多復變數星形映射在某方向上精確的偏差定理

盧金,劉太順,王俊

(湖州師范學院數學系,浙江湖州 313000)

多復變數星形映射在某方向上精確的偏差定理

盧金,劉太順,王俊

(湖州師范學院數學系,浙江湖州 313000)

研究了Cn中單位多圓柱上星形映射在某方向上精確的偏差定理.給出了

復Banach空間單位球的某方向上精確的偏差的上界,同時給出了下界的猜測.

星形映射;偏差定理;增長定理

1 引言

平面單位圓盤上的單葉函數的偏差定理是1907年由Kobe給出的,它對單位圓盤上的單葉函數f明確的給出了用|z|來表達|f′(z)|的上下確界的公式.單位圓盤上的正規化雙全純星形函數有完整的偏差定理.

單復變數推廣到多復變數中，對|f′(z)|的有很多不同推廣,例如文獻[3].而最先在多復變數中給出|det D f(z)|的估計是文獻[4],給出C2上的正規化雙全純凸映射的偏差定理.然后,文獻[5]對單位球Bn上正規化雙全純凸映射建立了矩陣形式偏差定理,1999年,文獻[6]將該結果推廣到Cn中一般的有界凸圓形域?上.2003年文獻[7]又將該結果推廣到復Banach空間單位球上,給出了下面形式的偏差定理:

定理1.2設B為Banach空間單位球,若f是B上的正規化雙全純凸映射,則?z∈B, ξ∈X,有

其中FBC(x,ζ)是B上的Carath′eodory度量的無窮小形式,FBK(x,ζ)是B上的Kobayashi度量的無窮小形式.

在單復變數中,若考慮零點的階數,文獻[8]于1996年首先建立了單位圓盤D上的正規化雙全純凸函數f(其中z=0是f(z)-z的k+1階零點)精確的增長、掩蓋定理及偏差定理,同時利用著名的A lexander定理得到了單位圓盤D上的正規化雙全純星形函數f(其中z=0是f(z)-z的k+1階零點)精確的增長、掩蓋定理.多復變數中,文獻[4]則最先給出Cn中單位球Bn上正規化雙全純k次對稱星形映射精確的增長、掩蓋定理.2002年,文獻[9]又在復Banach空間中單位球上的得到了正規化雙全純k次對稱凸映射精細(但不精確)的增長、掩蓋定理.如果在多復變數中引入k階零點的概念,那么容易知道:若f是正規化k次對稱映射,則x=0是f(x)-x的k+1階零點.反之,卻不一定成立.一個十分自然的想法是:在多復變數中若考慮零點的階數(即x=0是f(x)-x的k+1階零點),是否有類似單復變數情形的結論?2004年,文獻[10]在復Banach空間單位球上星形映射精確的增長、掩蓋定理.

星形映射是多復變幾何函數論研究的重要內容,文獻[11]中給出了星形映射的偏差定理.本文研究了單位多圓柱上星形映射在某個方向上精確的偏差定理.給出了復Banach空間單位球的某方向上精確的偏差的上界,同時給出了下界的猜測.

2 預備知識

3 主要結果

4 猜想

[1]Duren P L.Univalent Function[M].Berlin:Sp ringer-Verlag,1983.

[2]龔昇.多復變數的凸映照和星形映照[M].2版.北京:科學出版社,2003.

[3]殷承元.多復變數的二階微分從屬[J].純粹數學與應用數學,2003,19(1):83-87.

[4]Barnard RW,FitzGeral C H,Gong S.A distortion theorem for biholomorphicmappings in C2[J].Trans. Amer.Math.Soc.,1994,344:902-924.

[5]Gong S,W ang SK,Yu Q H.Biholom orphic convex m app ings of ball in C2[J].Pacif c J.M ath.,1993,161(2): 287-306.

[6]Gong S,Liu T S.Distortion theorem s for biholomorphic convex mappings on bounded convex circu lar domains[J].Chin.Ann.of M ath.,1999,20B(3):297-304.

[7]Liu T S,Zhang W J.A distortion theorem of biholom orphic convex m app ings in a Banach space[J].Acta. M ath.Sinica.,2003,46A(6):1041-1046.

[8]Graham I,Varolin D.B loch constants in one and several variab les[J].Pacif c J.M ath.,1996,174:347-357.

[9]T Honda.The grow th theorem for k-fold symm etric convex m appings[J].Bu ll London M ath.Soc., 2002,34:717-724.

[10]Liu T S,Liu X S.On the p recise grow th,covering,and distortion theorem s for normalized biholomorphic mappings[J].J.Math.Anal.appl.,2004,295:404-417.

[11]Liu T S,W ang JF,Lu J.D istortion theorem sof starlikem app ingsalong a unit direction in Cn[J].Taiwanese J.Math.,2011,15(6):2601-2608.

On the p recise d istortion theorem s for star like m ap p ings along a unit d irection in several com p lex variab les

Lu Jin,Liu Taishun,Wang Jun
(Department of M athematics,Huzhou Teachers College,Huzhou 313000,China)

We estab lished the precise distortion theorem s of Jacobianmatrix for starlikemappings along a unit direction on the unit polydisc of Cn.We obtained the upper bound estimate of the p recise distortion theorem for starlikemappings on the unit ball of a com p lex Banach space.Finally,a conjectures of the lower bound was considered.

starlikem appings,d istortion theorem s,grow th theorem s

O174.56

A

1008-5513(2013)05-0507-06 DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.05.010

2012-03-30.

國家自然科學基金(11101139,11261022,11031008);浙江省新苗計劃;湖師院科研項目(KX 21057).

盧金(1981-),博士,講師,研究方向：多復變幾何函數論.

2010 MSC:32A 30,32H 02