有效數學思維途徑之培養策略

王金水

摘 要：由問題驅動教學，用數學活動經驗激活學生思維興奮點、追求最優化思維、變式提高、錯題剖析等出發論證提高學生有效數學思維量的作用，得出今后課堂教學應走向務實高效的幾種有效途徑.

關鍵詞：有效；數學思維；數學活動經驗；高效率；最優化

課堂教學是學校教育的核心，高效率的課堂教學是當前教學改革的重要追求.數學思維是人腦和數學對象交互作用，并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動.如何才能上出一節高效數學課呢？有些教師認為，容量大、涉及知識點多、學生練習多的課堂，就是一節“好”課.我認為有效的數學教學應體現目標達成的有效性，主體參與的有效性，知識建構的有效性，師生互動的有效性，學生發展的有效性，等等.現從培養學生有效數學思維的幾種途徑加以分析與探討.

一、利用已有“數學活動經驗”培養有效數學思維

現代心理學研究表明，有效的學習是建立在學生原有知識和經驗的基礎之上的，沒有學生的主動參與，沒有學生原有知識和經驗的建構，脫離學生知識經驗的灌輸，其學習都是低效的.隨著新課程改革不斷深入，數學教學的內涵有了新的發展.有學者指出，在數學教學過程中，讓學生積累“數學活動經驗”能提高有效數學思維量.

例1.王老師的一張平行四邊形紙片不小心被自己的小孩撕去了一些，巧的是剛好從B、D

兩個頂點撕開，如圖1所示.你能幫他補全平行四邊形嗎？問題提出不久，許多學生就躍躍欲試，分別表述了各自的方法.

方法1：過點B作AD的平行線BE，過點D作AB的平行線DF，交BE于點C，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）；

方法2：過點B作AD的平行線BE，并在BE上截取BC=AD，連接CD，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

方法3：連BD，取BD的中點O，連結AO并延長到點C，使AO=OC，再分別連結BC、CD，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；

方法4：分別以點B、點D為圓心，以AD、AB為半徑畫弧，兩弧交于點C，連結BC、CD，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）；

在學生用不同的方法補全平行四邊形后，因為有上述情境的鋪墊，學生很快便完成了以下表格的填寫.

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教學中的設計要具有一定的藝術性，創設富有新意的數學活動情境，以問題為出發點，喚起學生對知識的回憶，讓學生感覺復習不再是“老生常談”和對知識點的羅列，把學生的注意力吸引到復習教學中.由一個簡單的問題入手，能使學生迅速進入學習狀

態，而對方法背后的本質探討，既凸顯了本堂課的認知線索，也激發了學生進一步探究的興趣與欲望，可謂低起點，高認知，深立意.因此，教師要立足于學生的生活經驗和已有的數學活動經驗，創造性地使用教科書，變“教書”為“用書教”，達到培養學生有效的數學思維的目的.

二、激活學生思維的興奮點來培養有效數學思維

我們常常埋怨學生經啟發、點撥后仍然無動于衷，或者講過的題目學生還做錯，究其原因是在我們的教學過程中學生的思維尚未進入“憤”“悱”狀態，教師啟發、點撥的“機”與“時”把握得不準。當學生的思維還沒有進入焦灼狀態時，我們就順水推舟，這怎能對學生產生深遠影響？點要點在臨界點，只有創設一定的思維情境，引領學生的思維進入臨界狀態，點撥方能奏效.撥要撥在關鍵處，如果撥的時機過早，學生缺乏一定的主動思維，不能建構新舊知識的聯系，達不到思路的接通效應，思維過程只是由老師直接強加給學生，我們稱之為“被思維”或者“偽思維”.

例2.如圖2，有一塊塑料矩形ABCD，AD=10cm，AB=4cm，

將你手中足夠大的直角三角板OEF的直角頂點O落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當移動三角板頂點O.

（1）能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請你求出這時AO的長；若不能，請說明理由.

（2）再次移動三角板的位置，使三角板頂點O在AD上移動，直角邊OE始終通過點B，另一直角邊OF與DC延長線交于點

K，與BC交于點H，能否使CH=2cm？若能，請你求出這時AO的長；若不能，請你說明理由.

