感生電場的計算

丁成祥 吳大艷

（安徽工業大學 數理學院，安徽 馬鞍山 243002）

在大學物理課程的電磁感應部分的教學過程中，感生電場的計算是一個很重要的內容.但是在國內一些很著名的教材中［1，2］，關于感生電場的計算只有一個例題，即無限長均勻變化磁場所產生的感生電場，而且是軸對稱情況下的問題.很少見非軸對稱情況下的例題，這未免讓人感到遺憾.所以我們在本文中給出兩個簡單的非軸對稱情況下的例題，供廣大從事大學物理課程教學的同仁參考.

1 回顧

首先我們回顧課本中常見的例題，如圖1所示，在半徑為R的圓柱形區域內有沿著軸向的均勻變化磁場，磁場變化率為k＝?B，試求柱形區域?t內外的感生電場強度E.求解這一問題，可以利用法拉第電磁感應定律及問題的軸對稱性質，得

其中，積分路徑為距離中心為r的圓；S為圓所包圍的區域.E的方向總是沿著圓的切線方向.經過簡單的運算，即可得到E的大小為

圖1 軸對稱均勻磁場及其感生電場

從教學的角度來說，此題可以做個簡單的修改以形成其他的例題讓學生練習.但如果希望計算仍然如此簡單，則必須保持軸對稱性質，比如將上述圓形區域改成圓環形區域，計算仍然是很簡單的，不再贅述.但如果破壞了軸對稱性質，問題一般比較復雜，后文將看到這一點.

2 感生電場計算的一般方法

關于感生電場計算的一般方法，國內已經有不少學者對此做過研究，提出了很好的計算思想和公式.我們總結一下，這些方法可以分為兩大類.一類是直接利用法拉第感應定律的微分公式來計算，代表性的文章如文獻［3］；這樣的方法，要求學生有較好的數理基礎，最好是學過《數學物理方法》.但是感生電場的計算問題在大學的學習過程中，一般是在大學物理課程中開始接觸，而數學物理方法課程一般都是開設在大學物理之后，所以用微分公式計算的方法不適合于在大學物理課程中的教學.另一類主要是利用場疊加原理來計算，例如文獻［4、5］；其中文獻［4］提出了計算感生電場的一般公式

式中各參量的含義請參看文獻［4］.

文獻［5］提出了一個形式上類似于畢奧-薩伐爾定律的公式：

公式 （3）和 （4）原則上都能計算感生電場，但是能直接解出的問題不多.其原因在于數學上的困難，特別是積分上的困難，這是我們要用數值方法來計算的原因.

3 非軸對稱情況下的感生電場計算

利用上節所提出的方法，特別是場疊加原理，我們計算幾個簡單的非軸對稱情況下的例子.由于非軸對稱情況下的積分運算是非常麻煩的，所以我們將利用 Mathematica編程給出數值結果.這些結果將使學生對感生電場的性質有更深入的理解.

圖2 感生電場的計算

其中，r0′代表沿r方向的單位矢量.以式（5）為基礎，利用電場的疊加性，原則上可以求出任意形狀的均勻磁場變化時所激發的感生電場.

由于電場是矢量，需要分別計算沿著x方向和y方向的分量，其中

其中，φ是P點位矢的極角，對存在磁場的區域積分，即得

類似的可以導出

進而得到

式（7）、（8）、（9）是我們進行數值計算的基本公式.如果磁場的形狀不一樣，只需改變積分的區域即可.

3.1 例一，圓形情況的驗證

即Ex隨著極角φ按照余弦函數的規律變化，Ey是隨著極角φ按照正弦函數的規律變化.按照公式（7），用 Mathematica編程計算Ex的源代碼如下：

Clear［"｀＊"］

imax＝40；

stp＝2.0＊Pi／imax；

EE＝Table［0，｛i，imax＋1｝，｛j，2｝］；

k＝1.；

R＝1.；

l＝2.；

Do［phi＝（i-1）stp；

Ex＝NIntegrate［k／（2＊Pi）＊（y-l＊Sin［phi］）／（（y

-l＊Sin［phi］）＾2＋（l＊Cos［phi］-x）＾2），｛x，-R，

R｝，｛y，-Sqrt［R＾2-x＾2］，Sqrt［R＾2-x＾2］｝］；

EE［［i，1］］＝phi；

EE［［i，2］］＝Ex，

｛i，imax＋1｝］；

Export［"d：＼Ex.dat"，EE］；

以上代碼在 Mathematica 5.0上調試通過，計算結果存放于數據文件d：＼Ex.dat中.

