巖石斷裂面上中心剖線的統計學分析

潘學哉 ， 馮志剛 ， 代國興 ， 劉紅光

（1.江蘇大學理學院，江蘇 鎮江 212013；2.中國礦業大學（北京）煤炭資源與安全開采國家重點實驗室，北京 100083；3.南京師范大學泰州學院數學科學與應用學院，江蘇 泰州 225300；4.江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇 鎮江 212013）

0 引 言

在地殼運動過程中，如地震、山體滑坡、泥石流等均涉及到巖體的變形、斷裂等。另外，在巖土工程施工中也會涉及到巖石的斷裂問題，如巖石的爆破、工程的打樁、隧道、開礦工程等。進入21世紀以來，對巖石斷裂節理面的形貌學研究受到業內人士的廣泛關注，因為巖石斷裂曲面的形貌蘊含著豐富的斷裂力學行為和力學機理[1-3]。

研究人員發現巖石斷裂曲面具有粗糙性、不規則性和復雜性等特征，專家們試圖用各種方法來刻畫這種復雜的形貌和量化不規則曲面的粗糙性。如使用了20世紀70年代才發展起來的分形幾何學、多重分形測度等，試圖從形貌學研究來尋求巖石斷裂的力學機理。

1 實驗方法設計與分析

現從數理統計學角度對巖石斷裂曲面上的一條中心剖線進行研究。

（1）實驗程序如下：首先，取材質相對均勻的花崗巖作為實驗對象，使用巖石鉆孔機、切割機和打磨機，制成直徑為11.2 cm、厚度為2.8 cm的巴西圓盤試件。然后，用實驗室中的伺服機對圓盤沿豎直方向進行巴西劈裂實驗，加載的速度是0.01mm/min，當載荷達到50.3kN左右時，圓盤從中間沿豎直方向斷裂開。從巖石力學角度講，該實驗是測試巖石的抗拉強度。最后，根據巖石力學原理，巖石在以上受力過程中，內層受力最均勻，因此要分別去掉矩形斷面的兩頭等距離的1.1cm，保留巖石矩形斷面的中心部分9cm長，所得數據最具代表性，用高精度巖石激光掃描儀對巖石斷裂曲面進行雙目掃描，以0.1 mm為間距，共掃描901組坐標數據。在掃描前為了防止斷裂表面的某些點反光，可以使用反差顯像劑噴灑在斷裂表面上。

（2）對巖石斷面進行分析。取矩形斷裂表面中沿加載方向的正中間一條剖線的二維坐標，用線性插值法獲取這條剖線的近似二維曲線圖像[4]（如圖1），用直線段（以下簡稱“步長”）作為圓的半徑，以曲線的左端點為起始圓心在平面內畫圓，來尋找下一個在圓內右側的“峰頂”（最高點），然后搭連曲線輪廓相近的兩個“峰頂”，取垂直于這個步長的法向量（如圖2），測定該法向量偏離豎直向上向量的角度[5]。依次類推，進行同樣的操作步驟，直至與曲線右端點處最近的峰頂。這里約定豎直向上的向量度數為零度，向左偏離的向量角度為負值，向右偏離的向量角度為正值。步長的選取≥掃描間隔（掃描間隔為0.1 mm），根據統計學對樣本數據的精度要求，該實驗的步長又要≤0.3 mm，所以這里分別以0.3，0.2，0.1mm為步長進行如上的測定，獲得這些以角度為樣本的數據。如果圓內右側無“峰頂”，則繼續以前一個圓與曲線的交點為圓心，步長為半徑畫圓，直到找到下一個右側的“峰頂”。

（3）用統計方法計算在同一尺度下的度數的樣本均值、中位數、極差、方差、標準差、偏度系數、峰度，畫出頻率直方圖和分布函數，并刻畫由中心剖線上得到的法向量的方向分布，比較不同尺度下法向量方向分布的差別[6-7]。現取一塊巴西圓盤壓斷后的兩個斷裂面為例，分別設為A、B面。

