求數列中的最大項、最小項問題應用舉例

2013-04-29 00:00:00徐方

考試周刊 2013年93期

在高三進行數列專題復習時，經常遇到求數列的最大項、最小項及求某一項的最大值或最小值等問題，本文結合具體例題將其幾種類型及解法敘述如下.

一、歸納—猜想—證明

例1.在數列{a }中，a =2，a =λa +λ +（2-λ）·2 （n∈N ），其中λ>0.

（1）證明：{ -（） }為等差數列，并求數列{a }的通項公式；

（2）證明：存在k∈N ，使得 ≤ 對任意n∈N 均成立.

解：（1）通過構造法易知a =（n-1）λ +2 ，n∈N ；

（2）通過歸納猜想出數列{ }的第一項最大，下面證明： ≤ .

采用分析法證明，要證 < ，（n≥2）只要證 <

即證（） [（n-1）（λ +4）-2nλ]+λ >0…………（1）

因為（n-1）（λ +4）-2nλ=n（λ -2λ+4）-（λ +4）≥2（λ -2λ+4）-（λ +4）=（λ-2） ≥0，

所以（1）式恒成立，即存在k=1，使得 ≤ 對任意n∈N 均成立.

二、利用公式C ≥C C ≥C

例2.已知數列{a }的前n項的和S =2n -3n，數列{b }是正項等比數列，滿足a =-b ，b （a -a ）=b ，記c =a ·b ，問是否存在正整數M，使得對一切n∈N ，C ≤M恒成立，若存在，請求出M的最小值；若不存在，請說明理由.

解：∵a =4n-5，b =（），c =（4n-5）·（）

假設數列{c }中存在最大項c ，那么一定有C ≥C C ≥C ，即（4n-5）（） ≥（4n-9）（）（4n-5）（） ≥（4n-1）（），解得 ≤n≤ ，所以n=3，c = .因此存在正整數M，并且M的最小值為2.

三、分奇偶項討論

例3.已知等差數列{a }的通項公式為a =2n+21，（n是奇數）-4n-1，（n是偶數），設{a }的前n項的和為S ，求當S 最大時n的值.

解：分兩種情況討論：

（1）S 最大，因為S =-2k +20k+23=-2（k-5） +73，所以當k=5時，S 最大.

（2）S 最大，因為S =-2k +16k=-2（k-4） +32，所以當k=4時，S 最大.

經比較知，使S 取最大值時的n值為5.

四、利用函數的單調性

例4.數列{a }的各項均為正數，S 為其前項n的和，對于任意n∈N ，總有a ，S ，a 成等差數列，有一正項數列{c }滿足：a =（c ）（n∈N ），求數列{c }的最大項.

解：由條件易知：a =n（n∈N ）

∵n+1=（c ），∴c =（n+1）；lnc = .

下研究數列{lnc }的單調性，構造函數f（x）= ，f′（x）= .顯然，當x∈（e，+∞）時，f′（x）<0，從而函數f（x）= 在區間（e，+∞）內是單調遞減函數；當x∈（0，e）時，f′（x）>0，從而函數f（x）= 在區間（0，e）內是單調遞增函數，∴c 或c 可能最大，經比較c >c ，所以數列{c }中的最大項為c = .

五、利用或F（n+1）-F（n）討論數列的單調性

例5.已知函數f（x）=log 的圖像過點A（2，1）和B（5，2），記a =3 ，n∈N ，問是否存在正數k，使得（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）≥k· 對一切n∈N 均成立？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由.

解：由條件計算得：f（x）=log ，a =2n-1（n∈N ）

設存在正數k，使得（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）≥k· 對一切n∈N 均成立，則k≤ ·（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）

設F（n）= ·（1+ ）·（1+ ）…（1+ ）

下面確定F（n）的單調性，并求出F（n）的最小值.

∵ = >1

∴F（n+1）>F（n）

∵n∈N ，∴當n=1時，F（n） =F（1）= ，即k的最大值為 .

六、分部討論

把目標函數分成性質不同的兩部分，一部分是單調函數，另一部分是非單調函數，再轉化成方法五去研究，最后綜合在一起得出結論.

例6.設數列{a }的前n項的積為T ，T =1-a ；數列{b }的前項和為S ，S =1-b ，若T （nb +n-2）≤kn對n∈N 恒成立，求實數k的取值范圍.