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首先讓學生獨立思考，然后教師進行點撥.

問題（1）較為簡單，大部分學生能獨立完成.引導學生畫出圖3，由∠A=∠D=∠BOC=90°，可得△ABO∽△DOC，從而解決問題.

問題（2）由學生畫出圖4，再進行思考探究.教師巡視可以發現，大多學生思維受阻，這時就需要教師點撥.大家可以從圖形中，尋找相似的三角形，如△KCH∽△KDO∽△OAB，然后通過方程思想來解決，此時學生可以開始進行深度探究了，個別環節師生共同完成.這個環節結束后，可以這樣點撥：讓學生借助相似并結合直角三角形勾股定理來解決.但由于這種方法非常麻煩，不宜讓學生深入下去.那么我們應該怎么辦呢？由于上述方案已經把問題的解決方法變復雜了，學生急于找出更好的方法，所以此時應該抓住時機，點撥學生能否從第一問中受到啟發，利用化歸的數學思想方法來解決這個問題.

在問題（1）的解決中，我們利用了△ABO∽△DOC，但此時直角三角形的另一邊沒有經過C點，而是經過了BC邊上的H點，過H點作HG⊥AD，垂足為G，如圖5，這樣我們可以得到△BAO∽△OGH，接下來由學生完成思路的延續和問題的解決.

兩種思路進行對比，學生發現原來如此，此時學生心情非常愉悅，思維也達到了興奮的狀態.這時教師繼續點撥此類問題，在解決的過程中，圖形發生了變化，如果能利用化歸思想，往往可以更快速地解決問題.學生此時的收獲就會很大，效率更高，超越一個題目自身的解決價值，發揮題目的最大價值，讓學生有“欲罷不能”的解題欲望.

三、追求“最優化”來培養有效數學思維

尋求解決課堂教學中各種數學問題的方法，讓學生易于接

受，即“最優化”途徑，是數學教師的理想追求，但實際在解決數學問題的過程中，并不是人人都能如愿以償的.在面對同一道數學問題時，一些學生往往會選擇一種較為復雜的方法來做，而沒有選擇過程簡明、思路清晰的方法，結果是艱難做出或者做不出.對于不同的班級，發現學生選擇簡捷做法的比例是不同的，這與教師平時是否注意培養學生數學思維的“最優化”有關.

例3.設x1、x2是方程x2-5x+3=0的兩個根.m+x1（x22-6x2+3）=2009，

求m的值.

法一：如果能獲得關于m的方程，也就是明確x1，x2的值，因為方程只有m是未知數，就能獲解，這里x1，x2能求，但求出來是有理數根嗎？

法二：顯然不是！走這條道路顯然運算量會很大，且要花大量時間，還是認真觀察方程m+x1（x22-6x2+3）=2009的特點吧，有什么發現？我們看由一元二次方程的定義有x22-5x2+3=0，得x22-5x2=-3，又m+x1（x22-5x2-x2+3）=2009，有m+x1（-3-x2+3）=2009，于是m-x1x2=2009.再結合根與系數的關系x1x2=3，代入求出m=2012.

法三：有了上面的啟發，我們可進一步作些優化.可以直接變形待求方程左邊中的m+x1（x22-6x2+3）=m+x1（x22-5x2+3-x2），由根的定義有x22-5x2+3=0，所以m-x1x2=2009，再結合根與系數的關系

x1x2=3，代入可求出m=2012，代數式有目的的變形，特別是對“x22-5x2+3=0”“x22-5x2=-3”的整體認識，使問題得到突破.如果求出方程的根再代入求值，會陷入煩瑣的運算，造成思維的混亂.

因此，我們應當充分認識到“最優化”思維的重要性，努力追求“最優化”的思維，習慣于獲得“最優化”的解答，本質上是數學學習和解題的優良品質.我們在數學解題教學過程中，不能僅僅停留在引導學生進行解題知識的優化與儲備、解題技能的提煉與熟練、解題策略的優化與類化等，更重要的是努力培養學生對“最優化”思維的追求，并讓他們把“最優化”思維修煉并形成一種解題習慣.

