科書例題全部有非常詳細的分析以及對應解答，為習題解答提供非常好的范本和樣例，尤其是技能部分習題．而“分析”部分習題，設問較多，降低了難度．在這個過程中，可以幫助學生成為自我激勵、充滿自信的學習者，使其有信心學好數學．因此要使學生樂學、好學，僅僅依賴教師的教學智慧是不夠的，承載教學內容的教科書必須具備吸引學生主動探究、發現的品質．

4.5 澳大利亞教科書更加重視計算機（器）

在澳大利亞HMZ數學教科書，有整個一章的內容是有關使用計算器來學習的，而中國只有個別習題要求使用，并且數量較少，只有幾道，對于信息技術差距要求方面還是非常大的．在澳大利亞 HMZ教科書明確規定使用 TI-Nspire CAS或Classpad圖形計算器，其功能更強大，這些也滲透在習題的解答過程中．現在，隨著現代科技的發展，掌握必備的信息技術是必須和必要的，數字技術的發展不僅對數學思想的發展有所貢獻，還為數學中的探究活動提供了新的工具支持．例如無理數的連分數逼近問題，在中國教科書適當增加數字技術的使用，增強利用信息技術作為工具解決問題的設計．

中國與澳大利亞兩套數學教科書的習題在數量、類型、難易程度等方面雖然有異同，但是編寫出發點都是為了學生的發展，這是一致的．如何保留中國數學教科書的傳統優勢，又要跟上國家數學課程改革潮流，不斷完善中國的數學教科書編寫，是一個不斷值得研究的問題．

[1]課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心．義務教育課程標準實驗教科書·數學（八年級上冊）[M]．北京：人民教育出版社，2008．

[2]David Coffty. Heinemann Maths Zone 8: Enhanced [M]. Port Melbourne: Pearson, 2008.

[3]Stein M．實施初中數學課程標準的教學案例[M]．李忠如譯．上海：上海教育出版社，2001．

[4]范良火，黃毅英，蔡金法，等．華人如何學習數學（中文版）[M]．南京：江蘇教育出版社，2005．

[5]孫旭花．問題變式：中國數學教材問題設計之特色[J]．數學教育學報，2012，21（3）：54-59．

[6]康玥媛，曹一鳴，Xu Li-hua，等．中、澳、芬數學課程標準中內容分布的比較研究[J]．教育學報，2012，8（1）：62-66．

[7]康玥媛．澳大利亞全國統一數學課程標準評析[J]．數學教育學報，2011，20（5）：81-85．

[8]曹一鳴．十三國數學課程標準評介[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[9]Max Stephens，章勤瓊．中澳美的經濟變革與數學課程改革方向[J]．數學教育學報，2010，19（5）：4-6．