圖1 中心剖線的二維曲線圖

圖2 一條剖線的方向度量示意圖

1）A面的結果

①步長為0.3 mm時的法向量的度數數據的統計結果如表1所示。

樣本均值 中位數 極差 方差 標準差 偏度系數 峰度-0.2117-0.8593 149.5869 990.3574 31.4699 0.0488 2.8296

A.一組樣本數據的均值和中位數反映樣本數據的集中趨勢。樣本均值的計算公式為

其中，X1，X2，…，Xn為樣本。

B.極差、方差、標準差為描述樣本數據離中趨勢的統計量，其計算公式分別為

C.偏度與峰度為描述樣本數據形態的統計量。偏度反映的樣本數據分布的對稱性，偏度的計算公式為

當g1＞0時，稱為右偏，說明均值右邊的數據比均值左邊的數據更散；當g1＜0，稱為左偏，說明均值左邊的數據比均值右邊的數據更散；當g1接近于零時，稱為無偏倚，可以認為分布是對稱的。

峰度反映樣本正態分布的情況，其計算公式為

正態分布的峰度為3，當g2＞3，表示樣本數據中有較多遠離均值的數據，分布曲線比正態分布形狀更平坦；反之，當g2＜3時，樣本數據的分布曲線比正態分布的陡峭[8-9]。

另外，在分布函數圖中，當分布函數曲線與圖中的“虛直線”接近得越好，說明該數據分布越接近于正態分布。反之，若分布函數圖越偏離“虛直線”，說明該數據分布越偏離正態分布。由頻率直方圖和分布函數圖（見圖3、圖4）可以判斷度數數據近似服從正態分布，由偏度系數得出均值兩邊數據的離散程度相當，基本上屬于無偏倚。

圖3 步長為0.3mm時的頻率直方圖

圖4 步長為0.3mm時的分布函數圖

②步長為0.2 mm時的法向量的度數數據的統計結果為表2。

表2 步長為0.2mm時的法向量的度數數據統計結果單位：（°）

與步長為0.3 mm相比，度數數據的均值、中位數、極差、方差、標準差都升高了，但變化不大；方差和標準差增大，說明偏離均值的程度有稍許的增加；偏度等于零說明均值左、右兩邊的數據分散程度相當，屬于無偏倚狀況；峰度減小比較大，說明進一步偏離正態分布，分布曲線形狀比正態分布曲線形狀更陡峭。由頻率直方圖和分布函數圖（見圖5、圖6）可以看出度數的分布更偏離正態分布。

圖5 步長為0.2mm時的頻率直方圖

圖6 步長為0.2mm時的分布函數圖

③步長為0.1 mm時的法向量的度數數據的統計結果為表3。

表3 步長為0.1mm時的法向量的度數數據統計結果單位：（°）

與步長為0.2mm相比，各個統計量的值變化不是很大，樣本均值有微小的減小；中位數有微小的增加；極差未變，說明度數的變化范圍未發生改變；偏度系數仍為0，說明均值左右兩邊數據分布是對稱的；峰度進一步減小，說明數據分布進一步偏離正態分布。從頻率直方圖和分布函數圖（見圖7、圖8）可以看出頻率直方圖出現了兩個“峰頂”，而分布函數曲線進一步偏離圖中的“虛直線”。如果與步長為0.3 mm相比，樣本均值、中位數、極差、方差和標準差都增加了，說明樣本數據離開均值的程度增加了；而偏度系數減小至0，說明均值左右兩邊數據分布較對稱，屬于無偏倚；峰度減小且＜3，則說明度數數據分布進一步偏離正態分布。

圖7 步長為0.1mm的頻率直方圖

圖9 步長為0.3mm的頻率直方圖

圖8 步長為0.1mm的分布函數圖

圖10 步長為0.3mm的分布函數圖

2）B 面的結果

①步長為0.3 mm時的法向量的度數數據的統計結果為表4。

表4 步長為0.3mm時的法向量的度數數據統計結果單位：（°）

與A面的同步長0.3mm相比較，均值、中位數和極差變化很小；標準差減小，說明度數數據偏離均值的程度降低了；偏度系數由A面的大于0變成了小于0，說明均值左邊的數據比均值右邊更離散，但鑒于偏度系數仍然接近于0，所以近似認為是無偏倚的。由峰度為3.3077，又由頻率直方圖和分布函數圖（見圖9、圖10）可以看出度數分布近似服從正態分布。總體上與A面的尺度為0.3mm的度數的統計量相近。