四、圍繞本質變式提高來培養有效數學思維

數學知識之間有著深刻的內在聯系，包括各部分知識之間的縱向聯系和橫向聯系.學生數學思維系統性水平的高低會直接影響數學學習的效果.日常教學中，我們常常看到一些數學教學活動總在“細枝末節”上“糾纏”，而淡化了對數學知識的本質認識和理解，學生不能深入地進行數學思維活動，數學教學活動也因此脫離了教學的本源.教者沒有圍繞本質去變式深化提高數學學習內容，實際上是培養有效數學思維觀念的淡漠和缺失.

例4.如圖6，已知？荀ABCD，M是對角線BD

上一點，EF∥AB，GH∥AD，若四邊形MHCF面積為4，則四邊形AGME的面積是多少？

學生經充分思考后得出：因為ABCD是平行

四邊形，所以S△ADB=S△DCB，又AB∥CD∥EF，AD∥BC∥GH，這樣就得到了？荀DEMH和？荀MGBF，所以S△DEM=S△MHD，S△MGB=S△BFM，所以

S四邊形AGME=S四邊形MHCF，所以S四邊形AGME=4.解幾何題就是要牢牢把握圖形的本質，善于在已知條件中尋找隱含的等量關系.下面讓我們一起來看一個變式.

變式1（圖7），已知點M是RT△ABC中斜邊AC上的一點，過M分別作MF∥AB交BC于F，MG∥BC交AB于G，若AG=3，CF=4，求四邊形MGBF的面積.

由于這道題有點難度，過了一會兒學生還是沒有反應，“不妨大家先大膽猜猜看，它的面積可能會是多

少？”部分學生回答12.“很好！合理的猜想常能啟發我們解題的思路.既然認為此矩形的面積等于12，如果沒有具體的數值，如何表示這個面積呢？”同學們回答說可以設元，“若設MG=a，GB=b，那么，問題就是證明ab=12.如何才能得到這個關系呢？請大家嘗試一下.”巡視了一遍后，我發現許多同學都在嘗試用勾股定理建立等量關系，但得不到需要的結果，這是為什么？“請大家認真思考一下，在這個圖形中，怎樣的等量關系可以出現ab？”用面積公式，即■·3a+ab+■·4b=■（4+a）（3+b），化簡就得ab=12.“上述解題過程告訴我們，遇到困難時，一要大膽猜想，二要學會逐漸逼近目標.將幾何問題代數化，是幾何解題中的常見方法.但是，除了上面這個代數方法外，能否直接運用幾何方法呢？”有位學生說還能用相似三角形的知識來做.容易得到△AGM∽△MFC，則有■=■，即ab=12.“很好！這位同學通過相似三角形的性質把分散的a、b進行有效的集中.那么，有沒有直接把這兩個分散的量聚集起來的方法呢？類比前面的圖形，你有什么聯想？”大部分學生說明白了，可以通過平移的方式.即以AB、BC為邊，補全為一個矩形（圖8），則有ME=AG=3，MH=CF=4，那么四邊形DEMH的面積就是12，這就和上一題完全一樣了，所以S四邊形MGBF=12.

因此，課堂上的巧妙設計突出了概念形成的過程性，凸顯了概念的本質屬性。奇思妙想要有預設，動用逆向思維挖掘教材要有深度.既沒有刻意強調該問題與原型之問的聯系，也沒有直接告知學生解題的思路，而是在不斷的啟發過程中讓學生體會數學學習中一般有效的方法.先猜后證，嘗試錯誤；分析目標，尋求思路；順應思路，有效引導；生成方法，體驗聯系，這些都要求我們老師具有扎實的教學基本功與機智的課堂應變能力.

總之，在今后的教學工作中要觀察課堂教學細節過程中的點點滴滴，并從中吸取經驗教訓，不斷改進課堂教學，使教學合理化、智慧化、精致化、高效化.教師的理性引領猶如火把，能點燃學生頭腦中智慧的火花，師生在合作、探討中共同向思維的縱深處發展，用智慧打造科學、高效的課堂.

參考文獻：

[1]王東.“點”在臨界點，“撥”在關鍵處.中學數學教學參考.陜西師范大學總社.

[2]單國炎.用智慧打造高效的復習教學.初中數學教與學.中國人民大學書報資料.

（作者單位 福建省廈門后溪中學）