一類復蒙日－安培方程Dirichlet問題數值解探討(二)

殷慰萍

(首都師范大學數學科學學院，北京 100048)

0 引 言

本文是數值解探討(二)，引言與(一)相同，為方便讀者依然保留，看過(一)的讀者可以直接跳過引言．數值解法屬于計算機科學范疇的一個研究方向，本文用多復分析的方法來進行研究，因而本文是計算機科學和數學科學的交叉，或者說是數值計算與多復分析的交叉．

由于在一些領域，如:微分幾何、變分法、最優(yōu)化問題及傳輸問題等中的重要作用，近年來，經典的蒙日－安培方程及蒙日－安培型方程成為一個新的研究熱點．丘成桐認為復蒙日－安培算子，是微分幾何中5個重要的微分算子之一．他的最有影響且最重要的工作，例如，卡拉比猜測的證明以及負定第一陳類的緊Kaehler流形上Kaehler－Einstein度量的存在性，都各自等價于一類復蒙日－安培(Monge－Amp è re)方程的可解性．因此研究蒙日－安培方程是相當重要的．莫毅明，丘成桐和鄭紹遠在上世紀80年代初期證明了在高維的復數空間Cn中的任何有界的擬凸域D存在唯一的完備Kaehler－Einstein度量［1，2］．事實上他們證明了如下復蒙日－安培方程Dirichlet問題的多重強次調和函數解g的存在和唯一性．

此處的多重強次調和函數解g生成了域D如下的完備Kaehler－Einstein度量:

多重次調和函數g稱為多重強次調和函數是g要滿足如下條件:

由于蒙日－安培方程是完全非線性的，其求解一直是一個困難的問題．上面提到的丘成桐等人的工作也是僅僅證明了相應問題的解的存在性．他們從未給出解的表達式來，這比之于存在性的證明更為困難，因為從事微分方程研究工作的都知道解的具體表達式在絕大多數的情況下根本是求不出來的．因此對于具體的復蒙日－安培方程Dirichlet問題的求解，只能寄希望于數值解法．作者請教了很多專家，他們認為這問題很重要也很難，目前還沒有一個成熟的對復蒙日－安培方程的數值解法．

本文試圖對第二類Carten－Hartogs域上的復蒙日－安培方程的Dirichlet問題的數值解法作一個探討．作者不是探討該方程的數值方法的本身，而是把這個復蒙日－安培方程的Dirichlet問題轉化為一個非線性二階常微分方程的二點邊值問題，而后者的數值解法是有較為成熟的研究．這對純粹數學家而言，已經達到了所謂數值解法探討的目的，而且在具體計算上也大大降低了計算的復雜性．同時在一些特殊的情況下，得到了該方程的Dirichlet問題解的分析表達式，它可以作為檢驗該問題的數值解法的一個標準樣本．

第二類Cartan－Hargogs域的定義為:

其中RⅡ(p)是華羅庚研究過的第二類典型域，即

這里的Z是p階的對稱復矩陣，Z＞0表示矩陣Z是正定矩陣．珔Z，Zt分別表示矩陣Z的共軛和轉置．從YⅡ的Bergman核函數的顯表達式可知該核函數是Bergman窮竭的，因而YⅡ是一個有界擬凸域，所以下述問題(1)有解且惟一．本文探討如下的復蒙日－安培方程的Dirichlet問題的數值解:

Z1是把

中的元素zij按其上三角的元素次序排成一個具有個元素的向量，即

Z2是把 W 的元素排為(w1，w2，…，wN2)令

這樣，YⅡ中的點(Z，W)可以表示成具有N個元素的向量z=(Z1，Z2)．

本文首先把上述Dirichlet問題化為二階常微分方程的二點邊值問題，這樣就把問題(1)的數值解轉化為二階常微分方程的二點邊值問題的數值解，而后者是有較為成熟的研究的(參見［3］);其次，在一些特殊的情況下，得到了問題(1)的解的分析表達式．

1 準備知識

(1)以下變換是YⅡ(N2，p，K)的全純自同構，這些變換的集合記之為Aut(YⅡ):

這證明了上述變換是YⅡ(N2，p;K)的全純自同構．也可參閱［4］．由［4］可知，YⅡ的Bergman核函數已經求出，而且當點從內部趨向于邊界時，該核函數趨向于無窮，因而YⅡ是有界擬凸域．即總是(1)有解且惟一．

證．這可以直接計算而得，也可參閱［4］．因而任何以X為變量的函數F(X)都是在Aut(YⅡ)下不變．

就是域YⅡ的Kaehler－Einstein度量，由于該度量是不變度量，根據不變性，在(2)中的變換(Z*，W*)=F(Z，W)=F(z)下，就有

其中w*是z在F(z)下的像，也是復N維向量，即表示變換F的Jacobian矩陣，即

故

根據典型域熟知的理論［3］，我們有

這樣，當Z=Z0時，(3)式就變成

這就是問題(1)中第一式的左端的表示式，它可以通過YⅡ的全純自同構(2)而化為(4)式右端的形式．因此要計算(1)式的左端實質上只要計算

若g是問題(1)的解，則(4)式右端應當等于e(N+1)g，即

因此若取

則(6)式就等價于

由此可見，若(8)式左端能用X、G(X)及其導數表示，則(1)式中的蒙日－安培方程就等價于一個常微分方程了．答案是肯定的，詳見下節(jié)．

2 化蒙日－安培方程為常微分方程

為了方便計算，現在把(8)式左端的W*，w*改用W，z表示，計算完成后再恢復到原來情況．這樣就要計算

而

由(7)可知

因此(9)式變?yōu)?/p>

經過過計算得到:

