耦合結構對音叉式陀螺振動特性的影響*

孫香政，王 剛，郭志想，陸志東

(中航工業西安飛行自動控制研究所，西安710065)

微機電系統MEMS(Micro-Electro Mechanical Systems)是20世紀80年代隨著硅微機械加工技術的發展而逐漸成長起來的。MEMS的特征尺度在微米量級，集傳感技術、致動技術和控制技術于一體。隨著MEMS技術的發展，MEMS陀螺越來越多地應用于慣性導航技術中。與其他慣性導航器件相比，MEMS陀螺具有重量輕、體積小、成本低和便于大批量生產的優點，在軍用和民用領域都有著廣闊的發展前景。

傳統MEMS振動陀螺采用單質量塊敏感科氏力，從而反應角速率信號。外界振動與加速度信號會直接影響單質量塊陀螺的輸出，嚴重影響陀螺性能［1－2］。針對單質量塊陀螺的缺點，目前廣泛采用的方案是使用差分式結構的音叉式陀螺，通過差分輸出信號降低振動與加速度信號的干擾［3－5］。音叉式陀螺結構設計的要點是獲得同頻、等幅、反向的振動模態［6－8］。受工藝與電路的限制，兩個獨立的單質量塊陀螺難以實現上述要求，需要引入耦合結構。常見的耦合結構為彈性梁和杠桿，以及其衍生結構。使用彈性梁作為音叉式陀螺的耦合結構，具有結構簡單、工藝實現難度低、線性度好等優點，但存在同向振動模態頻率低于反向振動模態頻率的問題。使用杠桿作為音叉式陀螺的耦合結構，能夠使同向振動模態頻率高于反向振動模態頻率，提高振動性能，但其結構復雜、工藝控制難度大，線性度差。因此，目前大多數陀螺的耦合結構都采用彈性梁結構。

本文針對使用彈性梁作為耦合結構的音叉式陀螺結構，闡釋其工作原理，建立振動模型。通過理論計算與有限元仿真，分析音叉式陀螺振動特性，并提出彈性梁耦合結構的設計準則。

1 工作原理

如圖1所示，一種典型的音叉式陀螺包括對稱的兩個單質量塊陀螺結構，以及中間的耦合結構。陀螺工作時，驅動電極施加電信號，通過電容變化產生驅動力，分別驅動左右兩部分沿x軸同頻、等幅、反向振動。當有z軸角速率信號輸入時，產生科氏加速度，敏感質量塊沿y軸同頻、等幅、反向振動。通過對檢測電容進行差分運算，可以解算角速率信號。

圖1 音叉式陀螺結構示意圖

對于單質量塊陀螺，當任意軸向上有線加速度信號時，檢測電容都會發生變化，即產生角速率信號輸出值。而對于音叉式陀螺，線加速度信號引起兩側質量塊產生同向位移，檢測電容變化趨勢一致，通過差分計算，輸出角速率值不變。

實際情況中，由于工藝與電路的限制，左右兩部分的質量、剛度系數、阻尼、驅動力幅值等不完全對稱［9－10］。在驅動力激勵下做簡諧振動時，左右兩部分可能出現振動特性不對稱，引起差分結果的偏差。另外，如果左右兩部分獨立振動，二者諧振頻率的差別和驅動力相位不對稱會增加電路后處理的難度［5］。

2 理論計算

2.1 物理模型

如圖2所示，將陀螺驅動模態簡化為一個二自由度系統［11－13］，耦合結構為彈性梁，簡化為一個剛度為k0的彈簧，研究其受簡諧力作用的情況。根據音叉式陀螺的工作原理，施加在左右兩側的驅動力相位相差180°，沿x軸方向作用。

圖2 音叉式陀螺驅動模態物理模型

設定坐標系如圖2，系統動力學方程為

其中，x1和x2分別為驅動模態下兩側的位移，F1和F2分別為兩側驅動力的幅值，m1和m2分別為兩側敏感質量，D1和D2分別為兩側的阻尼，k1和k2分別為兩側的總剛度，k0為耦合彈簧的剛度。

設

其中，C1和C2分別為兩側驅動位移的幅值，代入式(1)，得

其中

使用|C1|/|C2|表示振幅的不對稱性。根據式(3)，得振幅不對稱性為

系統自由振動時，式(1)變為

將式(2)代入，可得

求解ω，即系統的固有頻率為k0的函數。

2.2 振幅不對稱性與彈簧剛度關系

由于工藝和電路引起的陀螺不對稱性可以簡化為剛度不對稱、驅動力幅值不對稱和質量不對稱3種情況，下面分別研究系統在3種情況下的運動特性。

2.2.1 剛度不對稱

k1≠k2，m1=m2=m，D1=D2=D，F1=F2=F 時，式(4)變為

振幅不對稱性由驅動力頻率、陀螺兩側的頻率、質量和阻尼決定。當驅動力頻率ω為常數時，振幅不對稱性與耦合彈簧剛度k0無關。實際陀螺工作時，應該將驅動力頻率ω設置為與系統固有頻率ωn相等，此時振幅不對稱性為耦合彈簧剛度k0的函數，改變k0對振幅不對稱性有影響。

