淺探一類題目的解法屈成功

在學(xué)習(xí)《基本不等式》這一章時(shí)，大家都非常熟悉一個(gè)很重要的不等式a+b≥2ab（ab≥0，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立），這個(gè)不等式以及由此推出的一些結(jié)論（如ab≤（a+b2）2）在高中不等式中都比較常用.但從教學(xué)情況來(lái)看，學(xué)生對(duì)于這個(gè)基本不等式以及由此生成的一些結(jié)論的形式記得很牢固，但對(duì)于等號(hào)成立的條件往往不夠重視.

看下面兩個(gè)典型的問(wèn)題：

（1）求函數(shù)y=x+2x（x>0）的最小值；

（2）求函數(shù)y=sinx+2sinx[x∈（0，π2）]的最小值.

一般學(xué)生都會(huì)這樣去認(rèn)識(shí)這兩個(gè)問(wèn)題：對(duì)于問(wèn)題（1）而言，由于x>0，由基本不等式得

y=x+2x≥2x×2x=22，因此最小值是22；對(duì)于（2）而言，由于x∈（0，π2），所以sinx>0

，因此y=sinx+2sinx≥2sinx·2sinx=22，最小值為也是22.

這兩個(gè)結(jié)果是否正確呢？

我們來(lái)分析一下.從學(xué)生的反應(yīng)來(lái)看，學(xué)生對(duì)于基本不等式的形式記得非常牢固，但學(xué)生對(duì)于等號(hào)成立的條件或者說(shuō)能否取到最小值認(rèn)識(shí)不清.對(duì)于（1），當(dāng)且僅當(dāng)x=2x時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=2，即能取到最小值，沒(méi)什么問(wèn)題.對(duì)于（2），我們經(jīng)過(guò)分析后發(fā)現(xiàn)取不到最小值.因?yàn)楫?dāng)sinx=2sinx時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)sinx=2，但是sinx根本不可能取到2，因此y=sinx+2sinx取不到最小值22.

現(xiàn)在有些學(xué)生要問(wèn)，既然y=sinx+2sinx[x∈（0，π2）]取不到最小值，那么它的值域是什么，我們?cè)鯓硬拍芮蟪鏊闹涤颍繉?shí)際上這個(gè)函數(shù)的類型是“y=f（x）+1f（x）型”或者“y=f（x）+a2f（x）型”.這種類型的函數(shù)值域求法不止一種，下面我們來(lái)看其中的一種.

首先，我們對(duì)函數(shù)y=x+1x的一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)進(jìn)行討論后，畫(huà)出它的大概圖像.

y=x+1x是一個(gè)奇函數(shù)，因而它的圖像關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱，我們只需畫(huà)出它的一部分（如x>0的部分），然后根據(jù)它的對(duì)稱性再畫(huà)出它的另外部分，形成整體圖像.

由奇函數(shù)的對(duì)稱性我們?nèi)菀桩?huà)出y=x+1x的整體圖像如圖1所示.