巧用高等數學知識證明不等式

摘 要： 在中學數學中，不等式的證明方法有很多種，利用高等數學知識證明不等式可以巧妙地加強中學數學與高等數學的聯系.本文從微積分、向量和概率三方面的有關概念、定理、典型實例對用高等數學方法證明不等式進行探究與歸納.

關鍵詞： 不等式 導數 中值定理 柯西不等式 概率

不等式中蘊含著豐富的數學思想，如數形結合思想、轉化思想、分類討論思想、建模思想等.不等式的證明在高中數學中占有很重要的地位，是歷年高考的重點和難點.不等式與高等數學的聯系很緊密，可以說是高等數學與高中數學聯系的紐帶.本文從微積分理論、構造向量和概率三方面對不等式進行探究和歸納.

一、用微積分理論證明不等式

下面從以下四個方面作探討.

1用拉格朗日中值定理證明不等式.

拉格朗日中值定理：若f（x）在[a，b]內連續，在（a，b）內可導，？堝ζ∈（a，b），使f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a）.

例1：b>a>0，證明：

證明：取f（x）=lnx，f（x）在[a，b]內連續，在（a，b）內可導，f′（x）=，根據拉格朗日中值定理，？堝ζ∈（a，b），使f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a），即lnb-lna=（b-a），ln=（b-a），因為y=在[a，b]上是嚴格減函數，所以<<，所以

2.利用函數的單調性證明不等式

例2：證明不等式ln（n+1）<1+++…+<1+lnn

分析：本題看起來可以用數學歸納法證明.實際上，這樣證明很困難.我們可以先證明ln（n+2）-ln（n+1）<

即為ln（1+x）

證明：令g（x）=ln（1+x）-x，則g（x）在[0，1]上可導，且g（0）=0，g′（x）=-1，因為x∈（0，1）時，g′（x）<0，所以g（x）在（0，1）內嚴格遞減.由于g（0）=0，因此x>0，有g（x）<0，因此ln（1+x）

所以當x∈（0，1）時，有ln（1+x）

取x=，（i=2，3，4...n），ln<

ln（）<

所以有ln（n+1）+1-ln2<1+++…+<1+lnn，因為1-ln2>0，

所以：ln（n+1）<1+++…+<1+lnn.

3.利用函數的凹凸性證明不等式

若f（x）是區間I上的連續函數，且對？坌x，x∈I，有f（）≥，則稱f（x）是區間I上的凸函數，若f（x）是區間I上的連續函數，且對？坌x，x∈I，有f（）≤則稱f（x）是區間I上的凹函數.

定理：設f（x）是區間I上的連續函數，且在區間I上二階可導，（1）若f″（x）≤0，則f（x）是區間I上的凸函數.（2）若f″（x）≥0，則f（x）是區間I上的凹函數.

例3：已知a，b為非負數，證明：2arctan≥arctana+arctanb.

證明：取f（x）=arctanx，f″（x）=-，當x≥0時，f″（x）≤0，所以f（x）在[0，+∞）上的凸函數，有：f（）≥，所以：2arctan≥arctana+arctanb.

4.利用定積分的性質證明不等式

定理：設f（x），g（x）是[a，b]上的連續函數，且在[a，b]上有f（x）≥g（x），且f（x），g（x）不恒相等，則？蘩f（x）dx>？蘩g（x）dx.

例4：證明：x>0，x-x

證明：x>0，|cosx|≤1，所以？蘩cosdx<？蘩1dx，即sinx0）.

兩邊積分？蘩sinxdx<？蘩xdx得：1-cosx<，兩邊再積分，得：

？蘩（1-cosx）dx<？蘩dx，即：x-sinx<，所以x-

再對上式進行兩次積分，得： - x- + .

所以當x>0時，x- x

二、利用向量證明不等式

向量的一個性質： ， 是n維空間向量，則| · |≤| |·| |，（1）由此得到一個重要不等式，即柯西不等式（a +a +…+a ）（b +b +…+b ）≥（a b +a b +…+a b ） .

證明：設 =（a ，a ，…，a ）， =（b ，b ，…，b ），由（1）得：

|（a ，a ，…，a ）（b ，b ，…，b ）|≤|（a ，a ，…，a ）|·|（b ，b ，…，b ）|，即

（a +a +…+a ）（b +b +…+b ）≥（a b +a b +…+a b ）

例5：x，y，z∈R，且x +y +z =25，求證：|x-2y+2z|≤15.

證明：構造向量 =（x，y，z）， =（1，-2，2），根據柯西不等式得：

（x-2y+2z） ≤（x +y +z ）[1 +（-2） +2 ]=25×9=225，所以|x-2y+2z|≤15.

例6：x，y，z∈R，2x+2y+z+8=0，證明：（x-1） +（y+2） +（z-3） ≥9.

證明：2x+2y+z+8=0？圯2（x-1）+2（y+2）+（z-3）=-9，

構造向量： =（x-1，y+2，z-3）， =（2，2，1），由柯西不等式得：

[（x-1） +（y+2） +（z-3） ]（2 +2 +1 ）≥[2（x-1）+2（y+2）+（z-3）] =81

所以：（x-1） +（y+2） +（z-3） ≥9.

三、利用概率證明不等式

當變量范圍在[0，1]或（0，1）時，可借助概率證明不等式.

例7：設x，y，z∈（0，1），證明：x（1-y）（1-z）+（1-x）y（1-z）+（1-x）（1-y）z≤1.

證明：因為x，y，z∈（0，1），設P（A）=x，P（B）=y，P（C）=z，A、B、C為三個獨立事件，則A、B、C恰好有一個發生的概率為：

P（A + B + C）=x（1-y）（1-z）+（1-x）y（1-z）+（1-x）（1-y）z≤1

所以x（1-y）（1-z）+（1-x）y（1-z）+（1-x）（1-y）z≤1.

例8：a，b，c為三角形的三邊長，且a+b+c=1，求證：a +b +c +4abc< （第23屆江蘇省數學奧林匹克競賽題）.

證明：a、b、c為三角形的三邊的長，所以a+b>c，a+c>b，b+c>a.

0<2a

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-[P（AB）+）（AC）+P（BC）]+P（ABC）=2a+2b+2c-4（ab+ac+bc）+8abc.

因為（a+b+c） -（a +b +c ）=1-（a +b +c ）=2ab+2ac+2bc，

所以P（A+B+C）=2-2[1-（a +b +c ）]+8abc≤1，即a +b +c +4abc< .

應用高等數學證明不等式的方法還有很多，由于篇幅問題，我就談到這里.

參考文獻：

[1]范遠澤主編.大學數學.科學出版社.

[2]劉鴻基主編.數學分析習題課講義.中國礦業大學出版社.

[3]北京大學數學系主編.高等代數.高等教育出版社出版.