落球法測液體粘滯系數實驗的理論分析

曹春梅 甄 釗

（1華北電力大學數理系，河北 保定 071003）

（2華北電力大學電氣與電子工程學院，河北 保定 071003）

液體粘滯系數是液體的重要性質之一，在工程、生產技術及醫學方面有著重要的應用.測量液體粘滯系數有多種方法，對粘滯系數較大的液體如甘油、蓖麻油等液體，實驗室常采用落球法測量其粘滯系數.其方法是在裝有被測液體的圓柱形玻璃筒內，使小球由靜止開始沿圓柱中心軸線在液體中下落，小球運動過程中除受到重力、浮力作用外，還受到液體對小球的粘滯阻力作用，該力的描述通常由著名的斯托克斯公式給出：f＝6πrηv，其中，r為球體半徑；v為球體運動速率；η為液體粘滯系數.該式在液體無限廣延、且雷諾數的值遠小于1時才正確.考慮到圓筒直徑R和筒內液體的深度H有限對小球運動的影響，雷諾數大?。▽嶋H應用落球法時，小球的運動不會處于高雷諾數狀態，一般Re值小于10）對粘滯阻力的影響，則斯托克斯公式應修正為［1～4］

因此，質量為m的小球在液體中的運動微分方程為

1 雷諾數修正項的影響

根據奧西恩－果爾斯公式，當雷諾數不太大時，考慮雷諾數的影響，粘滯阻力的二級近似表達式為中的三項分別稱為對斯托克斯公式的零級修正項f0＝1、一級修正項和二級修正項

將小括號因子Re2.圖1給出了當Re≤5時各修正項隨Re值的變化.由圖1可知，零級修正項較之一級修正項和二級修正項均偏小，當Re≤0.5時，忽略一級修正項和二級修正項引起的粘滯阻力相對誤差不超過10%；而當0.5＜Re＜2.0時，此時修正項明顯不可忽略，保留到一級修正項對結果的影響在10%之內，而僅考慮零級修正項引起的相對誤差可達10～30%；當Re＞2.0時，應保留至二級修正項，此時保留到一級修正項的結果引起的相對誤差已超過10%，而僅考慮零級修正項引起的相對誤差高達40%.

圖1 各級修正項隨雷諾數Re的變化曲線

2 粘滯系數η、落球直徑d對雷諾數Re的影響

由式（1）可知，小球剛剛進入液體時運動速率較小，相應的阻力也較小，重力大于粘滯阻力和浮力，所以小球做加速運動，隨著小球速率越來越大，阻力越來越大，加速度越來越小.當小球速率達到某一值時，所受合外力為零，趨于勻速運動，此時速率稱為終極速率.令式（1）中＝0，可得終極速率隨粘滯系數η變化滿足的關系式為

若落球為小鋼球，則ρ＝7.9×103kg／m3，若液體為常用的蓖麻油，忽略溫度變化對密度的影響，則ρ′＝0.96×103kg／m3，根據一般實驗所用圓筒，取圓筒直徑D＝0.0672m，圓筒內液體的高度H＝0.5340m.取小球直徑分別為d＝1.0、1.5、2.0、2.5、3.0、3.5、4.0（單位：10－3m）共7個量值，由式（2）可得小球以終極速率運動時雷諾數Re隨粘滯系數η變化的計算結果如圖2所示.

圖2 不同落球直徑下粘滯系數η對雷諾數Re的影響

根據相關文獻查得不同溫度（≤40℃）蓖麻油粘滯系數見表1，對應每一溫度的粘滯系數，由式（2）可得小球以終極速率運動時雷諾數Re隨小球直徑d變化的計算結果如圖3所示.

表1 不同溫度蓖麻油粘滯系數

圖3 不同粘滯系數下落球直徑d對雷諾數Re的影響

從圖2可知，對一定直徑的小球在蓖麻油中的運動，雷諾數Re隨著粘滯系數η的增大而減?。挥蓤D3可知，一定的粘滯系數下，雷諾數Re均隨著落球直徑的增大而不同程度地增大.分析圖2、圖3還可有如下結論：只要落球直徑小于或等于2mm，蓖麻油溫度不高于40℃時，雷諾數Re的值均不大于0.5；落球直徑為2～4mm之間，但蓖麻油溫度低于25℃使其粘滯系數較大時，雷諾數Re的值也不大于0.5.

3 小球運動分析

根據以上分析，一般實驗室條件下，蓖麻油溫度低于40℃，落球直徑選取小于2mm，即可滿足Re≤0.5，因此一級修正項和二級修正項均可忽略，故小球所受的粘滯阻力表現為常用的斯托克斯公式形式f＝6πrηv，其運動的動力學方程可簡化為

對式（3）的定性分析不難得出小球半徑越大，粘滯系數越小，達到終極速率的時間越長，而達到終極速率前下落位移也越大.在保證Re≤0.5的條件下，取溫度40℃時較小的蓖麻油粘滯系數為η＝0.231Pa·s，較大的落球直徑d＝2mm，其他參量取值與上面相同，積分式（3），并以初始條件t＝0時v0＝0、x0＝0代入后，分別給出小球運動速率和位移隨時間變化的關系式如下：

圖4給出了小球下落的位移、速度與時間的關系曲線.由圖4及相應計算結果可知，實驗中落球在液體內很快達到了終極速率而勻速運動，若令v＝0.9999v終極時認為小球已到達終極速度，則所需時間計算為t＝0.0649s，此時小球到達液面下x0＝3.5133mm處.顯然這一具體結果與落球直徑及液體粘滯系數有關，在滿足Re≤0.5實驗條件下取不同的落球直徑和粘滯系數，計算相應的t、x0值，計算出的t、x0值不同，t值為10－2s量級，因此幾乎可以認為小球在下落到液面下方后瞬時達到終極速率而勻速運動，這與文獻［5］的分析結果一致.而x0均不超過幾個毫米，這就以小球在液體內下落距離作基準為小球在液體內開始勻速運動的判定提供了理論依據，更便于實驗中小球勻速運動起點的測量.

圖4 落球下落的位移、速度隨時間的變化

4 結束語

在實驗誤差允許的范圍內，從理論分析方面給出了斯托克斯公式成立的條件為雷諾數Re≤0.5，并用圖示標定了不同落球直徑、不同粘滯系數（對應不同溫度）蓖麻油對應的雷諾數數值，為實驗中根據不同溫度（≤40℃）的蓖麻油選取適當直徑的落球以滿足Re≤0.5提供了參考.在滿足Re≤0.5條件下，計算了不同粘滯系數、不同落球直徑對應的小球達到終極速率前下落的時間和距離，證實了用落球法測蓖麻油粘滯系數時，小球從液面靜止下落達勻速運動所用的時間是10－2s量級，下落距離為幾個mm量級，為小球在液體內何時何處開始勻速運動提供了理論依據.

［1］ 沈元華，陸申龍.基礎物理實驗［M］.北京：高等教育出版社，2003.119～122.

［2］ 劉偉，邱曉明.大學物理實驗教程［M］.大連：大連理工大學出版社，2000.93～96.

［3］ 王文周.關于落球法測粘滯系數的公式和使用范圍［J］.物理實驗，1991，11（2）：49～50.

［4］ 鄭勇林，楊曉莉，楊敏.落球半徑對測量粘度的影響［J］.物理實驗，2003，23（9）：42～44.

［5］ 王麗娟，張平.探究落球法測液體粘度實驗中小球達勻速運動所需的時間［J］.物理實驗，2009，29（1）：37～39.