三角代數(shù)上中心化子的刻畫

馬 飛，張建華，李 莉，任剛練

1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

2.咸陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000

3.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048

三角代數(shù)上中心化子的刻畫

馬 飛1，2，張建華1，李 莉3，任剛練2

1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

2.咸陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000

3.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048

1 引言

設(shè)Α是一個(gè)環(huán)或代數(shù)，如果可加映射φ:Α→Α滿足對(duì)任意的a，b∈Α有φ(ab)=φ(a)b，那么稱φ是一個(gè)左中心化子；類似的可以定義右中心化子。如果φ既是左中心化子又是右中心化子，那么稱φ是中心化子。與中心化子密切相關(guān)的一類重要映射是中心化映射，若映射φ:Α→Α滿足對(duì)任意的a∈Α，有φ(a)a-aφ(a)∈Z(Α)（Z(Α)為Α的中心），則稱映射φ是中心化的；特別的，若φ(a)a=aφ(a)，則稱映射φ是可交換的。

關(guān)于具有滿足哪些條件的映射為中心化子的研究一直深受許多學(xué)者的關(guān)注，但是大多都要求環(huán)或代數(shù)具有素或半素性，如Bre?ar在文獻(xiàn)[1]中證明了若半素環(huán)R上的映射φ既是左Jordan中心化子，又是右Jordan中心化子，則存在λ∈C（R的擴(kuò)展中心），使得φ(a)=λa對(duì)任意的a∈R都成立；Vukman在文獻(xiàn)[2]中對(duì)2-非擾自由半素環(huán)R上的可加映射φ證明了，如果對(duì)于任意的a∈R，有2φ(a2)=φ(a)a+aφ(a)，那么φ是中心化子；Zalar在文獻(xiàn)[3]中證明了2-非撓的半素環(huán)上的任意的左（右）Jordan中心化子是左（右）中心化子；Benkovi?和Eremita在文獻(xiàn)[4]中證明了2-非撓的素環(huán)上的可加映射φ，如果滿足對(duì)任意的a∈R，n≥2都有φ(an)=φ(a)an-1，那么φ是左中心化子；Vukman在文獻(xiàn)[5]中討論了在標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)Α上，若可加映射φ滿足φ(am+n+1)=amφ(a)an（其中m，n為正整數(shù)），則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得對(duì)任意的a∈Α，有φ(a)=λa。Qi在文獻(xiàn)[6]中將條件推廣φ滿足φ(am+n+1)-amφ(a)an∈FI（其中I為單位算子，F(xiàn)為實(shí)或復(fù)數(shù)域）即可。張等在文獻(xiàn)[7]證明了在套代數(shù)上若可加映射φ滿足φ(am+n+1)=amφ(a)an或(m+n)φ(ar+1)=mφ(a)ar+narφ(a)，則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得對(duì)任意的a∈Α，有φ(a)=λa。類似結(jié)果可見文獻(xiàn)[8-10]。

三角代數(shù)首先是在文獻(xiàn)[11]中引出，隨后被許多學(xué)者所研究（見文獻(xiàn)[8，11-15]）。設(shè)Α和B是作用在可交換環(huán)R上的代數(shù)，且分別含有單位元1Α和1B，M是忠實(shí)的含單位(Α，B)-雙模。M稱為忠實(shí)的Α-模是指如果a∈Α且aM=0，則有a=0。一個(gè)在通常矩陣算法意義下的R-代數(shù)：

稱為三角代數(shù)。有關(guān)三角代數(shù)最典型，也是最重要的模型是上（下）三角矩陣代數(shù)和套代數(shù)。

設(shè)Z(T)為T的中心，由文獻(xiàn)[11]中命題3可知：

顯然，三角代數(shù)T是含單位I的，且存在非平凡冪等元e1和e2，其中：

則由矩陣的運(yùn)算可知，對(duì)于任意的1≤i≤j≤2，有Tij=eiTej。因而可以將三角代數(shù)T表示為：

這里，T11是T的子代數(shù)且同構(gòu)于Α，T22是T的子代數(shù)且同構(gòu)于B，T12是(T11，T22)-雙模且同構(gòu)于雙模M。為了記述方便，用Tij來表示Α，M，B。

顯然，三角代數(shù)是一類非半素的算子代數(shù)，并且受中心化子和中心化映射及上述結(jié)論的啟發(fā)，自然想到在三角代數(shù)T上對(duì)于任意的a∈T，滿足：(m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))∈Z(T)（其中m，n，r為正整數(shù)，Z(T)為T的中心）的可加映射φ的刻畫。

