函數的奇偶性教學設計

函數奇偶性是研究函數的一個重要策略，因此成為函數的重要性質之一，它的研究為今后冪函數、三角函數的性質等后續內容的深入起到了鋪墊作用.奇偶性的教學無論是在知識還是在能力方面對學生的教育都起到非常重要的作用，因此本節課充滿數學方法論的滲透教育，同時又是數學美的集中體現.

一、教學目標

（一）通過具體函數，讓學生經歷奇函數、偶函數定義的討論，體驗數學概念的建立過程，培養其抽象概括能力.

（二）理解、掌握函數奇偶性的定義，奇函數和偶函數圖像的特征，并能初步應用定義判斷一些簡單函數的奇偶性.

（三）在經歷概念形成的過程中，培養學生歸納、抽象概括能力，體驗數學既是抽象的又是具體的.

二、任務分析

這節內容學生在初中雖沒學過，但已經學習過具有奇偶性的具體的函數：正比例函數y=kx，反比例函數，（k≠0），二次函數y=ax■，（a≠0），故可在此基礎上，引入奇、偶函數的概念，便于學生理解.在引入概念時始終結合具體函數的圖像，增強直觀性，這樣更符合學生的認知規律，同時為闡述奇、偶函數的幾何特征埋下了伏筆.對于概念可從代數特征與幾何特征兩個角度去分析，讓學生理解：奇函數、偶函數的定義域是關于原點對稱的非空數集；對于有定義域奇函數y=f（x），一定有f（0）=0；既是奇函數，又是偶函數的函數有f（x）=0，x∈R.在此基礎上，讓學生了解：奇函數、偶函數的矛盾概念——非奇非偶函數.關于單調性與奇偶性關系，引導學生拓展延伸，可以取得理想的效果.

三、教學設計

（一）問題情景

1.觀察如下兩圖（圖略），思考并討論以下問題：

（1）這兩個函數圖像有什么共同特征？

（2）相應的兩個函數值對應表是如何體現這些特征的？

可以看到兩個函數的圖像都關于y軸對稱.從函數值對應表可以看到，當自變量x取一對相反數時，相應的兩個函數值相同.

2.觀察函數f（x）=x和f（x）=的圖像，并完成下面的兩個函數值對應表，然后說出這兩個函數有什么共同特征.

可以看到兩個函數的圖像都關于原點對稱.函數圖像的這個特征，反映在解析式上就是：當自變量x取一對相反數時，相應的函數值f（x）也是一對相反數，即對任一x∈R都有f（-x）=-f（x）.此時，稱函數y=f（x）為奇函數.

（二）建立模型

由上面的分析討論引導學生建立奇函數、偶函數的定義.

1.奇、偶函數的定義.

如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數.如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數f（x）就叫做偶函數.

2.提出問題，組織學生討論.

（1）如果定義在R上的函數f（x）滿足f（-2）=f（2），那么f（x）是偶函數嗎？

（f（x）不一定是偶函數）

（2）奇、偶函數的圖像有什么特征？

（奇、偶函數的圖像分別關于原點、y軸對稱）

（3）奇、偶函數的定義域有什么特征？

（奇、偶函數的定義域關于原點對稱）

（三）解釋應用

[例題]

1.判斷下列函數的奇偶性.

注：①規范解題格式；②對于（5）要注意定義域x∈（-1，1].

2.已知：定義在R上的函數f（x）是奇函數，當x>0時，f（x）=x（1+x），求f（x）的表達式.

解：（1）任取x<0，則-x>0，∴f（-x）=-x（1-x），而f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=x（1-x）.

（2）當x=0時，f（-0）=-f（0），∴f（0）=-f（0），故f（0）=0.

3.已知：函數f（x）是偶函數，且在（-∞，0）上是減函數，判斷f（x）在（0，+∞）內是增函數，還是減函數，并證明你的結論.

解：先結合圖像特征：偶函數的圖像關于y軸對稱，猜想f（x）在（0，+∞）內是增函數，證明如下：

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數.

思考：奇函數或偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性有何關系？

[練習]

1.已知：函數f（x）是奇函數，在[a，b]上是增函數（b>a>0），問f（x）在[-b，-a]上的單調性如何.

4.設f（x），g（x）分別是R上的奇函數和偶函數，并且f（x）+g（x）=x（x+1），求f（x），g（x）的解析式.

（四）拓展延伸

1.有既是奇函數，又是偶函數的函數嗎？若有，有多少個？

2.設f（x），g（x）分別是R上的奇函數，偶函數，試研究：

（1）F（x）=f（x）·g（x）的奇偶性.

（2）G（x）=|f（x）|+g（x）的奇偶性.

3.已知a∈R，f（x）=a-，試確定a的值，使f（x）是奇函數.

4.一個定義在R上的函數，是否都可以表示為一個奇函數與一個偶函數的和的形式？