因式分解在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用分析

曾彩香

摘 要：因式分解是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的變形公式，與分式、整式有密切關(guān)系，在解方程及分式運(yùn)算過(guò)程中常常會(huì)用到因式分解。因式分解是初中數(shù)學(xué)中的一種重要解題思想。幾何問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過(guò)程中常涉及解方程式和分式運(yùn)算，因此，將因式分解巧妙地應(yīng)用到幾何問(wèn)題中，對(duì)幾何的學(xué)習(xí)和解題具有重要意義。

關(guān)鍵詞：因式分解；幾何；應(yīng)用

因式分解是初中數(shù)學(xué)中重要的恒等變形，在解各類(lèi)題型時(shí)較常運(yùn)用。幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，找出因式分解與幾何問(wèn)題之間的關(guān)系，并巧妙地將因式分解運(yùn)用到幾何問(wèn)題中，可以實(shí)現(xiàn)將幾何題化繁為簡(jiǎn)和化難為易，培養(yǎng)學(xué)生的幾何解題能力和知識(shí)運(yùn)用能力。下面，就列舉實(shí)例分析如何巧妙地將因式分解運(yùn)用到幾何問(wèn)題中。

一、運(yùn)用因式分解法判斷圖形形狀

在初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中，常會(huì)涉及判斷幾何圖形的形狀問(wèn)題，一般可以通過(guò)求解特殊角度和求邊長(zhǎng)等方式進(jìn)行判斷，解題過(guò)程往往比較復(fù)雜，采用因式分解法則可有效地實(shí)現(xiàn)化難為易的目的。

例1：已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且三條邊滿足公式：■+■=■，判斷該三角形的形狀。

解析：在運(yùn)用代數(shù)思想判斷三角形的形狀時(shí)，通常需要對(duì)三角形三邊大小進(jìn)行比較。本題中的代數(shù)關(guān)系式是一個(gè)分式等式，這就需要運(yùn)用分式的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析和判斷，即分母不等于0，通過(guò)對(duì)分式進(jìn)行去分母，然后通過(guò)因式分解法分解因式。

對(duì)■+■=■的左邊進(jìn)行通分，則有：

■=■

由于b+c≠0，則將上式兩邊同時(shí)去除（b+c）得出：

■=■，去分母得：a（b+c-a）=bc，即ab+ac-a2-bc=0

因式分解得：（a-c）（b-a）=0

則有a-c=0或者b-a=0，由此可得a=b或者a=c。

由此可以判斷該三角形為等腰三角形。

二、利用因式分解求解圖形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)

在初中幾何圖形題中，常會(huì)遇到求解圖形邊長(zhǎng)的題目，學(xué)生在求解這類(lèi)題目時(shí)往往不知如何下手，通常可以采用代數(shù)的思想來(lái)進(jìn)行求解。

例2：已知a、b為等腰△ABC的兩條邊，且滿足代數(shù)式：a2+b2-4a-6b+13=0，試求該三角形的周長(zhǎng)。

解析：由于a、b為等腰△ABC的兩條邊，則可能a為腰或者b為腰，則該三角形的周長(zhǎng)可以表示為2a+b或者a+2b。將原代數(shù)式變形配方可得（a-2）2+（b-3）2=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可以求出a、b的值，從而求出三角形的周長(zhǎng)。

由于a2+b2-4a-6b+13=0，對(duì)其進(jìn)行變形和配方有：

（a2-4a+4）+（b2-6b+9）=0，即（a-2）2+（b-3）2=0，

根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可知：a-2=0，且b-3=0

則求出：a=2，b=3。

當(dāng)a為腰時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，2，3，則周長(zhǎng)為7；

當(dāng)b為腰時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，3，2，則周長(zhǎng)為8。

三、利用因式分解求解關(guān)于三邊關(guān)系問(wèn)題

三角形的三邊關(guān)系也是初中常見(jiàn)的試題類(lèi)型之一。這類(lèi)型的題通常是采用代數(shù)的思想求解，求解過(guò)程通常會(huì)用到因式分解，