圖3 圓形均勻磁場變化激發的感生電場的x分量隨著角度φ變化的曲線

圖3是Ex的數值結果和解析結果式（10）的比較，圖中的點是數值結果，曲線是按照式（10）給出的理論結果，可以看出數值結果和理論結果完全吻合，這說明我們的計算是正確的.

3.2 例二，大圓挖去小圓

如圖4所示的區域（大圓中挖去一個小圓）中有均勻磁場，磁場變化率為計算感生電場.這樣的問題，雖然不具有軸對稱性質，但是仍然可以精確計算，計算的技巧是利用補償法.

圖4 補償法計算感生電場

設想整個大圓區域都有磁場，且磁場變化激發的感生電場為E；設想小圓區域也有磁場，激發的感生電場為E1.對于我們要求解的問題，感生電場應該是E和 -E1的疊加，即E＝E-E1.利用式（1），很容易算出（見圖4），從而得到E的分量為

我們希望給出Ex，Ey隨位置 （r，φ）變化的函數，這需要明確算出α；在三角形OO′P中，利用余弦定理和正弦定理可得

綜合式（14）及（15）可得

利用數值方法可以驗證上述結果.圖5是在k＝1，R＝1，r＝1.5的情況下，E隨著φ的變化曲線，其中的點是數值結果，曲線是按照式（19）給出的理論結果.從圖中可明顯的看出，E的大小不再保持不變，在φ＝0和φ＝2π的地方出現極小值，φ＝π的地方出現極大值.圖中，Num表示數值結果，Exa表示理論結果.

圖5 大圓挖去一個小圓區域的均勻磁場變化激發的感生電場隨著極角φ的變化曲線

圖6（a）是Ex隨著φ變化的曲線（k＝1，R＝1，r＝1.5），可以看出，Ex的曲線非常像一個正弦曲線，但實際不是，嚴格的變化表達式是式（17）.但是可以想象，當r→∞，Ex的曲線將變成一個嚴格的正弦曲線；因為當r→∞ 的時候，中心磁場的形狀是無所謂的，對應感生電場的變化規律必然和圓形磁場所激發的感生電場的行為一樣.這一點也可以直接從式（17）看出，當r→∞時候，等式右邊第二項趨于零，退回圓形情況的表達式.

類似地，Ey的變化規律也不再是嚴格的余弦曲線，如圖6（b）所示.圖中Num表示數值結果，Exa表示理論結果.

圖6 大圓挖去一個小圓區域的均勻磁場變化激發的感生電場x分量（a）和y分量（b）隨著極角φ的變化曲線

3.3 正方形

對于正方形的情況，只能直接利用數值方法，程序和3.1節圓形情況相類似，但需適當修改積分限.圖7是一個在R＝1（即正方形邊長為2），k＝1，r＝1.5情況下，電場強度的大小E和Ex隨著角度φ的變化規律.可以看出，正方情況下，E隨著φ的變化的行為變得更加復雜，其變化的周期是π／2，這明顯不同于圓形情況，也不同于3.2節的問題.Ex變化的周期仍然是2π，但變化方式顯然不再是正弦曲線.

圖7 正方形區域的均勻磁場變化所激發的感生電場的E和Ex隨著極角φ的變化曲線

4 總結和討論

在本文中，我們總結了計算非軸對稱情況下的感生電場的理論方法；并利用場疊加原理，給出了用數值方法計算均勻磁場所激發感生電場的Mathematica程序.利用該程序，我們驗證了軸對稱情況下的結果，并計算了兩個非軸對稱情況下的例子.我們希望這些結果對大學物理課程的教學有所裨益，也希望這些結果能幫助低年級的學生更好地理解感生電場.

本文的計算僅限于磁場區域外的情況，其實磁場區域內部的計算也可以用本文的方法.此外，利用場疊加原理，將本文中的程序代碼適當修改，也是可以計算非均勻磁場變化所產生的感生電場的；這些問題留待以后討論.

［1］梁燦彬.電磁學［M］.北京：高等教育出版社，1980：380～383.

［2］趙近芳.大學物理學（下冊）［M］.北京：北京郵電大學出版社，2011：103～105.

［3］Δ×E＝-?B［J］.， 楊植宗.用?t計算感生電場物理與工程2003，13（1）：15～17.

［4］孟憲顯.感生電場的格林函數法［J］.南京化工學院學報，1992，14（2）：56～58.

［5］白建忠.感生電場場強分布的一個計算方法［J］.安徽大學學報，1995，增刊：46～48.