一種帶有獎懲參數的動態因子分析綜合評價法

李 莉

(寧夏大學數學計算機學院，銀川750000)

因子分析方法最早是在1904年由Charles Spearman和Karl Pearson提出，它的基本思想是將實測的多個指標，用少數幾個潛在的指標的線性組合來表示［1］.因子分析的主要應用有兩個方面，一是尋求基本結構，簡化觀測系統;二是對變量或樣本進行分類.目前它可以應用于心理學、社會學、經濟學、人口學、地質學、生理學、環境學等多個研究領域［2-4］.很多統計軟件如SPSS，SAS等都帶有因子分析功能.但是由于利用因子分析法進行綜合評價時，只是使用了當期的截面數據，并沒有考慮上一期數據的影響，因此該綜合評價方法是靜態的［5］.本文引入了一種具有獎懲參數的動態因子分析綜合評價法，此法不僅綜合了傳統因子分析法的結果，而且考慮到了系統在不同時期的動態關聯性.

1 傳統的因子分析綜合評價法

1.1 因子分析法的基本數學原理

因子分析法的核心思想是降維，即把多個指標轉化為少數幾個相互獨立的綜合指標，用較少的因子來反映原有數據的絕大部分信息.具體可用數學模型來表示.設原有n個變量x=(x1，x2，…，xn)T，將每個原有的變量用m(m ＜n)個公共因子f1，f2，…，fm的線性組合來表示，即

簡記為x=Af+ε.

其中:aij(i=1，2，…，n;j=1，2，…，m)為因子荷載;εi(i=1，2，…，n)為特殊因子，均值為0，相互獨立，表示原有變量不能被解釋的部分.因子荷載aij表示第i個變量在第j個主因子上的荷載，即第i個變量與第j個因子的相關系數.荷載越大說明第i個變量與第j個因子的關系越密切;荷載越小說明第i個變量與第j個因子的關系越疏遠.公共因子f1，f2，…，fm是在各個變量中共同出現的因子，在高維空間中，它們是相互垂直的坐標軸.特殊因子εi(i=1，2，…，n)實際上就是觀測變量與估計值之間的殘差值.為了使找到的主因子更易于解釋，通常需要對因子荷載矩陣進行旋轉.旋轉的方法很多，使用比較多的是最大方差旋轉法.進行因子旋轉的目的就是要使因子荷載矩陣中因子荷載的平方值向0和1兩個方向分化，使大的荷載更大，使小的荷載更小.將因子表示為變量的線性組合式，所得到的計算結果稱為因子得分，它是對公共因子的估計值，利用它，可以對實際問題作進一步的分析.

使用SPSS17.0軟件可求出因子得分函數

1.2 傳統的因子分析綜合評價法的原理

傳統的因子分析評價法的核心就是通過因子分析法，選取m個主因子f1，f2，…，fm，以每個主因子的方差貢獻率作為權重，構造綜合評價函數:

把m個因子得分代入(3)式，算出綜合得分，最后利用綜合得分來進行綜合評價.

具體步驟如下:

第一步，對原始的數據進行標準化處理:

第二步，對已標準化的數據進行因子提取;

第三步，選用最大方差旋轉法對因子荷載矩陣進行旋轉，得到旋轉因子得分矩陣，從而代入到(3)式求出綜合因子得分來進行綜合評價.

使用因子分析法進行綜合評價在很多領域都有著廣泛的應用，但是此法有一定的局限性.因為它只是基于當期的數據，而沒有考慮到不同時刻系統的動態關聯性.因此，本文將提出一種動態因子分析綜合評價法來彌補這一缺陷.

2 動態因子分析綜合評價法

動態因子分析綜合評價法里用到了一個新的概念:因子分析排序指數，下面給出其定義.

