潛入知識本源，鍛造數學思維力

福建省晉江市安海鎮莊頭小學 張炎伙

一、營造問題磁場，確立思維“落腳點”

“問題是數學的心臟”，從根本上說，數學學習的價值就蘊含在一個個有思考含量的問題中。北師版新版教材突出的特點是情境+問題串，即通過一個個問題指向數學知識、方法、思想等的發生發展過程。所以，教師要善于在恰當的情境中，從知識的本源出發提出“核心問題”，以“牽一發而動全身”“一石激起千層浪”，彌散出強烈的問題磁場，為學生的思維活動確立落腳點。

例如，北師版四年級上冊“近似數”的教學中，教學伊始，教師先提出本堂課的核心問題：“老師買一輛摩托車約8000 元，老師的好朋友買一輛摩托車7843 元，誰買的車貴？”在這個問題的輻射下，一個個極具思考意義的其他問題蜂擁而至：一個是近似數，一個是準確數，怎么比？老師的車價究竟是多少？千位可能是7，還可能是6、9 嗎？當教師揭示，確定千位為7 之后，有學生回答可能是7900，那還可能是七千幾百？借助問題層層發問，最終確定老師的車價為7845 元之后，教師發問：“我女兒說我和我朋友的車價都約等于7800 元，我女兒和我思考的角度哪里不同？有獎競猜，我的車價約等于8000，最高是多少？最低又是多少？”

在本課中，教師以精湛的教學藝術將“問題串”教學方式展露無遺。經核心問題引發的每一個問題都直抵知識的本源，孩子們自然卷入思考磁場。也正是這些數學問題，把本堂課的知識點完完整整地串聯了起來，形成了課堂最后呈現在黑板上那條寫滿數的數線。不難看出，知識慢慢深化，零散的知識被織成了一條線，擴散成了一張網，深刻的印記在孩子們的心里。更為重要的是，由問題牽引出了無數有價值的思考。

二、依托操作活動，豐盈思考過程

吳正憲老師說道：兒童的思維是在有效的數學活動中發生、發展的。兒童唯有在親自參與操作實踐的學習活動中，才能獲得深刻的認知、技能和情感的體驗。毋庸置疑，具體的操作活動蘊含著豐富的數學思考，在操作前，學生必須想明白怎么操作，這是其一。學生經歷直觀操作之后，又應該疏通知識的由來，溝通形象思維與抽象思維，豐盈思考過程，這是其二。

例如，北師版二年級下冊“搭一搭（一）——有余數除法”教學中，教師請學生拿出13 根、14 根小棒，看能擺出幾個正方形？引出算式13÷4=3（個）……1（根）、14÷4=3（個）……2（根）等。在此環節，教師放慢教學的速度，追問學生：剩余的1 根、2 根還能擺成正方形嗎？為什么？寫算式的時候要怎么寫？引導學生將看得見的“剩余小棒根數”和算式中“抽象的余數”一一對應，并將“剩余的小棒根數”和“每個正方形需要4 根小棒”進行比較，學生逐漸領悟出“余數要比除數小”的本質，操作與思考實現了無痕鏈接。

另一方面，筆者認為，教師預設的操作活動應該出現在最合適的環節，即在學生想象最困難百思不得其解之時。此時，學生形象操作的需求愈發強烈，操作對學生思考的作用也就非同一般。例如，北師版五年級下冊“數學好玩”中的“包裝的學問”，教師創設了包裝1 個、2 個、3 個（長20 厘米、寬8 厘米、高4 厘米）糖果盒需要多少包裝紙，怎樣包裝最節約的情境，教學逐層深入。出人意料的是，執教教師一改大多數教師在“怎樣包裝兩個糖果盒最節約”處讓學生進行實際操作的慣例，將操作活動后置于“包裝三個糖果盒怎樣包裝最節約？”這一問題，體現了教師獨到的思考和智慧。包裝兩個糖果盒容易想象與理解，不動手實踐，孩子們也都能輕松地發現規律，而包裝三個糖果盒卻需要更強的空間想象力，這對部分學生來說是有困難的。該教師是這樣處理的：先讓學生充分獨立思考，大部分學生想出這三種方法：重疊上下面（節約了4 個20×8 的面）、重疊左右面（節約了4 個8×4 的面）、重疊前后面（節約了4 個20×4 的面），根據之前的學習遷移發現重疊上下面的方法最節約。在這個思維的關節點，教師充分留白：真的只有這三種方法嗎？所有學生的思考神經都活躍了起來，在腦海里進行著豐富的想象：到底還有沒有別的方法呢？教師一聲令下：“拿出實物實際操作一下吧。”學生的疑惑因動手操作豁然開朗，學生發現了第4 種包裝方法：節約了2 個4×20 的面和1 個20×8 的面，并通過比較確定方法1 最節約。教師并未止于此，而是讓學生繼續思考：是不是所有的物品包裝時都有這樣的四種方法？學生在深度思考中發現：本情境中，寬為高的2 倍，所以才存在如圖所示的方法4，也就是說要視具體情況而定。

