一個數學應用實踐案例的剖析與思考*

陳曉江 黃曉東 高 嶺

（九江職業技術學院江西九江332007)

一個數學應用實踐案例的剖析與思考*

陳曉江 黃曉東 高 嶺

（九江職業技術學院江西九江332007)

數學應用實踐案例應取材于實際問題的真實任務。結合基于MatlabGUI的主軸回轉精度誤差計算器的完整開發過程，從案例編制的角度揭示了在案例取材、數學問題重述、數學模型及其計算的分析、Matlab編程等方面的要領，最后就數學應用能力的有效培養、工程技術文件的數學嚴謹性、案例的專業技能培訓功能三個方面提出了思考。

數學；應用實踐案例；主軸回轉精度誤差；MatlabGUI

數學應用實踐案例的開發是高職數學與專業結合的切入點，其目的是對高職數學課程進行有效的改革，提升數學教師的專業應用能力。那么，案例如何取材于真實的實際問題，案例在編制時如何將應用數學解決實際問題的全過程進行一定的去枝留干“手術”，以保證案例既作為適用于高職學生學用數學的真實情境，又成為培養相關專業技能的實訓項目呢？通過開發案例給數學教師在高職數學教學內容、教學方式和手段等方面的改革帶來哪些啟示呢？下面結合近期我們完成的一個真實的數學應用實踐案例進行初步剖析，同時提出三個值得深思的問題。

案例的取材過程

前不久，某研發實體開發了一種叫無磁雙軸轉臺（如圖1所示）的產品，該轉臺產品是一個高精設備，其中的精密主軸部件是保證其工作精度的核心。出廠前必須對主軸部件進行精度檢測，檢測標準為國防科技工業委員會1993年批準發布的《慣性技術測試設備主要性能試驗方法（GJB1801-93）》。其中，研發人員需要對檢測所得的測量數據進行誤差評定，原有的誤差計算小程序是采用過時的、繁瑣的命令行方式進行的，希望重新開發一個具有圖形用戶界面（GUI）的、便于攜帶的“主軸回轉精度誤差計算器”。

通過仔細研究相關背景資料，我們發現里面只涉及傅里葉級數和Matlab軟件的GUI編程兩個數學內容。我們意識到，這既是一個帶有普遍意義的制造業產品精度計算問題，又是高職制造類專業核心學習領域《機械制造基礎》誤差檢測方面的教學內容。因此，從取材角度看，非常適合于高職數學應用實踐案例的取材，可以較理想地開發編制成一個學用數學的真實情境。

同時，由于我國正由“制造大國”向“制造強國”邁進，加工中心和數控機床是我國制造業甚至許多高職院校已廣泛使用的高精設備。這些精密機床是實現精密加工的首要基礎條件。精密機床的質量取決于其關鍵部件，尤其是其精密主軸部件的質量。主軸的回轉誤差是影響機床加工精度的重要因素之一，它直接影響到加工零件的形狀精度和表面粗糙度。因此，設計開發一個基于“主軸回轉精度誤差計算器”的數學應用實踐案例，對于制造類專業的學生開展機床主軸回轉誤差的測試技術研究，同樣具有重要意義，甚至可以延展為培養技能的專業實訓項目。因為，通過回轉誤差的測試，可預測機床在理想加工條件下所能達到的最高精度，進行機床加工預測補償控制；也可以判斷產生加工誤差的原因，以及機床的狀態檢測和故障診斷等，甚至開展在線動態測試技術的研究，后續的專業縱深研究空間非常大。

圖1 無磁雙軸轉臺圖

案例的編制及要領分析

按照GJB1801-93標準，轉臺主軸采用雙向測量法進行。由于該方法忽略了平面鏡的面型誤差，混入了由于光管零位和平面鏡與主軸軸線安裝不垂直形成的誤差，因而需要對測量數據進行消除這些誤差的處理，然后才能進行誤差結果的評定。下面將該案例的數學問題采用數學語言進行整理描述。

（一）數學問題重述

設雙向測量法所得主軸從零度位置開始的n個均勻間隔轉角位置的水平和垂直方向的兩組測量值為Wxi、Wyi，對測量值的數據處理及誤差結果評定方法如下。

1.數據處理

因為測量值是被測軸轉角的周期函數，所以先將兩組測量值Wxi、Wyi展開成傅里葉級數:

式（1）、（2）中i=1，2，…，n；k 為諧波次數；

零次和一次項傅里葉級數的系數為ax0、ay0 及ax1、bx1、ay1、by1，單位:（″）。

然后從傅里葉級數中扣除光管零位和平面鏡與軸線安裝不垂直造成的零次和一次諧波分量，得到回轉誤差的兩個正交分量ΔWxi、ΔWyi:

2.誤差結果評定

結果用最大回轉誤差表示:W=±Max{Wi}。

在該產品的實際檢測中，若傾角回轉誤差W≤±4″，則俯仰軸回轉精度符合要求。

（二）數學模型及其計算的分析

該問題的核心數學模型是傅里葉級數。傅里葉分析原理表明:任何周期函數都可以用相互正交的正弦函數和余弦函數構成的無窮級數表示。

實際上，盡管單圈測量的回轉誤差信號是隨機的，但在理想的情況下，比如多圈測量且間隔角度無限小時，回轉誤差信號則是在圓周方向以2π為周期的連續隨機變化的信號。因此，將單圈隨機變化的回轉誤差信號表示成各階有規律的相互正交的正弦和余弦分量的疊加后，可以對各階諧波信號進行分析，進而得出產生回轉誤差的原因。式（1）、（2）表示的離散數據傅里葉級數模型是回轉誤差的諧波分析的思想基礎。