②步長為0.2 mm時的法向量的度數數據的統計結果為表5。

與步長為0.3mm的情況相比較，方差與標準差的變化較大；偏度系數仍然小于0，但仍接近于0，所以仍屬于無偏倚狀況；峰度＜3，且與3的差距較大，說明度數分布進一步偏離正態分布，但仍然可以近似地接受為正態分布，相應的頻率直方圖和分布函數如圖11、圖12所示，但有一定的偏離。與A面同尺度0.2mm的情況相比較，情況基本類似。

表5 步長為0.2mm時的法向量的度數數據統計結果單位：（°）

圖11 步長為0.2mm時的頻率直方圖

圖12 步長為0.2mm時的分布函數圖

③步長為0.1 mm時的法向量的度數數據的統計結果為表6。

表6 步長為0.1mm時的法向量的度數數據統計結果單位：（°）

與步長為0.2mm的情況相比較，中位數降低了；方差和標準差增大了；偏度系數未變；峰度進一步減小，說明進一步偏離正態分布。總體來說，變化不明顯。頻率直方圖與分布函數如圖13、圖14所示。與A面同尺度0.1mm的情況相比較，情況基本類似。

圖13 步長為0.1mm的頻率直方圖

圖14 步長為0.1mm的分布函數圖

通過比較A、B兩面對應相同的步長（尺度相同）的法向量度數的樣本數據，可以得出它們的變化與結論也基本相似。說明A、B兩面上中心剖線上的法向量的度數分布在一定范圍內基本上是相近的。另一方面，在同一面上，法向量的方向分布與所選取的測量尺度有關，具有尺度效應。當尺度越小時，峰度越小，越偏離正態分布。反之，尺度越大時，峰度越接近于3，分布越接近于正態分布。無論尺度大小，偏度系數基本接近于0，說明均值左右兩邊的數據分布是基本對稱的，屬于無偏倚情況。

2 結束語

該實驗利用伺服機通過靜態加載將巴西圓盤壓斷，經高精度巖石激光掃描儀雙目掃描，在兩個斷面上取最具代表性的中心剖線上的中心一段，獲得法向量的度數數據。經過數理統計的方法分析，得出該粗糙曲線上法向量的度數分布具有尺度效應，即當尺度越大時，峰度越接近于3，分布越接近于正態分布。而另一方面，無論尺度大小，偏度系數基本接近于0，說明均值左右兩邊的數據分布基本對稱，屬于無偏倚情況。

對巖石斷面形貌學研究的最終目的是通過數值分析的方法來獲取巖石斷裂損傷過程記錄的信息，進而反推巖石斷裂的力學機理，發現巖石結構的組成和缺陷。但是巖石的宏觀結構和力學性質都表現出明顯的非線性特征，巖石斷面又具有相當復雜的不規則性和隨機性，因而國內外的研究工作進展的相對緩慢，目前還不能更好地應用于預測和指導工程實踐。因此，下一步的研究工作主要為3個方面：（1）繼續發展并完善已有方法的優點，最大限度地克服其缺點，試圖挖掘巖石斷裂的力學行為與其形貌之間的關系。（2）尋找新的方法來刻畫巖石斷面的形貌，并試圖追溯巖石斷裂的力學機制。（3）將已有的實驗成果盡可能地轉化為能夠指導巖土工程實施的理論依據。

[1]孫洪泉.矩形域上分形插值研究[J].數學物理學報，2009（3）：773-783.

[2]孫洪泉.分形幾何與分形插值[M].北京：科學出版社，2011.

[3]孫洪泉，謝和平.分形插值曲面及其維數定理[J].中國礦業大學學報，1998（1）：321-331.

[4]孫洪泉.分形插值曲面的Matlab程序[J].蘇州科技學院學報，2006，19（4）：18-21.

[5]Rasouli V，Harrison J P.Assessment of rock fracture surface roughness using Riemannian statistics of linear profiles[J].Int J of Rock Mechanics ＆ Mining Sciences，2010（47）：940-948.

[6]Belem T，Homand-Etienne H，Souley M.Quantitative parameters for rock joint surface roughness[J].Rock Mech.Rock Eng，2000，33（4）：217-242.

[7]Xie H，Zhou X W.Application of fractal theory to top-coal caving original research article[J].Chaos，Solitons S&S Fractals，Volume，2008，36（4）：797-807.

[8]魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[9]張化光.Matlab/Simulink實用教程[M].北京：人民郵電出版社，2009.