在解題過(guò)程中涉及因式分解、不等式，需要學(xué)生能夠靈活運(yùn)用知識(shí)。

例3：已知△ABC的三條邊為a、b、c，求證三邊滿足不等關(guān)系式：

a2-b2-c2-2bc<0。

解析：在求解此類(lèi)題目時(shí)，通常采用逆推法對(duì)不等式進(jìn)行因式分解，并利用三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行分析。

對(duì)原不等式的左邊進(jìn)行變形和因式分解，有：

a2-b2-c2-2bc=a2-（b2+2bc+c2）=a2-（b+c）2=（a+b+c）（a-b-c）

由于三角形中，兩邊之和大于第三邊，即有b+c>a，即a-b-c<0

而邊長(zhǎng)為正值，即a+b+c>0，則有：（a+b+c）（a-b-c）<0，

即a2-b2-c2-2bc<0。

四、利用因式分解求證幾何問(wèn)題

幾何證明題是初中數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的題型之一，且分析各類(lèi)題型可以發(fā)現(xiàn)，在這類(lèi)題型中常會(huì)融合函數(shù)、不等式等思想，屬于綜合類(lèi)題型，學(xué)生在求解過(guò)程中往往力不從心。在講解此類(lèi)題型的時(shí)候，應(yīng)充分利用因式分解化繁為簡(jiǎn)的作用，將復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)為代數(shù)求解。

例4：已知兩圓的半徑分別為a、b，兩圓的圓心距為c，若關(guān)于x的方程式x2-2ax+b2-（b-a）c=0存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，證明兩

圓外切或相等。

解析：首先應(yīng)明確兩圓相等和外切時(shí)，其半徑與圓心距之間的關(guān)系。兩圓相切則說(shuō)明其半徑和為圓心距，兩圓相等則說(shuō)明其半徑相等。則將證明兩圓外切或相等轉(zhuǎn)化為求證a=b或a+b=c。而題中的方程式有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則可根據(jù)其根的判別式分析a、b、c之間的關(guān)系。

由于x2-2ax+b2-（b-a）c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，說(shuō)明其根的判別式Δ=0，

即（-2a）2-4×1×[b2-（b-a）c]=0，即4a2-4b2+4（b-a）c=0，

進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得：（a-b）（a+b-c）=0

則有c=a+b或者a=b

則證明兩圓外切或相等。

例5：已知Rt△ABC的∠BAC=90°，如圖所示，AC>AB，其中AD為BC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，求證：BM2-DM2=AD2。

解析：這類(lèi)證明題通常也可充分利用因式分解及等效替換進(jìn)行求解。可以將BM2-DM2進(jìn)行因式分解，則有BM2-DM2=（BM-DM）（BM+DM），

而D為BC上的一點(diǎn)，則有BM-DM=BD，

又因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，則BM=MC，則BM+DM=DM+MC=DC，

則BM2-DM2=BD·CD

而AD為Rt△ABC的高，則根據(jù)直角三角形斜邊上的高的性質(zhì)AD2=BD·DC，則有：BM2-DM2=BD·CD=AD2，即BM2-DM2=AD2。

因式分解貫穿了整個(gè)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)體系，在幾何教學(xué)中也發(fā)揮著很重要的作用，是求解幾何題必不可少的“工具”之一，它可以將復(fù)雜的幾何問(wèn)題數(shù)字化、簡(jiǎn)單化。因式分解在初中幾何問(wèn)題中的運(yùn)用是對(duì)恒等變形思想的升華，是學(xué)生通過(guò)數(shù)字運(yùn)算和代數(shù)思想來(lái)駕馭幾何知識(shí)的過(guò)渡。因式分解作為整式乘法的一種逆變形運(yùn)算，很多學(xué)生對(duì)于這種思維方式可能存在不適感，在日常教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)加強(qiáng)幾何問(wèn)題中因式分解的應(yīng)用練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維和逆向思維能力。

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（作者單位 廣東省東莞市濟(jì)川中學(xué)）