這里，將測量值Wxi、Wyi展開成傅里葉級數后，其中的零次和一次項就是由于安裝產生的誤差，我們要做的只是在回轉誤差計算中予以剔除即可，以保證測量結果的精確性。

正因為如此，模型計算時并不需要對兩組離散數據完整地展開為傅里葉級數。實際上，這里只涉及傅里葉級數的常數項和一次項的計算問題，即水平和垂直方向上各計算出1個常數項系數和2個一次項系數就行。

至于轉角θi取值的問題，按照雙向測量法的要求，主軸轉動時是均勻的，即每間隔相同的角度轉動主軸一周進行測量，比如對0°、15°、30°…、345°諸位置進行讀數，則表示在區間[0°，360°）內按15°角度的間隔得到個位置的某個方向上的測量值。因此，某方向如果測量n次，則轉角θi將從0弧度開始，每隔步長為取值，一直取到最后一個值

（三）MATLAB的GUI編程分析

MATLAB是美國MathWorks公司發布的面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環境。它能用矩陣方式高效處理數據，數值計算及編程功能強大，同時具備人機交互式的圖形用戶界面（GUI）設計。在進行試驗性的模型數值計算M文件編程后，“主軸回轉精度誤差計算器”的GUI編程設計關鍵點如下。

1.圖形界面設計部分

“主軸回轉精度誤差計算器”應滿足用戶根據檢測需要可方便地輸入任意維數的數組向量，同時自動檢查是否輸入了非數字，以及水平和垂直方向上的兩組向量的維數是否一致。因此，設計時將2個Edit Text均采用行矩陣方式輸入，并用1個StaticText提示數據輸入格式樣例，另外的4個StaticText用于注釋和顯示誤差計算結果。

2.后臺程序設計部分

在編寫圖形界面中唯一的PushButton相關M文件程序代碼時，一是注意將用戶輸入的文本型格式數據轉換為數值型格式數據，二是設定數組向量的維數為輸入數據矩陣的第2個參數，即n=size（wx，2），同時給出相應維的轉角數組為:θ=0∶2*pi/n∶2*pi-2*pi/n，打包發布后，最終完成該專用計算器的制作任務（誤差計算實例如下頁圖2所示）。

案例引發的問題思考

回顧從案例的選材到案例編制的全過程，我們深深感到仍有許多問題值得進一步思考，這里僅列舉如下三點拋磚引玉。

1.如何有效培養高職學生的數學應用能力？傳統的高職數學教學中，數學應用能力的培養往往是通過圍繞一個數學知識列舉一些實際問題中的應用而展開的。本案例中的傅里葉級數在回轉誤差分析中的應用表明，傳統方式不可能深入到如此具體工程意義的分析和研究。而現階段高職院校的校企合作、工學結合的專業高技能人才培養模式為基于真實任務的數學問題解決方式培養學生數學應用能力提供了豐富的土壤，尤其是取材于工程實際問題的真實任務，是有效培養學生數學應用能力、實踐能力和創新精神的重要資源，這樣的資源急需大量地開發出來。

2.工程技術文件總是正確的嗎？考慮到案例的背景是真實的實際問題，盡管理解相關的工程問題對于數學教師來說需要花費大量的時間，但這是我們提取出里面蘊含的數學問題的基礎，是必須經歷的首要過程。因此，編制案例前應與專業技術工程人員共同查閱和討論工程技術文件，并用數學的眼光仔細核對其中的數學模型乃至數學表達式，對不嚴謹或錯誤的地方要及時指出并修改。比如作為工程標準的《慣性技術設備主要性能試驗方法（GJB1801-93）》第6頁的式（101-1）、第7頁的式（101-2）、（101-3）、（101-4）出現下標及表達式的錯誤，應分別按本文中的（1）-（6）式進行修正。

圖2 主軸回轉精度誤差計算器的截圖

3.案例可否用于高職專業教育中的技能實訓項目？數學應用實踐案例當然首先要保證在數學教學中的使用。但如果僅限于此，這樣的案例仍是驗證式的，也許最多算是解釋了一下數學能用的道理而已。如果案例完成之后還有進一步改進和研究的空間，甚至可以作為專業技能實訓項目，那么，這樣的案例背后一定是具有生命力的真實工程技術問題了。比如，本文中案例涉及的檢測方法目前就有更先進的CCD測量法，而誤差評定方法也有不同優缺點的另外4種方法:最小包容區域法、最小外接圓法、最大內切圓法和最小二乘法。對于相關專業的學生來說，接下來的研究會更有意義。

[1]陳曉江.應用實踐案例開發：高職數學課改的新探索[J].九江職業技術學院學報，2011（3)：26-27.

[2]國防科學技術工業委員會.中華人民共和國軍用標準GJB1801-93慣性技術測試設備主要性能試驗方法[S].1993-10-20.

[3]闞光萍.超精密空氣主軸回轉精度的測量與數據處理[J].航空精密制造技術，1999（3)：5-7.

[4]陳長浩.主軸運動精度的測試與研究[D].北京：北京工業大學，2010：10-16.

G712

A

1672-5727（2013）09-0132-03

陳曉江（1967—)，男，江西九江人，碩士，九江職業技術學院教授，圖書館館長，研究方向為高職數學教育和數字化信息資源建設。

2011年江西省高等學校教學改革研究省級立項課題《高職教育制造類專業的數學應用實踐案例開發研究》（課題編號：JXJG-11-30-6)