2 滿足條件 (m+n)φ(ar+1)-mφ(a)ar-narφ(a)∈Z(T)的映射

首先來討論當(dāng)r=1時(shí)的情形。

設(shè)φ:T→T是可加映射。如果存在正整數(shù)m，n≥1，使得：

對(duì)所有的a∈T都成立。

引理2.1設(shè)φ是滿足式（1）的可加映射，則對(duì)任意a，b∈T，有

證明（1）對(duì)于任意的a，b∈T，在式（1）中用a+b代替a可知：

又因?yàn)棣帐强杉佑成洌裕?/p>

比較上兩式可知（1）成立。

（2）在引理2.1中的（1）中取b=I易得（2）成立。

引理2.2設(shè)φ是滿足式（1）的可加映射，則對(duì)1≤i≤j≤2，有φ(Tij)?Tij。

證明因?yàn)閑i=e2i，所以存在Zei∈Z(T)，使得：

對(duì)上式兩邊同時(shí)左乘和右乘ei，可得Zei=0。因而：

對(duì)式（2）分別左乘和右乘ei，得

因而有φ(ei)=eiφ(ei)=φ(ei)ei=eiφ(ei)ei∈Tii。

另一方面，由引理2.1（2）知，存在∈Z(T)，使得：

對(duì)式（3）兩邊分別左乘和右乘ei，得

上兩式相減，則有：

對(duì)式（6）兩邊分別左乘和右乘ei，整理可得eiφ(I)=φ(I)ei=eiφ(I)ei。因而Zei=0。再由式（3）可知φ(ei)=φ(I)ei=eiφ(I)。對(duì)于任意的a11∈T11，由引理 2.1（2）可知，存在∈Z(T)，使得：

對(duì)式（7）兩邊同時(shí)左乘和右乘e1，得

對(duì)式（7）兩邊同時(shí)左乘e1和右乘e2，得e1φ(a11)e2=0。

對(duì)式（7）兩邊同時(shí)左乘和右乘e2，得

由引理2.1（1），則存在∈Z(T)使得：

式（8）減式（7），得

對(duì)式（9）兩邊同時(shí)左乘和右乘e1可得=Za11。此時(shí)，再對(duì)式（9）兩邊同時(shí)左乘和右乘e2，可得e2φ(a11)e2=0。故φ(a11)∈T11。

類似可以證明φ(a22)∈T22。

對(duì)于任意的a12∈T12，由引理2.1（1）可知，存在∈Z(T)使得：

由φ(ei)=φ(I)ei=eiφ(I)及引理2.1（2）可知，存在∈Z(T)使得：

由式（10）及式（11）可得：

對(duì)上式兩邊左乘e1，且由e1φ(a12)e1=φ(a12)e1可知Z′a12=

因而有：

對(duì)上式兩邊同時(shí)左乘和右乘e1，可得e1φ(a12)e1=0。對(duì)式（10）兩邊同時(shí)左乘和右乘e1及結(jié)合式（11），因而有：

再對(duì)上式兩邊同時(shí)左乘和右乘e2，得e2φ(a12)e2=0。于是φ(a12)=e1φ(a12)e2∈T12。于是引理2.2得到了證明。

引理2.3設(shè)φ是滿足式（1）的可加映射，對(duì)于任意的aij，bij∈Tij(1≤i≤j≤2)，有

證明（1）對(duì)于任意的a11∈T11，b12∈T12，由引理2.1（1）及引理2.2可知存在∈Z(T)使得：

又由引理 2.2 可知φ(a11b12)，φ(a11)b12，a11φ(b12)∈T12，因此有=0。從而

利用類似的方法可得：

利用式（12）及引理2.2可知：

因此有：

從而φ(a11b12)=φ(a11)b12=a11φ(b12)。從而結(jié)論（1）成立。

（2）由式（14）及式（15）可知

利用式（14）可得：φ(a12b22)=φ(a12)b22=a12φ(b22)。從而結(jié)論（2）成立。

（3）由結(jié)論（1），對(duì)任意的s12∈T12，有

且φ(a11b11)s12=φ(a11b11s12)=a11φ(b11s12)=a11φ(b11)s12。

由引理2.3和引理2.1（1），則φ(a11b11)=φ(a11)b11=a11φ(b11)。從而結(jié)論（3）成立。

（4）由結(jié)論（2），對(duì)任意的s12∈T12，有s12φ(a22b22)=φ(s12a22b22)=s12a22φ(b22)且

由引理2.3和引理2.1（2）可知，φ(a22b22)=φ(a22)b22=a22φ(b22)。從而結(jié)論（4）成立。

定理2.1設(shè)T=Tri(Α，M，B)為三角代數(shù)，φ:T→T是一個(gè)可加映射。如果存在正整數(shù)m，n及對(duì)任意的a∈T都滿足式（1），則存在λ∈Z(T)，使得對(duì)任意a∈T，有φ(Α)=λΑ。