2.1 因子分析排序指數定義

稱 Wik=Fi，k+ λ(Fi，k-Fi，k-1)(其中 i=1，2，…，n;k=2，3，…，N;0 ≤ λ ≤ 1) (4)為系統Ai在tk時刻的具有獎懲效果的因子分析排序指數，式中的λ為獎懲參數，Fi，k，Fi，k-1分別為系統si在tk，tk-1時刻的綜合因子得分.

根據定義可知，因子分析排序指數是該時刻綜合因子得分與該時刻綜合因子得分改變量的加權和.特別地，當λ=0時，既無激勵也無懲罰，因子分析排序指數即是綜合因子得分.此時，動態因子分析評價法就等同于傳統的因子分析評價法.一般情況下，λ的取值范圍應該在0到1之間.λ取值越小，則激勵或懲罰的程度就會越小;λ取值越大，則激勵或懲罰的程度就會越大.在實際的問題中，λ的取值就顯得尤為重要，既不能太大，也不能太小.λ取值太大，就會出現獎懲過度的情況，λ取值太小就會起不到應有的激勵效果.

2.2 參數λ的確定方法

獎懲參數λ的取值可按以下兩種方法來確定.

2.2.1 專家打分法

專家打分法就是根據多位專家就系統的運行狀況打分來確定λ.但此方法具有較強的主觀性.

2.2.2 相關系數法

相關系數法即根據系統Ai變化的情況來確定λ的取值.具體做法如下:以Ci，k表示系統Ai在tk時刻按綜合因子得分排序的位次，以Ci，k-1表示系統Ai在tk-1時刻按綜合因子得分排序的位次;以Fi，k表示系統Ai在tk時刻的綜合因子得分，Fi，k-1表示系統Ai在tk-1時刻的綜合因子得分.同一個系統在不同時刻的綜合因子得分不同，則排名位次有可能不同.這是因為排名的結果，不僅依賴于系統本身的變化，還依賴于其他系統的變化情況.獎懲參數的設計就是考慮到激勵的目的，綜合因子得分增加的越大，則激勵就應該越大.于是，自然想到以綜合因子得分的改變量與排名位次改變量的相關系數來衡量有效激勵λ，因此，λ的確定公式為:

2.3 具體做法

在使用這種動態因子綜合評價方法時，首先要確定獎懲參數λ的值，一般使用公式(5)即相關系數法來確定.我們可以借助SPSS17.0軟件計算出n個系統Ai(i=1，2，…，n)在兩個時刻tk，tk-1的綜合因子得分 Fi，k，Fi，k-1和在這兩個時刻按綜合因子得分排序的位次 Ci，k，Ci，k-1.確定了 λ 的值后代入公式(4)中確定出各系統Ai(i=1，2，…，n)的因子分析排序指數Wi，k(i=1，2，…，n).那么我們在時刻tk對各系統就可以依據Wi，k(i=1，2，…，n)的取值大小排序從而進行綜合評價.

3 結語

這種帶有獎懲參數的動態因子綜合評價法與原有靜態的因子分析法相比較，評價的可靠性要更高一些，因為它不僅考慮了系統當前的截面數據，還把系統在前一時刻的狀況也考慮了進去.如果需要經常性地對某些系統進行綜合評價時，這種評價方法尤其適用.因為它的這種獎懲的效果會使得評價的可靠性和有效性更好一些.在使用該方法進行綜合評價時，獎懲參數λ的確定尤為關鍵，一般使用第二種相關系數法來確定更為客觀一些.

［1］范金城，梅長林.數據分析［M］.北京:科學出版社，2002.

［2］陳希鎮，林俊濤.用多元統計方法分析浙江省各地區的經濟結構［J］.數理統計與管理，2010，29(6):1043-1051.

［3］吳建民，丁疆輝.基于因子分析模型的河北省縣域發展空間差異的研究［J］.河北師范大學學報，2010，34(6):739-744.

［4］戰英杰，申秋紅.影響我國農民收入的因子分析［J］.東北農業大學學報，2010，41(4):144-150.

［5］郭亞軍.綜合評價理論、方法及應用［M］.北京:科學出版社，2007.