二叉樹上分枝馬氏鏈的強大數定理

黨慧,楊衛國,高榮,石志巖

(江蘇大學理學院,江蘇鎮江 212013)

二叉樹上分枝馬氏鏈的強大數定理

黨慧,楊衛國,高榮,石志巖

(江蘇大學理學院,江蘇鎮江 212013)

首先給出了在可列狀態空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈定義的離散形式,然后建立了二叉樹上分枝馬氏鏈的若干強極限定理,最后研究了二叉樹上有限狀態分枝馬氏鏈的強大數定理.

二叉樹;分枝馬氏鏈;強極限定理;強大數定理

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.05.0013

1 引言

樹圖T是一個沒有回路的連通圖,對于任意兩個頂點σ/=t∈T,設σt是連接σ與t的唯一路徑,路徑σt中含有的邊數記為d(σ,t),稱為σ到t的距離.設T是一個以o為根頂點的局部有限的無限樹圖.對于T中的任意兩個頂點σ,t,如果σ是處在從根頂點o到t的唯一路徑上,則記為σ≤t.用σ∧t表示同時滿足σ∧t≤t與σ∧t≤σ的離o最遠的頂點.對于T上的任一頂點t,|t|表示o和t之間的距離.一個頂點如果其與根頂點的距離為n,則稱該頂點位于第n層上.Ln表示T的第n層上所有頂點的子圖,Lmn表示T的含有從n層到m層的所有頂點的子圖,特別T(n)=Ln0表示T的含有從0層(根)到n層的所有頂點子圖.如果樹圖T的根頂點有N個相鄰頂點,而其他頂點有N+1個相鄰頂點,稱此樹為Cayley樹,記為TC,N.對于Cayley樹TC,N上的每一個頂點t,在它的下一層都有N個相鄰頂點,稱這N個頂點為t的子代,t為這N個頂點的父代.本文主要研究二叉樹TC,2(見圖1),為了方便,將TC,2簡記為T2.對于二叉樹上任一頂點t,記t1,t2為t的兩個子代.

設{?,F,P}為一概率空間,{Xt,t∈T2}為定義在{?,F,P}上的樹指標隨機過程,設A為T2的子圖,記XA={Xt,t∈A},用|A|表示A中頂點的個數,xA表示XA的實現.

樹指標隨機過程是近年來發展起來的概率論的一個新的研究方向.文獻[1]給出了樹指標馬氏鏈的定義并研究其常返性及角常返性.文獻[2]研究了齊次樹上某些平穩隨機場的熵率.文獻[3]研究了齊次樹指標有限狀態馬氏鏈的強大數定理和漸近均分性(AEP).文獻[4]研究了齊次樹指標層非齊次馬氏鏈的強大數定理和漸近均分性(AEP).文獻[5]研究了一致有界樹指標馬氏鏈的強大數定理和漸近均分性(AEP).文獻[6]研究了Cayley樹指標有限狀態非齊次馬氏鏈的強大數定理和漸近均分性(AEP).文獻[7]研究了Cayley樹指標非對稱馬氏鏈的強大數定理和漸近均分性.文獻[8]定義了在任意狀態空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈,并研究了其極限定理.

圖1 二叉樹TC,2

本文首先給出在可列狀態空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈定義的離散形式,然后研究二叉樹上有限狀態分枝馬氏鏈的強大數定理.在文獻[8]中研究的強大數定理要求隨機變量是同分布的,并不做此要求,而且與文獻[8]不同的是,本文采用的是與文獻[7]類似的方法,即通過構造一個非負鞅先建立二叉樹上分枝馬氏鏈的強極限定理,然后利用這個強極限定理證明本文的強大數定理.

2 定義

3 強極限定理

4 強大數定理

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Strong law of large num bers for bifu rcating M arkov chains
indexed by a binary tree

Dang Hui,Yang Weiguo,Gao Rong,Shi Zhiyan

(Faculty of Science,Jiangsu University,Zhen jiang 212013,China)

In this paper,we f rst introduce the def nition of the discrete form of bifurcating M arkov chains indexed by a binary tree,then obtain some strong lim it theorem s for bifurcating M arkov chains indexed by a binary tree,and f nally,we obtain the strong law of large numbers for binary tree-indexed bifurcating Markov chainsw ith f nite state space.

binary tree,bifu rcating M arkov chains,strong lim it theorem s,strong law of large numbers

O211. 4;O211.6

A

1008-5513(2013)05-0529-07

2013-04-012.

國家自然科學基金(11071104);江蘇大學大學生科研立項(12A 409).作

者簡介：黨慧(1987-),在讀碩士,研究方向:概率極限理論.

2010 MSC:60J10,60F15