證明設(shè)a，b∈T，則a=a11+a12+a22，b=b11+b12+b22，其中aij，bij∈Tij。由引理2.2和引理2.3得：

特別地，對(duì)任意a∈T，有φ(a)=φ(I)a=aφ(I)。因而存在λ∈Z(T)，使得φ(I)=λ，從而對(duì)任意a∈T，有φ(a)=λa。

定理2.2設(shè)T=Tri(Α，M，B)為三角代數(shù)，φ:T→T是一個(gè)可加映射。如果存在正整數(shù)m，n，r，使得對(duì)于任意的a∈T滿足：

則存在λ∈Z(T)，使得對(duì)任意a∈T，有φ(a)=λa。

證明在式（16）中用a+tI代替a（t為任意正整數(shù)），且注意到φ(ta)=tφ(a)，則

在式（17）中依次取t=1，2，…，r，得到了一個(gè)以fi(a) (i=1，2，…，r)為變量的線性方程組：

此方程組的系數(shù)矩陣是范德蒙矩陣：

由式（19），則對(duì)任意a∈T，有：

在上式中用a2代替a，得：

將式（20）代入式（18），化簡(jiǎn)得：

由定理2.1，則存在λ∈Z(T)，使得對(duì)任意a∈T，有φ(a)=λa。

通過定理2.2的證明過程，很容易得到下面的推論。

推論2.1設(shè)T=Tri(Α，M，B)為三角代數(shù)，φ:T→T是一個(gè)可加映射。則下面幾個(gè)條件等價(jià)。

（1）存在λ∈Z(T)，使得對(duì)任意a∈T，有φ(a)=λa。

（2）存在正整數(shù)m，n，r，使得對(duì)任意的a∈T，有：(m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))∈Z(T)。

（3）對(duì)任意的正整數(shù)m，n，r和任意的a∈T，有：(m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))∈Z(T)。

（4）φ:T→T是中心化子。

3 結(jié)論

本文主要研究了三角代數(shù)上滿足 (m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))在三角代數(shù)中心時(shí)的保持映射。有φ(a)=λa的固定形式，給出了三角代數(shù)上的保持映射的刻畫，具有一定的理論意義。

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MA Fei1，2,ZHANG Jianhua1,LI Li3,REN Ganglian2

1.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China
2.College of Mathematics and Information Science,Xianyang Normal University,Xianyang,Shaanxi 712000,China
3.School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710048,China

Τhis paper supposesTis a triangular algebra,andφ:T→Tis an additive mapping.It proves that if there is some positive integer numberm，n，rsatisfying(m+n)φ(ar+1)-mφ(a)ar-narφ(a)∈Z(T)for alla∈T,then there exists someλ∈Z(T),such thatφ(a)=λafor alla∈T.

additive map;centralizers;triangular algebras

設(shè)T是一個(gè)三角代數(shù)，φ:T→T是一個(gè)可加映射。證明了如果存在正整數(shù)m，n，r，使得(m+n)φ(ar+1)-(mφ(a)ar+narφ(a))∈Z(T)對(duì)任意的a∈T成立，那么存在λ∈Z(T)，使得對(duì)任意的a∈T，有φ(a)=λa。

可加映射；中心化子；三角代數(shù)

A

O177.2

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0135

MA Fei,ZHANG Jianhua,LI Li,et al.Characterization of centralizers on triangular algebras.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：23-26.

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（No.20110202110002）；陜西省教育廳研究計(jì)劃資助項(xiàng)目（No.09JK803，No.2010JK890，No.11JK0469）；西安工程大學(xué)科研項(xiàng)目（No.BS1015）。

馬飛（1981—），男，在讀博士，講師，研究領(lǐng)域?yàn)樗阕哟鷶?shù)與自由概率；張建華（1965—），男，教授，博導(dǎo)，研究領(lǐng)域?yàn)樗阕哟鷶?shù)與自由概率；李莉（1982—），女，博士，講師，研究領(lǐng)域?yàn)樗阕永碚撆c量子計(jì)算；任剛練（1970—），男，博士，副教授，研究領(lǐng)域?yàn)閿?shù)論。E-mail：mafei6337@sina.com

2013-04-10

2013-05-28

1002-8331（2013）15-0023-04

◎理論研究、研發(fā)設(shè)計(jì)◎