2.2.2 驅動力幅值不對稱

F1≠F2，k1=k2=k，m1=m2=m，D1=D2=D 時，

對于系統自由振動的情況，由式(6)可得

對于系統受迫振動的情況，根據式(3)與式(9)，

因此，系統在任意諧振頻率下的振型都與主振型相同。在該情況下|C1|/|C2|≡1，與耦合彈簧剛度k0無關。

2.2.3 質量不對稱

m1≠m2，k1=k2=k，D1=D2=D，F1=F2=F 時，式(4)變為

與剛度不對稱的結果類似，振幅不對稱性由驅動力頻率、陀螺兩側的頻率、質量和阻尼決定。當驅動力頻率ω為常數時，振幅不對稱性與耦合彈簧剛度k0無關。驅動力頻率ω設置為與系統固有頻率ωn相等時，振幅不對稱性為耦合彈簧剛度k0的函數，改變k0對振幅不對稱性有影響。

3 有限元仿真

3.1 有限元模型

MEMS陀螺設計過程中，可以通過有限元軟件進行仿真分析，提高設計效率。動力學分析的目的是確定慣性和阻尼等起作用時結構的動力學行為。利用ANSYS軟件對音叉式陀螺進行動力學分析，包括模態分析和諧響應分析兩部分。模態分析能夠獲得結構的固有頻率，諧響應分析能夠獲得結構在已知頻率和幅值在正弦載荷作用下的穩態響應。

根據典型的陀螺結構，建立如圖3所示的質量等效簡化模型。

圖3 音叉式陀螺結構簡化模型

仿真參數采用單晶硅材料參數，其中密度ρ=2 329 kg/m3，彈性模量 E=130 GPa，泊松比 μ=0.28，阻尼比 ξ=1×10－5。

通過改變耦合梁的幾何尺寸，調整其剛度。分別在剛度不對稱、驅動力幅值不對稱和質量不對稱3種情況下進行動力學分析，驅動力頻率分別設定為系統固有頻率和非固有頻率，研究耦合梁剛度變化對陀螺振動特性的影響。

3.2 仿真結果

3.2.1 剛度不對稱

通過改變左右兩側彈性梁的幾何尺寸，調整其剛度，使k1=0.9k2。驅動力頻率與系統固有頻率相同的情況下，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關系如表1所示。

表1 剛度不對稱、固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關系

仿真值與計算值一致。k0對系統固有頻率有影響，進而影響工作在固有頻率點的陀螺振幅不對稱性。k0越大，振幅不對稱性越小。

在非固有頻率下激勵，取驅動力頻率為f=10 000 Hz，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關系如表2所示。

表2 剛度不對稱、非固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關系

仿真值與計算值一致。當驅動力頻率為恒定時，k0對陀螺振幅不對稱性無影響。

3.2.2 驅動力幅值不對稱

設置驅動力幅值F1=0.9F2。驅動力頻率與系統固有頻率相同的情況下，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關系如表3所示。

表3 驅動力不對稱、固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關系

在非固有頻率下激勵，取驅動力頻率為 f=10 000 Hz，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關系如表4所示。

表4 驅動力不對稱、非固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關系

仿真值與計算值一致。驅動力幅值不對稱對陀螺振幅不對稱性無影響。在該情況下，振幅不對稱性恒為1。

3.2.3 質量不對稱

通過改變左右兩側質量塊的幾何尺寸，調整其質量，使m1=0.9m2。驅動力頻率與系統固有頻率相同的情況下，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關系如表5所示。

表5 質量不對稱、固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關系

仿真值與計算值一致。k0對系統固有頻率有影響，進而影響工作在固有頻率點的陀螺振幅不對稱性。k0越大，振幅不對稱性越小。

在非固有頻率下激勵，取驅動力頻率為 f=10 000 Hz，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關系如表6所示。

表6 質量不對稱、非固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關系

仿真值與計算值一致。當驅動力頻率為恒定時，k0對陀螺振幅不對稱性無影響。

4 結論

對于音叉式陀螺，當驅動力頻率恒定時，在剛度不對稱、驅動力幅值不對稱和質量不對稱3種情況下，耦合結構的剛度對陀螺振幅不對稱性無影響。但是，耦合結構的剛度對音叉式陀螺的固有頻率有影響，進而影響工作在固有頻率點時陀螺的振型。通過提高耦合結構剛度，提高陀螺固有頻率，能夠有效降低振幅不對稱性。設計陀螺時，需綜合考慮對固有頻率和對振幅不對稱性的需求，調整左右兩部分的剛度和質量以及耦合結構的剛度。

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