線性代數中的幾個等價關系

【摘要】本文討論了線性代數之中的四個等價關系：矩陣等價，向量組等價，矩陣相似，矩陣合同；以及和四個等價關系相關的基本性質。

【關鍵詞】等價關系 矩陣 向量組 相似矩陣 合同矩陣

【中圖分類號】O151.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）08-0144-01

一、等價關系的定義

在一個給定的集合S上，我們可以定義元素之間的某種關系。如果該關系滿足三個性質：（1）自反性（2）對稱性（3）傳遞性，我們稱該關系為等價關系（equivalence relation[1]），記為～。自反性就是S中的任意元素和自身有該種關系，即A～A；對稱性是若對于S中兩個元素A、B，如果A～B，則有B～A；傳遞性是指對于S中三個元素A、B、C，如果A～B，則有B～C，則有A～C。

二、等價關系與分類

若集合S上具有等價關系～，則按照該等價關系對S中的元素進行分類，就是把具有等價關系的元素歸為一類，稱為等價類，使得S成為成為各等價類的無交并。這樣當S有一個等價關系，S也就有了一個分類標準。反之，對于集合S，若給一個分類標準，則可以對S進行分類。籍于此分類，我們對S中的元素可以定義一個關系～如下：A、BS，A～B當且僅當A和B屬于同一類。易于驗證該關系是一個等價關系。也就是說S上的一個分類標準就會給出一個S上的等價關系。一般地我們有結論：集合S上的等價關系和分類方法是一一對應的。

三、線性代數中的四個等價關系

3.1 矩陣的等價關系

不妨設S是實數域上的矩陣組成的集合，對于矩陣A、B，如果A、B同型，即有相同的行數和列數，且A經過有限次初等變換成為B，則稱A與B等價[2]。

矩陣等價，這個“等”字之后意味著什么相等呢？該“等”實際是指矩陣的行數和列數相等，同時矩陣的秩相等。我們有如下關于矩陣等價的定理。

定理1： 矩陣A和B等價的充要條件是它們同型且秩相等。

任何一個矩陣通過有限次初等變換可以化成標準型矩陣（參考文獻1），我們稱之該矩陣的標準型。對此有如下結論：

推論1：矩陣A和B等價的充要條件是它們有相同的標準型。

推論2： n階方陣可逆的充要條件是它與單位矩陣等價。

根據初等變換和初等矩陣之間的關系，有如下結論。

定理2. 矩陣A和B等價的充要條件是CA=BD， 其中C和D是可逆矩陣。

在矩陣等價關系下，S中的矩陣的分類分為兩步走。首先同型的作為一大類；之后，對于k×l型矩陣這一大類，在秩相等要求下，可以分為m+1類，其中m=min（k，l）。

3.2 向量組的等價

設兩個向量組A：α1，α2，…，αs ； B：β1，β2，…，βt ，若向量組B中的向量都能由A中的向量線性表示；反之亦然。那么稱向量組A和B等價[2]，也記作A～B。可以證明在該定義下這是一個等價關系。我們不妨把目光集中在實數域R上的向量和向量空間上。

向量組A和B等價，這個“等”字背后意味著什么相等呢？實際上，“等”字是指A和B生成的向量空間相等，它們分別記作span（A）、span（B）。則有如下結論。

定理3： 向量組A～B的充要條件是span（A）=span（B）。

一個向量組A有一個不變量，就是向量組的秩r（A），它是一個決定span（A）維度大小的量，也就是等于span（A）維度。鑒于此有如下結論。

定理4： 向量組A～B的充要條件是A能被向量組B線性表示，且r（A）=r（B）。

注： 在定理4中，“A能被向量組B線性表示”這個條件不可刪減，即單由r（A）=r（B）推導不出A～B。舉一個反例：A：α1=（1， 0），α2=（2， 0）；B：β1=（0， 1），β2=（0， 2）；易見r（A）=r（B）=1，然而A不能被向量組B線性表示，故A與B不等價。

3.3 矩陣的相似

設A和B都是n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得A=P-1BP，那么稱矩陣A和B相似[3]，不妨也記作A～B。由此定義可以證明矩陣的相似關系是一種等價關系。

如果矩陣A與對角矩陣相似，我們稱之為A可以對角化。并不是所有的矩陣都可以對角化。關于矩陣可以對角化的充要條件，各線性代數教材中有詳述。下面列舉幾個有關矩陣相似的重要的結論和事實。

定理5：如果矩陣A～B，那么它們有相同的特征值，因而有相同的行列式和痕。

定理6： f（x）為一個多項式，AT表示矩陣A的轉置矩陣。如果矩陣A～B，那么f（A）～f（B），AT～BT。若A和B可逆，則A-1～B-1。

3.4 矩陣的合同

設A和B都是n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得A=PTBP，那么稱矩陣A和B合同[3]，不妨也記作A～B。同樣，由定義可以證明矩陣的合同關系是一種等價關系。我們主要討論實對稱矩陣的合同和有關實二次型的問題。

每一個實對稱矩陣都對應著一個實二次型，后者可以通過可逆線性變換化成標準型，繼而化成規范型，稱為該二次型的規范型，其中規范型中正項個數稱為正慣性指數，負項個數稱為負慣性指數[4]。合同的矩陣所對應的二次型有著相同的規范型。故有如下結論。

定理6： 實對稱矩陣A和B合同充要條件是實二次型XTAX和 XTBX有相同的規范型。

定理7： 實對稱矩陣A和B合同充要條件是實二次型XTAX和 XTBX有相同的正慣性指數和負慣性指數。

對于n階實對稱矩陣，在合同的等價關系下，其中最為特殊的一類是正定矩陣[4]。這里列舉幾個關于正定矩陣的結論。

定理8： 正定矩陣只與正定矩陣合同。

定理9： 若A是正定矩陣，則AT，A-1，Am（m為非負整數）均是正定矩陣。

定理10： 矩陣A是正定矩陣的充分必要條件是A與單位矩陣E合同。

還有關于正定矩陣重要結論，這里不再詳述。

參考文獻：

[1]J. J. Rotman，Advanced Modern Algebra（抽象代數，影印版），高等教育出版社，2004年。

[2]吳贛昌，線性代數（經管類，第四版），中國人民大學出版社，2011年。

[3]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組 編，王萼芳，石生明 修訂，高等代數，第三版，高等教育出版社，2003年。

[4]吳傳生，經濟數學——線性代數，第二版，高等教育出版社，2009年。