一種閾值化的小波圖像去噪算法

薛明志，李天鈞

(1.商丘師范學院 數學與信息科學學院，河南 商丘 476000;2.鄭州大學 軟件學院，河南 鄭州 450001 )

0 引 言

圖像處理過程涉及數字圖像的采集、傳輸等環節，每一個環節都可能出現圖像的噪聲.而這噪聲會對圖像的處理環節，如分割、增強、檢索等產生直接影響.因此，許多學者討論了圖像去噪算法.

使用小波變換是進行圖像去噪的一種有效方法，原因在于小波變換具有多分辨率、快速算法等特點.據我們所知，小波系數相關性原理、小波變換模極大值原理和小波系數閾值化函數是三種常用的去噪方法.關于小波基本理論、變換和小波在圖像的應用，見文獻［1］.特別指出的是，Donoho 于1995年針對圖像去噪提出了小波閾值萎縮法［2］.該方法比較好，它根據圖像噪聲及信號在小波變換后的幅度分布進行相應展開.盡管如此，可也會出現偽吉布斯現象等視覺失真的缺點;而軟閾值方法會造成高頻信息丟失、邊緣模糊等失真.因此，很多學者都針對性地提出了一些解決方案和改進方法，如多項式插值法、軟硬閾值折衷法、模平方處理法、最大似然估計法、半軟閾值法和修正軟閾值法等［3－5］.鑒于上述分析，本文給出新的閾值化函數，以達到提高信噪比、改善去噪效果.最后進行了仿真試驗，實驗表明，我們構造的函數可以改善硬、軟閾值化方法中存在的邊界模糊和振蕩，也顯示出在閾值化處理過程中具有自適應性.

1 Mallat的去噪原理

Mallat的結果［6］為

定理1 設0≤n≤1，函數f(x)定義在［a，b］上.那么f(x)滿足一致的Lipschitz 指數n 當且僅當存在常數k ＞0，使?x ∈［a，b］有

在(1)式兩邊取對數得

在小波變換后域中，有效信號的性態表現與隨機噪聲的表現有所不同，因此當尺度變化時，兩者的小波系數幅度變化出現相反的態勢.這樣，如果變換尺度較大，那么可認為信號完全主導了小波系數;如果變換尺度較小，那么可認為噪聲幾乎完全控制了小波系數.正是這個特性才是我們有理由說明，小波變換后可以辨別噪聲與信號.但在應用中，使用小波對圖像去噪往往是先設定閾值，然后分離信號和噪聲.這種方法的依據就是某分解尺度下具有不同的噪聲小波系數幅度與信號小波系數幅度.

2 改進的閾值算法

2.1 Donoho 閾值算法

D.L.Dohono 提出的閾值化方法(［2］)可以分為硬閾值法與軟閾值法.

硬閾值化方法規則為

軟閾值化方法規則為

圖1 硬閾值化(左)和軟閾值化(右)方法Fig.1 The method of hard threshold (left)and soft threshold (right)

2.2 閾值算法的改進

本文結合軟、硬閾值化函數的不同特點，構造了一種新的閾值函數:

其中α 與β 為調節參量，α ≥0，0≤β≤1.

以下對函數連續可導性進行考察:

此外，階次的調節是可由α的不同選擇而實現:α=0 且β=1 是軟閾值化;α=0 且β=0 是硬閾值化，此時閾值函數為原信號函數;α→+∞且0≤β≤1，也是硬閾值化函數.因此，給出的新函數就是介于硬、軟閾值化之間的可調整函數.在具體應用中，為達到最佳效果，我們可調整參量α 和β 來處理不同的圖像.

2.3 仿真實驗

我們取用雙正交小波函數bior6.8，同時選4 層分解層.將這里改進的閾值、軟閾值和硬閾值分別作用于含有隨機噪聲的sinsin 圖像來實驗圖像去噪.在實驗中，α 取3，β 取0.5，并且每層上的經驗系數取Birge－Massart 策略中的經驗系數.下圖為仿真效果圖.

圖2 不同閾值化方法作用后的效果圖Fig.2 The effective image processed by different threshold methods

以下通過均方誤差MSE 和峰值信噪比PSNR 兩項指標對去噪效果進行統計計算.對于一幅像素為N×M的圖像，定義均方誤差MSE 為

定義峰值信噪比為

其中fmax=maxf(n，m);n=0，1，…，N－1;m=0，1，…，M－1;f(n，m 和^f(n，m)分別為圖像在(n，m)位置上的像素的灰度值和經去噪后的灰度值.

實際應用中，由于圖像各種各樣及它們包含的噪聲也不盡相同，所以最終會采用不同的參數.下表給出了實驗數據統計結果.

表1 圖像閾值化去噪后的MSE 和PSNR 統計Table 1 Statistics of MSE and PSNR processed by image threshold de－noising

3 結 語

本文首先對Dohono的硬、軟閾值化方法存在的問題進行了分析;其次，針對存在問題，構造了新的閾值化函數，該函數通過調整參量α 和β的取值可達到較優的小波系數閾值估計.最后進行了仿真試驗，試驗結果表明，新方法可較好地去掉圖像中噪聲，并且有效地彌補了Dohono的硬、軟閾值化方法中存在的一些不足，如邊緣模糊、高頻信息“過扼殺”等，以及偽吉布斯效應、振蕩等視覺失真.

［1］李登峰，楊曉慧.小波基本理論與應用實例［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［2］Donoho David L.De－noising by soft－thresholding［J］.IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3):613－627.

［3］付煒，等.一種改進的小波域去噪算法［J］.計算機工程與應用，2006，42(11):80－81.

［4］劉衛東，等.小波閾值去噪函數的改進方法分析［J］.高電壓技術，2007，33(10):59－63.

［5］張弦，等.一種改進的小波閾值去噪方法［J］.微計算機信息，2007，23(11－1):309－311.

［6］Mallat S.Singularity detection and processing with wavelets［J］.IEEE Trans on Information Theory，1992，38(2):617－643.