關于幾類2階ai-半環生成的簇的研究

楊文玲,任苗苗,邵勇

(西北大學大學數學系,陜西西安 710127)

關于幾類2階ai-半環生成的簇的研究

楊文玲,任苗苗,邵勇

(西北大學大學數學系,陜西西安 710127)

借助半環的格林關系研究了由所有2階ai-半環生成的半環簇S2的一些子簇.

其次,定義了與S2中半環的元素相關的同余關系,并揭示了同余關系之間的聯系.

半環;格林關系;簇;同余

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.05.009

1 引言及預備知識

設(S,+,·)是一個(2,2)-型代數,其中+和·是S上的二元運算.若S滿足下列條件:

(1)(S,+)是交換半群;

(2)(S,·)是半群;

(3)a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c(?a,b,c∈S).

則稱(S,+,·)是半環.由此可見半環是環和分配格的共同推廣.所謂的半格是指交換的冪等元半群.加法半群為半格的半環簡稱為ai-半環.眾所周知,半格的自同態半環是ai-半環,且每一個ai-半環可嵌入到某一個半格的自同態半環中[1].設S是半群.P(S)(Pf(S))表示S的非空(有限)子集的全體.在P(S)上定義+和·如下:

則P(S)和Pf(S)成為ai-半環.事實上,若X+表示自由半群,則Pf(X+)是所有ai-半環作成簇的自由對象[1].

許多學者對ai-半環進行了研究[2-7].文獻[7]引入了半群的閉子半群的概念,進而給出了所有乘法半群是帶的ai-半環作成的簇的自由對象的模型.其后,文獻[2-4]證明了上述簇的子簇格是分配格,且有78個元素.此外,每一個子簇都是有限基底的和有限生成的.在上述文獻的基礎上,本文研究所有2階ai-半環生成的簇.

容易驗證,在同構意義下有6個互不相同的2階ai-半環,分別記為L2,R2,M2,D2,N2和T2,其運算表如下.

表1 L2,R2,M2,D2,N2和T2運算表

證明得到

為了應用方便起見,下文均用ab表示a·b,Con(S)表示半環S上所有同余所構成的集合.對于給定的半環S,HSP(S)表示由半環S所生成的簇.文中沒有給出的概念和符號可以參考文獻[8-9].

本文首先利用半環的格林關系研究了由所有2階ai-半環生成的半環簇S2的一些子簇,給出了這些子簇的基底.其次,定義了與S2中半環的元素相關的同余關系,并對同余關系之間的聯系進行了研究.

2 主要內容

表2 L2×N2的加法運算表

表3 L2×N2的乘法運算表

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The study of som e classes of the varieties generated by ai-sem irings of order tw o

Yang Wenling,Ren M iaom iao,Shao Yong

(Departm ent of M athem atics,Northwest University,X i′an 710127,China)

In this paper,we study som e subvarieties of the variety S2generated by all ai-sem irings of order tw o by Green′s relations of a sem iring.A lso,we defne some congruenceswhich are related to elements of a sem iring in S2and show the relationships of these congruences.

sem iring,Green′s relations,variety,congruence

O153.3

A

1008-5513(2013)05-0498-09

2013-04-10.

陜西省自然科學專項基金(2011JQ 1017);西北大學科學研究基金(NC0925).

楊文玲(1988-),碩士生,研究方向：代數學.

2010 MSC:16Y60