用初等變換解矩陣方程

【摘要】本文介紹用初等變換解三種基本矩陣方程AX=B、XA=B、AXB=C的方法，這一方法比常用的先求逆矩陣A-1或B-1，然后再利用矩陣相乘的方法求X要簡捷的多。

【關鍵詞】初等變換 解 矩陣方程

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）01-0187-02

一、矩陣初等變換的概念和性質

1.矩陣初等變換的定義

一個矩陣的下列變換，叫作它的初等行（列）變換：

（1）互換矩陣的兩行（列）的位置；

（2）用一個不為零的數乘矩陣的一行（列）；

（3）把矩陣一行（列）的倍數加到列一行（列）上。

以上三種初等行變換和初等列變換統稱為初等變換。

2.矩陣初等變換的性質

對一個是n×r矩陣A作一初等行變換就相當于在A的左邊乘上相應的n×n初等矩陣；對A作一初等列變換就相當于在A的右邊乘上相應的n×n初等矩陣。

利用以上知識可以解決高等代數中的很多問題，比如，用矩陣的初等行變換解線性方程組、求矩陣的秩、求可逆矩陣的逆矩陣、求向量組的秩及最大無關組，也可用對稱初等行變換和列變換化簡二次型等等。本文介紹用初等變換解矩陣方程的方法。

二、矩陣方程AX=B的解法