我們能深刻地感受到，教師并不為操作而操作，而是讓學生在抽象思考卡殼之時動手實踐，并始終保持操作與數學思考的有效連接，教師最后的巧妙追問更是讓學生的思維得以升華，學生的認知逐漸夯實、圓滿。

三、挖掘知識本質，優化思維品質

數學知識具有高度的抽象性，其抽象處也常是其最本質所在，教師應善于引導學生從知識本質出發思考問題，優化思維品質。

例如，北師版二年級下冊“角的認識”教學，曾看到這樣一個教學片段：教師手執大活動角，學生人手一個小活動角。學生在教師的引導下，邊活動角邊總結“張口變大了，角就變大了；張口變小了，角就變小了”。接著教師變魔術似的把大活動角的邊拉長，問角的大小有沒有改變？似乎是意料之外又仿佛意料之中，學生基本都回答“有”。因為不好進行解釋，最后教師直接生硬地告訴學生：其實角的大小是沒變的，角的大小與邊的長短無關，如此囫圇吞棗地結束了本環節教學。這再一次引發了筆者對“角的本質”的求索：“角的本質內涵應是大小，體現在張口。”充分認識到這一點后，筆者緊緊抓住這一本質，通過以下幾個環節實現了難點的突破，啟迪學生思考。

圖2

環節1：課堂伊始，依次出示三個斜度越來越大的滑滑梯（如圖2），問學生想玩第幾個？為什么？環節2：活動角的巧妙運用。先讓學生做好一個活動角，親身體驗角大小的變化過程，接著比較兩個同學誰做的角大，學生在觀察辨析中對“角的大小”形成較為清晰的正向認識：角的大小與張口大小有關，張口越大，角就越大，反之越小。在這個共識下，教師再出示兩邊很長但張口很小的角，問：我的角和剛才這個同學的大角相比，誰的大？學生的認知因教師突如其來“放大的角”而出現不平衡，有的認為大，有的認為小。很多學生想到用重疊的方法比較，接著學生在辨析比較、交流分享中厘清，教師的角雖然邊很長，但張口很小，所以角就小，角的大小與邊的長短無關。接著教師巧妙追問：誰能讓老師的角大過這位同學的角？學生的認知經歷平衡—不平衡—新的平衡。環節3：拓展訓練：請你畫一個比角1 更大的銳角（如圖3）。學生畫出了類似角2 和角3 這樣的角，并通過交流分享發現角2 有變大，角3 沒有變大，進一步明白了角的內涵和本質所在。環節4：課堂最后回應課堂開始的情境圖，讓學生再次思考滑滑梯安全性及其舒適性的原因（和角的大小有關）。此4 個環節的教學，讓學生對角的本質認識由模糊—清晰—再模糊—再清晰的過程，完成了真正有意義的新知建構，實現了思維品質的提升。

總之，學生的數學思考過程是一次次縝密、奇妙的旅程，途中需要教師從知識本源提出核心問題，營造強烈的問題磁場；依托操作活動，豐盈學生的思考過程；挖掘知識本質，提升思維品質，讓學生經由“火熱的思考”享受數學學習的魅力，讓學生的每一次新知建構都具有強勁生命力與生長性。