其中Iαβ為p×p矩陣，若α =β，則位于α行和β列交叉處的元素為1，其余元素為0;若α≠β，則位于α行β和列交叉處的元素為，而在α列和β行交叉處的元素也是，其余元素為0．

所以

因而(10)式就變?yōu)?/p>

恢復到原來變量，由于M，M'，M″都是不變函數，因而上式變?yōu)?/p>

上式等于

由于對任意向量α，總有

因此上式等于

注意到(11)，而且上式就是(8)式的左端，因此(8)式就化為

這表示(1)中的復蒙日－安培方程等價于上述的常微分方程．因此問題(1)就等價于下述二階常微分方程二點邊值問題

因此問題(1)的多重強次調和函數解就是

其中G=G(X)滿足

而且是問題(14)的解．

3 蒙日－安培方程Dirichlet問題的顯式解

在一些特殊情況下，可以求得(14)的顯式解．令

把它代入(14)式的常微分方程，然后定出常數A．經計算，得到:

再計算得到:

因此有:

把(15)，(16)，(17)，(18)的結果代入(14)得到:

因此必須取

此時，滿足(14)中的第一個邊界條件，而且有

上式也就是

它是問題(1)的多重強次調和函數解，它顯然滿足問題(1)中的蒙日－安培方程而且．下面證明它也滿足邊界條件．為此，只要證明下面更一般的定理1就可以了．

是問題(1)的多重強次調和函數解．

證:首先，上述g顯然滿足(1)中的蒙日－安培方程，而且由．下面只須證明g也滿足(1)式中的邊界條件．

注1:在問題(14)中的條件“l(fā)imX→1G(X)=∞”對數值解而言是一個難點．但是可以用下述方法克服之．

注2:參考文獻［5］討論了當N2=1時的問題(1)的解，本文研究了N2為一般情況時問題(1)的解，而且所出現的常微分方程也不同．

注3:這里的Cartan－Hartogs域是華羅庚域的一種，它共有5種［6，7］．它們有一個共同的特點:設華羅庾域的任意一點的坐標為(W，Z)，那么總存在該域的全純自同構把(W，Z)變成(W*，0)．抓住這個特點可以給華羅庚域一個更為廣泛的定義:

注4:本文“數值解探討(二)”是探討第二類Cartan－Hartogs域上的復蒙日－安培方程Dirichlet問題的數值解．關于第一類、第三類和第四類Cartan－Harogs域上的復蒙日－安培方程Dirichlet問題數值解的探討，將分別發(fā)表于《數學進展》、《應用數學學報》中文版和《數學物理學報》中文版，有興趣的讀者可以到上述刊物上查找．

這證明了g也滿足(1)式中的邊界條件．至此，定理1得證．這樣，再結合(19)到(20)的敘述，下述定理2成立:

定理2

由(8)可知G(X)必須取正值，所以是

完全確定的．這樣問題(14)就變成如下的問題:

華羅庚域的新定義:設域H是CM+N中的包含原點的不可約有界單連通域，H中的點記為(W，Z)，其中W∈CM，Z∈CN，而且(W，Z)∈H，那么(W，0)∈H．若對H中的任意一點(W0，Z0)，在H的全純自同構群Aut(H)中存在一個元素F(W，Z)使得不是固定點，則稱H為華羅庚域．

這種華羅庚域也稱為分片齊性域，在個別情況下H是單片齊性域，即H本身就是齊性域，一般而言，齊性的片數有無窮多個，有時有連續(xù)統(tǒng)那么多．在極限情況M=0時，則華羅庚域的定義變成有界齊性域的定義了．因而華羅庚域可以看成是齊性域的推廣．

［1］Cheng S Y，Yau S T．On the existence of a complete K hler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation［J］．Comm．Pure App．Math，1980，33:507．

［2］Mok N，Yau S T．Completeness of the K hler－Einstein metric on bounded domain and the characterization of domain of holomorphy by curvature conditions［J］．Proc．Symposia Pure Math．，1983，39:41．

［3］Keller H B．Numberical Solution of Two－Point Boundary Value Problems［M］．Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics，1976．

［4］殷慰萍．第二類超Cartan域的Bergman核函數［J］．數學年刊，2000，21A(3):331－340．

［5］Zhao Xiaoxia，Yin Weiping，Zhang Liyou．Einstein－Kaehler metric on superCartan domain of the second type［J］．Progress in Natural Science，2004，14(3):201－212．

［6］殷慰萍．華羅庚域研究的綜述［J］．數學進展，2007，36(2):129－152．

［7］殷慰萍，趙曉霞，張文娟．華羅庚域的創(chuàng)建與研究［A］．陸啟鏗，殷慰萍．多復變在中國的研究與發(fā)展［C］．北京:中國科學出版社，2009．116－149．